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专题5.1 平行线的判定【九大题型】
【人教版】
【题型1 对顶角的识别及其性质】 1
【题型2 平行、垂直】 2
【题型3 平行公理及其推论】 4
【题型4 同位角相等，两直线平行】 5
【题型5 内错角相等，两直线平行】 6
【题型6 同旁内角互补，两直线平行】 7
【题型7 平行线的判定方法的综合运用】 8
【题型8 角平分线与平行线的判定综合运用】 9
【题型9 平行线判定的实际应用】 11
考点题型变式
【题型1 对顶角的识别及其性质】
【例1】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2022·广东·揭西县阳夏华侨中学七年级期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝∠COB．
(1)图中的对顶角有 对，它们是 ．
(2)图中互补的角有 对，它们是 ．
(3)求∠EOD的度数．
【变式1-2】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）如图，直线AB，CD相交于点O，，OF平分，若.求的度数.
【变式1-3】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线，相交于点，平分，平分．
(1)若，______度．
(2)若，的度数是多少？
【题型2 平行、垂直】
【例2】（2022·福建·厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（ ）
A．点A到直线l2的距离等于4
B．点C到直线l1的距离等于4
C．点C到AB的距离等于4
D．点B到AC的距离等于3
【变式2-1】（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，，，是直线，且，则
B．在同一平面内，，，是直线，且，，则
C．在同一平面内，，，是直线，且，则
D．在同一平面内，，，是直线，且，则
【变式2-2】（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，因为，，为垂足，所以和重合，其理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂直同一条直线的两条直线平行
D．垂线段最短
【变式2-3】（2022·江苏·九年级）如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．
【知识点 平行线的判定】
1.平行公理及其推论
①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
2.平行线的判定方法
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）
【题型3 平行公理及其推论】
【例3】（2022·江西上饶·七年级期中）同一平面内的四条直线若满足，，，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·河南漯河·七年级期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到ab，理由是（ ）
A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【变式3-2】（2022·湖北武汉·七年级期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③ a ， b ， c 是同一平面内的三条直线，若a//b，b// c ，则a// c ；④ a ， b ， c 是同一平面内的三条直线，若a b ， b c ，则a c ； 其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【变式3-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年级期末）如图， ， 如果， 那么与平行吗？ 说说你的理由． 解：因为，
所以_______________________．（ ）
又因为，
所以． （ ）
【题型4 同位角相等，两直线平行】
【例4】（2022·甘肃·陇南育才学校七年级期末）如图，，垂足为，，垂足为，＝．在下面括号中填上理由．
因为，，
所以＝＝．
又因为＝( )，
所以＝( )，
即＝．
所以( )
【变式4-1】（2022·湖北·蕲春县向桥乡白水中学七年级阶段练习）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是______．
【变式4-2】（2022·山东泰安·七年级期末）如图，，，．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？
【变式4-3】（2022·北京东城·七年级期末）如图，直线与直线，分别交于点，，是它的补角的3倍，．判断与的位置关系，并说明理由．
【题型5 内错角相等，两直线平行】
【例5】（2022·山东·曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点A在直线DE上，AB⊥AC于A，∠1与∠C互余，DE和BC平行吗？若平行，请说明理由．
【变式5-1】（2022·北京市房山区燕山教委八年级期中）如图，已知，，，求证：ab．
【变式5-2】（2022·福建·莆田第二十五中学八年级阶段练习）如图，是外角的平分线，，，求证：.
【变式5-3】（2022·辽宁·阜新市第十中学七年级期中）如图，ABDE，∠1=∠ACB，∠CAB=∠BAD，试说明ADBC．
【题型6 同旁内角互补，两直线平行】
【例6】（2022·河北衡水·七年级阶段练习）已知：，，求证：．
【变式6-1】（2022·西藏昂仁县中学七年级期中）如图，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求证：ADBC．
【变式6-2】（2022·甘肃·平凉市第七中学七年级期中）如图，
(1) 等于多少度？
(2)AD与BC平行吗？请说明理由．
【变式6-3】（2022·北京市第五中学分校七年级期末）如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求证：MDGF．
下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（① ）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴BDEF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠CBD（ ② ）．
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代换）．
∴③ （内错角相等，两直线平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MDBC（④ ）．
∴MDGF（⑤ ）．
【题型7 平行线的判定方法的综合运用】
【例7】（2022·广西贺州·七年级期末）如图，有下列条件：①；②；③；④．其中，能判断直线的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式7-1】（2022·浙江台州·七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A． B． C． D．
【变式7-2】（2022·山西临汾·七年级期末）在下列图形中，已知，一定能推导出的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2022·山东日照·七年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【题型8 角平分线与平行线的判定综合运用】
【例8】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．
【变式8-1】（2022·江苏·扬州市邗江区实验学校七年级期末）将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：．
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ （ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ （ ）．
∴（ ）．
【变式8-2】（2022·辽宁沈阳·七年级期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整
如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．
求证：．
证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠ABF＝∠1（对顶角相等）
∠BFG＝∠2（____________）
∴∠ABF＝______（等量代换）
∵BE平分∠ABF（已知）
∴______（____________）
∵FC平分∠BFG（已知）
∴______（____________）
∴∠EBF＝______
∴（____________）
【变式8-3】（2022·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由．
解：因为(已知)，
(______)，
所以(______)．
因为平分，
所以(______)．
因为平分，
所以______，
得(等量代换)，
所以______(______)．
【题型9 平行线判定的实际应用】
【例9】（2022·全国·七年级课时练习）如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为( )
A．65° B．85° C．95° D．115°
【变式9-1】（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
【变式9-2】（2022·全国·七年级）一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．
B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．
D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．
【变式9-3】（2022·江苏·南京外国语学校七年级期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题5.1 平行线的判定【九大题型】
【人教版】
专题5.1 平行线的判定【九大题型】 1
【题型1 对顶角的识别及其性质】 1
【题型2 平行、垂直】 5
【题型3 平行公理及其推论】 8
【题型4 同位角相等，两直线平行】 10
【题型5 内错角相等，两直线平行】 13
【题型6 同旁内角互补，两直线平行】 15
【题型7 平行线的判定方法的综合运用】 18
【题型8 角平分线与平行线的判定综合运用】 21
【题型9 平行线判定的实际应用】 25
考点题型变式
【题型1 对顶角的识别及其性质】
【例1】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、∠1与∠2的顶点不相同，故不是对顶角，此选项不符合题意；
B、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意；
C、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是熟练掌握定义，正确判断．
【变式1-1】（2022·广东·揭西县阳夏华侨中学七年级期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝∠COB．
(1)图中的对顶角有 对，它们是 ．
(2)图中互补的角有 对，它们是 ．
(3)求∠EOD的度数．
【答案】(1)两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD
(2)八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD
(3)140°
【分析】（1）根据对顶角的定义，判断即可；
（2）根据补角的定义进行判断即可；
（3）根据OE平分∠AOC，得出∠EOC＝∠AOE，设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝x，列出关于x的方程，解方程即可得出∠BOC的度数，再求出∠DOE的度数，即可得出结果．
（1）
解：图中的对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．
故答案为：两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．
（2）
图中互补的角有：∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠COE，
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠COE+∠BOE=180°，
∴∠EOC和∠EOB互补，
∵∠COE+∠EOD=180°，
∴∠AOE+∠EOD=180°，
∴∠AOE和∠EOD互补．
故答案为：八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD．
（3）
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠AOE，
设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝x，由平角定义得，
x+x+x＝180°，
解得：x＝100°
∴∠EOC＝∠AOE＝（180°﹣100°）＝40°，
∴∠DOE＝100°+40°＝140°，
答：∠EOD的度数为140°．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义、补角的定义、角平分线的定义，熟练掌握相关定义，根据题意求出∠BOC的度数，是解题的关键．
【变式1-2】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）如图，直线AB，CD相交于点O，，OF平分，若.求的度数.
【答案】65°
【分析】根据角平分线的定义可得∠FOD=∠AOF=∠AOD=25°，根据垂线的性质可得∠EOD=90°，再进行解答即可．
【详解】解：∵OF平分∠AOD，∠AOD=50°，
∴∠FOD=∠AOF=∠AOD=25°，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=90°-25°=65°．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质和角平分线的定义，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键．
【变式1-3】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线，相交于点，平分，平分．
(1)若，______度．
(2)若，的度数是多少？
【答案】(1)33
(2)∠AOC的度数是72°
【分析】（1）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，求出∠EOF和∠EOB的度数，再根据角的和差即可得∠BOF的度数；
（2）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，先用∠BOE的等式表示∠AOC，再根据角分线的定义，列出等式即可求得结果．
（1）
，
，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
故答案为：33；
（2）
设，
，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线的定义，解题关键是观察图形分清楚哪两个角相等，哪些角相加得180度．
【题型2 平行、垂直】
【例2】（2022·福建·厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（ ）
A．点A到直线l2的距离等于4
B．点C到直线l1的距离等于4
C．点C到AB的距离等于4
D．点B到AC的距离等于3
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答案．
【详解】解：点A到直线l2的距离为AB的长，等于4，故A正确；
点C到直线l1的距离为AC的长，大于4，故B错误；
点C到AB的距离为BC的长，等于3，故C错误；
同理，点B到AC的距离也不是3，故D错误，
故选：A
【点睛】本题考查点到直线的距离，掌握定义是解题的关键．
【变式2-1】（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，，，是直线，且，则
B．在同一平面内，，，是直线，且，，则
C．在同一平面内，，，是直线，且，则
D．在同一平面内，，，是直线，且，则
【答案】A
【分析】根据平行线的性质分析判断即可．
【详解】A．在同一平面内，，，是直线，且，则，故选项正确，符合题意．
B．在同一平面内，，，是直线，且，，则，故选项错误，不符合题意．
C．在同一平面内，，，是直线，且，则，故选项错误，不符合题意．
D．在同一平面内，，，是直线，且，则，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确分析判断是解题的关键．
【变式2-2】（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，因为，，为垂足，所以和重合，其理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂直同一条直线的两条直线平行
D．垂线段最短
【答案】B
【分析】利用“平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，逐一分析，排除错误答案即可．
【详解】解：A.点A、C可以确定一条直线，但不可以确定三点B、A、C都在直线l的垂线上，故本选项错误；
B.直线BA、BC都经过一个点B，且都垂直于直线l，故本选项正确；
C.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误；
D.此题没涉及到线段的长度，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直的定义、两点确定一条直线、垂线段最短，熟练掌握和运用各定义和性质是解决本题的关键.
【变式2-3】（2022·江苏·九年级）如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．
【答案】4.8
【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．
【详解】解：当MP⊥AB时，MP有最小值，
∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，
∴AB MP＝AM BM，
即10MP＝6×8，
解得MP＝4.8．
故答案为：4.8．
【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键．
【知识点 平行线的判定】
1.平行公理及其推论
①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
2.平行线的判定方法
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）
【题型3 平行公理及其推论】
【例3】（2022·江西上饶·七年级期中）同一平面内的四条直线若满足，，，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证，再结合，可证．
【详解】解：，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线及垂线的性质，解题的关键是掌握同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
【变式3-1】（2022·河南漯河·七年级期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到ab，理由是（ ）
A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【分析】三条直线AB、a、b位于同一平面内，且直线a与直线b都垂直于AB，即可根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的性质来判断出ab．
【详解】∵直线AB、a、b位于同一平面内，且AB⊥a、AB⊥b
∴ab（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）
故答案为B．
【点睛】本题考查了平行线判定的性质，根据已知题目反应出两条直线是同一平面内，且同时垂直于一条直线是本题的关键．
【变式3-2】（2022·湖北武汉·七年级期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③ a ， b ， c 是同一平面内的三条直线，若a//b，b// c ，则a// c ；④ a ， b ， c 是同一平面内的三条直线，若a b ， b c ，则a c ； 其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】A
【分析】根据平行线性质可判断①，根据两锐角的大小求和可判断②，根据平行公理推论可判断③，根据垂直定义得出∠1=∠2=90°，然后利用同位角相等，两直线平行的判定可判断④．
【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故①不正确；
②两个锐角的和可以是锐角，直角，钝角，故②不正确；
③ a ， b ， c 是同一平面内的三条直线，若a//b，b// c ，则a// c ，故③正确；
④ a ， b ， c 是同一平面内的三条直线，如图
∵a b ， b c ，
∴∠1=90°，∠2=90°，
∴∠1=∠2
∴a ∥ c ，故④不正确；
∴真命题只有1个．
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，两锐角和的大小，掌握平行线的性质与判定，锐角定义是解题关键．
【变式3-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年级期末）如图， ， 如果， 那么与平行吗？ 说说你的理由． 解：因为，
所以_______________________．（ ）
又因为，
所以． （ ）
【答案】CDEF；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行
【分析】根据平行线的判定定理完成填空即可求解．
【详解】解：因为 ，
所以CDEF．（内错角相等，两直线平行）
又因为 ，
所以 ．（平行于同一直线的两条直线平行）
【点睛】本题考查了平行线的判定，平行公理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【题型4 同位角相等，两直线平行】
【例4】（2022·甘肃·陇南育才学校七年级期末）如图，，垂足为，，垂足为，＝．在下面括号中填上理由．
因为，，
所以＝＝．
又因为＝( )，
所以＝( )，
即＝．
所以( )
【答案】 已知 等量减等量，差相等 同位角相等，两直线平行
【分析】根据垂线的定义，得出＝＝，再根据角的等量关系，得出＝，然后再根据同位角相等，两直线平行，得出，最后根据解题过程的理由填写即可．
【详解】因为，，
所以＝＝．
又因为＝（已知），
所以＝（等量减等量，差相等），
即＝．
所以（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，解本题的关键在熟练掌握平行线的判定定理．
【变式4-1】（2022·湖北·蕲春县向桥乡白水中学七年级阶段练习）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是______．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】作图时保持∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行即可画出已知直线的平行线．
【详解】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理，解决本题的关键是掌握平行线的判定和性质．
【变式4-2】（2022·山东泰安·七年级期末）如图，，，．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？
【答案】BEDF，见解析
【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用，，得到∠1=∠4，即可得到结论BEDF．
【详解】解：BEDF，
∵，
∴∠ABC=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵，，
∴∠1=∠4，
∴BEDF．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．
【变式4-3】（2022·北京东城·七年级期末）如图，直线与直线，分别交于点，，是它的补角的3倍，．判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】；理由见解析
【分析】先根据补角的定义求出的度数，然后求出∠CFE和∠2的度数，最后根据平行线的判定进行解答即可．
【详解】解：；理由如下：
∵是它的补角的3倍，
∴设，则的补角为，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了补角的有关计算，平行线的判定，根据题意求出，是解题的关键．
【题型5 内错角相等，两直线平行】
【例5】（2022·山东·曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点A在直线DE上，AB⊥AC于A，∠1与∠C互余，DE和BC平行吗？若平行，请说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【分析】由垂直定义可得∠BAC=90°，根据平角定义得∠1+∠BAC+∠CAE=180°，即可得出∠1+∠CAE=90°，由∠1与∠C互余，根据余角的性质即可得出∠CAE=∠C，根据平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】解：平行， 理由如下：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠1+∠BAC+∠CAE=180°，
∴∠1+∠CAE=90°，
∵∠1与∠C互余，即∠1+∠C=90°，
∴∠CAE=∠C，
∴DEBC．
【点睛】本题考查平行线的判定，余角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【变式5-1】（2022·北京市房山区燕山教委八年级期中）如图，已知，，，求证：ab．
【答案】见解析
【分析】先根据三角形内角和性质，求得，再根据，即可得到，进而判定．
【详解】证明：如下图：
，
又，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及三角形内角和性质，解题时注意：内错角相等，两直线平行．
【变式5-2】（2022·福建·莆田第二十五中学八年级阶段练习）如图，是外角的平分线，，，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】由角平分线的定义及补角的定义可求得的度数，即可得，进而可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵是外角的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质和平行线的判定，证得是解题的关键．
【变式5-3】（2022·辽宁·阜新市第十中学七年级期中）如图，ABDE，∠1=∠ACB，∠CAB=∠BAD，试说明ADBC．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得∠BAC=∠1，等量代换得∠ACB=∠BAC，根据可得∠ACB=∠DAC，即可得．
【详解】证明：∵，
∴∠BAC=∠1，
∵∠1=∠ACB，
∴∠ACB=∠BAC，
∵，
∴∠ACB=∠DAC，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．
【题型6 同旁内角互补，两直线平行】
【例6】（2022·河北衡水·七年级阶段练习）已知：，，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，再根据平行于同一条直线的两条直线平行即可证明结论．
【详解】证明：，，
，，
，，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
【变式6-1】（2022·西藏昂仁县中学七年级期中）如图，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求证：ADBC．
【答案】见解析
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行证明即可．
【详解】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠CAD＝20°，∠B＝70°，
∴∠B+∠BAD=70°+90°+20°=180°，
∴ADBC．
【点睛】本题考查平行线的判定、垂直定义，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．
【变式6-2】（2022·甘肃·平凉市第七中学七年级期中）如图，
(1) 等于多少度？
(2)AD与BC平行吗？请说明理由．
【答案】(1)∠DAB+∠B=180°
(2)；理由见解析
【分析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°；
（2）根据同旁内角互补两直线平行可得．
（1）
解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°．
又∵∠1=30°，
∴∠BAD=120°，
∵∠B=60°，
∴∠DAB+∠B=180°．
（2）
解：．理由如下：
∵∠DAB+∠B=180°，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行．
【变式6-3】（2022·北京市第五中学分校七年级期末）如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求证：MDGF．
下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（① ）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴BDEF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠CBD（ ② ）．
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代换）．
∴③ （内错角相等，两直线平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MDBC（④ ）．
∴MDGF（⑤ ）．
【答案】垂直的定义；两直线平行，同位角相等；GF∥BC；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．
【分析】根据垂直定义得出∠BDC＝∠EFC，根据平行线的判定推出BD∥EF，根据平行线的性质得出∠CBD＝∠2，求出∠CBD＝∠1，根据平行线的判定得出GF∥BC，GF∥MD即可．
【详解】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代换）．
∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴MD∥GF（平行于同一直线的两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；两直线平行，同位角相等；GF∥BC；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【题型7 平行线的判定方法的综合运用】
【例7】（2022·广西贺州·七年级期末）如图，有下列条件：①；②；③；④．其中，能判断直线的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．
【详解】解：①由∠1＝∠2，可得ab；
②由∠3＋∠4＝180°，可得ab；
③由∠5＋∠6＝180°，∠3＋∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到ab；
④由∠2＝∠3，不能得到ab；
故能判断直线ab的有3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
【变式7-1】（2022·浙江台州·七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案．
【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出，
根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠5和∠2是内错角，如果度量出，
根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠3和∠2是同旁内角，如果度量出，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
所以答案为：A．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．
【变式7-2】（2022·山西临汾·七年级期末）在下列图形中，已知，一定能推导出的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据邻补角的定义，对顶角相等和平行线的判定定理即可求解．
【详解】解：.如图，
，，
，
不能推导出，不符合题意；
B.如图，
，，
，
不能推导出，不符合题意；
C.如图，
，，
，
不能推导出，不符合题意；
D.如图，
，，
，
一定能推导出，符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是熟悉同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行的知识点．
【变式7-3】（2022·山东日照·七年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．
【详解】因为，
所以，
故A不符合题意；
因为，
不能判断，
故B符合题意；
因为，
所以，
故C不符合题意；
因为，
所以，
故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【题型8 角平分线与平行线的判定综合运用】
【例8】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【分析】先根据角平分线的定义可得，从而可得，再结合可得，然后根据平行线的判定即可得．
【详解】解：，理由如下：
分别平分，
，
，
，
又，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
【变式8-1】（2022·江苏·扬州市邗江区实验学校七年级期末）将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：．
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ （ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ （ ）．
∴（ ）．
【答案】ECD；角平分线的性质；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定依据角平分线的性质即可解决问题．
【详解】证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠ECD（角平分线的性质），
∵∠1＝∠2．（已知），
∴∠1＝∠ECD（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．
故答案为：ECD；角平分线的定义；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定和角平分线的性质，解题的关键是根据平行线的判定解答．
【变式8-2】（2022·辽宁沈阳·七年级期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整
如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．
求证：．
证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠ABF＝∠1（对顶角相等）
∠BFG＝∠2（____________）
∴∠ABF＝______（等量代换）
∵BE平分∠ABF（已知）
∴______（____________）
∵FC平分∠BFG（已知）
∴______（____________）
∴∠EBF＝______
∴（____________）
【答案】对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行；
【分析】根据对顶角的定义，平行线的判定，角平分线的性质，结合上下文填空即可．
【详解】证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠ABF＝∠1（对顶角相等）
∠BFG＝∠2（对顶角相等）
∴∠ABF＝∠BFG（等量代换）
∵BE平分∠ABF（已知）
∴∠ABF（角平分线的定义）
∵FC平分∠BFG（已知）
∴∠BFG（角平分线的定义）
∴∠EBF＝∠CFB，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查对顶角的定义及性质，平行线的判定，角平分线的性质，能够熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键．
【变式8-3】（2022·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由．
解：因为(已知)，
(______)，
所以(______)．
因为平分，
所以(______)．
因为平分，
所以______，
得(等量代换)，
所以______(______)．
【答案】平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；；内错角相等，两直线平行
【分析】由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定．
【详解】解：（已知），
（平角的定义），
（同角的补角相等）．
平分，
（角平分线的定义）．
平分，
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；；；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，补角的性质和平行线的判定，解答的关键是熟练掌握平行线的判定定理并灵活运用．
【题型9 平行线判定的实际应用】
【例9】（2022·全国·七年级课时练习）如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为( )
A．65° B．85° C．95° D．115°
【答案】B
【分析】根据同位角相等两直线平行可得当∠AOB=65°时，，进而算出答案．
【详解】解：∵当∠AOB=65°时，
∴旋转的最小角度为150°﹣65°=85°，
故选：B
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．
【变式9-1】（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【详解】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90 ，所以；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【变式9-2】（2022·全国·七年级）一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．
B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．
D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．
【答案】B
【分析】画出图形，根据平行线的判定分别判断即可得出．
【详解】A.如图，由内错角相等可知，第二次拐弯后与原来平行，但方向相反，故不符合题意；
B.如图，由同位角相等可知，第二次拐弯后与原来平行，且方向相同，故符合题意；
C.如图，由内错角不相等可知，第二次拐弯后与原来不平行，故不符合题意；
D.如图，由同位角不相等可知，第二次拐弯后与原来不平行，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确画出图形，熟记判定定理是解题的关键．
【变式9-3】（2022·江苏·南京外国语学校七年级期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．
【答案】2或14或50或110
【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当秒时，当时，当时，当时，即可求解．
【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得：
当秒时，，
解得：t=2；
当时，，
解得：t=14；
当时，木棒a停止运动，
当时，，
解得：t=-10；（不合题意，舍去）
当时，或，
解得：t=50或t=110；
综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．
故答案为：2或14或50或110
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
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