高中试卷答案网天津市第三中学2022~2023学年度第二学期
高二年级期中检测（2023.4）
数学
第I卷 选择题
单选题（共9题，每题5分，共45分）
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．二项式展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
5．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
6．函数在区间上的最小值为（ ）
A．72 B．36 C．12 D．0
7．从5名大学毕业生中选派4人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区2人，乙、丙地区各一人，则不同的选派方法总数为（ ）
A．40 B．60 C．100 D．120
定义域为R的函数满足，且对恒成立，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
9. 已知函数，若存在大于0的极值点，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6题，每题5分，共30分）
10. 计算：___________．
11．已知离散型随机变量的方差为1，则___________.
12．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．
13．已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是______.
14．若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为_____
15．在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则____________；并且所有项的系数之和为，则含项的系数为____________（用数字作答）．
三、解答题(本大题75分）
16．（13分）从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）
(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；
(3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
(4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
(5)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
17．（14分）已知箱中装有大小相同的2个白球，1个红球和3个黑球，现从该箱中任取3个球
(1)求取出的三个球的颜色互不相同的概率；
(2)记随机变量X为取出3球中白球的个数，求X的分布列及期望．
18．（14分）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若对于，都有不等式恒成立，求实数a的取值范围．
19．（16分）已知函数，其中，
（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式;
（2）讨论函数的单调性.
20．（18分）已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线的斜率为4，求a的值；
(2)当时，求的单调区间；
(3)已知的导函数在区间上存在零点.求证：当时，.
(
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密
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封
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线
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)
高 年级 试卷 (
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)天津市第三中学2022-2023学年高二下学期期中质量检测数学试题
答案：
1-5 DAACB 6-9 DBAA
10、128 11、4 12、[-3,0] 13、0.5 14、 15、10，-120
16．（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
17．(1)设取出的三个球的颜色互不相同的事件为M，∴.
(2)由题意得X取0，1，2，
则，，．
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
∴.
18．（1）当时，，
∴，
令得，，
∴的变化如下表：
x 2
+ 0 - 0 +
增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
∴的增区间为；减区间为
∴极大值，极小值.
（2）由，则，
令，
∴，由，
所以时单调递减；时单调递增．
∴只需恒成立，则．
19.(1)，由导数的几何意义得，于是，由切点在直线上得，解得
所以函数的解析式为
（2）
当时，显然，
这时在上是增函数
当时，，解得
所以在，上是增函数，在，上是减函数.
20．【详解】（1）函数的定义域为，
由，可得，
∴，
所以.
（2）由（1）得，，
①当时，令，解得或，
令，解得.
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
②当时，，所以，函数的单调递增区间为，
③当时，令，解得或，
令，解得，
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（3）因为导函数在区间上存在零点，则，
由（2）可知在上单调递减，在单调递增，
所以在上的最小值为，
设，，，
令，因为，
所以，在上单调递减，
又，所以在上单调递减，
又因为，
所以，即，
所以当时，.
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