高中试卷答案网四川省十校联盟2022-2023学年高三下学期4月信心卷（二）数学（文）试题
一、单选题
1．设（其中是虚数单位），则（ ）
A．0 B． C． D．1
2．设集合，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数在上的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知扇形的周长为6，圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
①取出的最大号码服从超几何分布；
②取出的黑球个数服从超几何分布；
③取出2个白球的概率为；
④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
A．①② B．②④ C．③④ D．①③④
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．某区高一年级从2019年秋季开始使用人教A版新教材，为了调查新教材的使用情况，将全区高一年级的3600名学生的期中考试数学成绩分成6组：，，，，，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.现从成绩不少于70分的学生中，利用分层抽样抽取120人进一步做能力测试，则期中考试成绩在的应抽取（ ）
A．40人 B．48人 C．50人 D．60人
8．若直线l经过，两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．点为的图象的一个对称中心
B．对任意，函数满足
C．函数在区间上有且仅有个零点
D．存在，使得在上单调递增
10．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
11．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（ ）
A． B． C． D．
12．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量，，若，则_________．
14．已知直线是圆的一条对称轴，则ab的最大值为______．
15．如图，在中，，，，点在边上，且，将射线绕着逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点，使得，连接，则的面积为__________．
16．已知三棱锥的体积为，各顶点均在以PC为直径的球面上，，，，则该球的表面积为______.
三、解答题
17．某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计 方便的操作方式和实用的强大功能深得用户喜爱.为回馈市场并扩大用户量，该APP在2022年以竞价形式做出优惠活动，活动规则如下：①每月1到15日，大家可通过官网提交自己的报价（报价低于原价），但在报价时间截止之前无法得知其他人的报价和当月参与活动的总人数；②当月竞价时间截止后的第二天，系统将根据当期优惠名额，按出价从高到低的顺序给相应人员分配优惠名额，获得优惠名额的人的最低出价即为该APP在当月的下载优惠价，出价不低于优惠价的人将获得数额为原价减去优惠价的优惠券，并可在当月下载该APP时使用.小明拟参加2022年7月份的优惠活动，为了预测最低成交价，他根据网站的公告统计了今年2到6月参与活动的人数，如下表所示：
时间t（月） 2 3 4 5 6
参与活动的人数y（万人） 0.5 0.6 1 1.4 1.7
(1)若可用线性回归模型拟合参与活动的人数y（单位：万人）与时间t（单位：月）之间的关系，请用最小二乘法求y关于t的回归方程，并预测今年7月参与活动的人数；
(2)某自媒体对200位拟参加今年7月份活动的人进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：
报价X（单位：元）
频数 20 60 60 30 20 10
①求这200人的报价X（单位：元）的平均值和方差（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）；
②假设所有参与活动的人的报价X（单位：元）可视为服从正态分布，且与可分别由①中所求的样本平均数及估计，若2022年7月计划发放优惠名额数量为3173，请你合理预测该APP在当月的下载优惠价，并说明理由.
参考公式及数据：①回归方程，，；②，，；③若随机变量X服从正态分布，则，，.
18．已知等差数列与正项等比数列满足，且，，既是等差数列，又是等比数列．
(1)求数列和的通项公式．
(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成求解．若__，求数列的前项和．
19．如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将，分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P，过P作，垂足为H．
(1)证明：平面BFDE；
(2)若四棱锥的体积为12，求正方形的边长．
20．已知椭圆的离心率为，，是C的顶点，点M是第一象限内的动点，已知的斜率之比为．
(1)证明：点M在一条定直线上；
(2)设与椭圆C分别交于另外的两点，证明直线过定点．
21．已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)若，求的极值
22．已知函数的最小正周期为．
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围．
23．设．
(1)解关于x的不等式：．
(2)的最小值为m，且正实数a、b满足，求证：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】求出复数的代数形式，然后求模即可.
【详解】,
.
故选：D.
2．D
【解析】根据集合元素的性质确定集合，接着运算交集即可.
【详解】由于：，
故由题意可知：，结合交集的定义可知：.
故选：D
【点睛】本题考查集合元素的性质，交集的运算，属于基础题.
3．B
【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.
【详解】函数定义域为，
而，且，
即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD；
而当时，，排除选项A，选项B符合要求.
故选：B
4．B
【分析】利用扇形的周长与圆心角求出扇形的半径，然后利用扇形的弧长公式计算即可.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为，
则周长为6得：，
所以扇形的弧长为：，
故选：B.
5．B
【分析】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取可判断①②；利用超几何分布求概率的方式即可判断③④
【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；
对于②，取出的黑球个数符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；
对于③，取出2个白球的概率为，故③错误；
对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，
总得分最大的概率为，故④正确．
故选：B
6．B
【分析】由条件结合商的关系可得，利用诱导公式和同角关系将所求表达式化为由表示的形式，代入条件即可求值.
【详解】由，显然，可得
因为，
所以，
所以，
故选：B.
7．C
【分析】根据频率分布直方图中的频率按比例计算．
【详解】由频率分布直方图应抽取人数为．
故选：C．
8．B
【分析】根据直线的斜率公式确定，结合倾斜角的范围以及正切函数的性质，即可确定答案.
【详解】直线l经过，两点，
则,即，
由于，则α为锐角，故，
故选：B
9．D
【分析】首先化简出，对A选项代入检验即可，对B选项举一个反例，或者求出其对称轴进行对照，对C首先求出零点通式，对合理赋值，找到区间内两个零点，对D求出的单调增区间，发现符合题意，则可判断.
【详解】对A选项
时,,
故点不是的图象的一个对称中心,故A错误，
对B选项，当时，左边，右边，两者不相等，故B错误，
对C选项，令,解得:时,时,,函数在区间上有2个零点,故C错误,
对D选项，由,解得:,令,显然成立,故D正确,
故选：D.
10．C
【分析】观察可得，构造函数约定，求导证明函数在是增函数，根据可以判断；
构造函数约定，利用导数判断函数在亦是增函数，根据可得，进而得到.
【详解】由，，
构造函数，，
则，
因为在上为减函数，
所以当时，，
又，所以，
故，
所以函数在单调递增，
故，
故，
因为，，
构造函数，，
则，
因为
所以 ，所以在是增函数，
所以，即，
所以，即，
综上，.
故选：C.
【点睛】构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
11．D
【分析】根据题意可得数字黑洞为123，然后利用诱导公式即得.
【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，
所以数字黑洞为123，即，
∴.
故选：D.
12．D
【分析】构造函数，通过的单调性证明，进而可得 ，接下来构造函数，通过，说明能够取到等号，即可求解的最大值.
【详解】，不等式
，
令，，
当时，，,当时，，所以在上单调递增，在单调递减，故,即对,恒有成立，
因此，当时，，当且仅当时取“”，
令，，，当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，（1），，（4），
即，使得，，使得，即有解，
因此，不等式中能取到等号，
所以的最小值为1，即，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：D
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，考查了转化思想和函数思想，将不等式恒等变形为是本题的关键，构造两个函数和，通过求解不等式，通过说明等号成立.
13．
【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】因为向量，，
若，则有，解得，
故答案为：．
14．/0.25．
【分析】易知直线经过圆心，得到，再利用不等式即可求解.
【详解】圆的圆心，
因为直线是圆的一条对称轴，
故直线经过圆心，即得，
则，当且仅当时取等号，
所以ab的最大值为．
故答案为：.
15．
【分析】由余弦定理求得，再结合正弦定理得，进而得，得，则面积可求
【详解】由，得，解得.
因为，所以，，
所以.
又因为，所以.
因为，所以.
故答案为
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题
16．
【分析】根据已知条件及余弦定理，利用正弦定理及棱锥的体积公式，结合勾股定理及球的表面积公式即可求解.
【详解】由，，及余弦定理，得，即，解得，，
所以，
设为外接圆半径，
所以，解得，
所以，
所以，解得，即点P到平面ABC的距离为2，
所以外接球球心O（PC的中点）到平面ABC的距离，
以外接球半径，
所以.
故答案为：.
17．(1)，预计今年7月参与活动的人数为万人；
(2)①，；②元.
【分析】（1）根据所给数据求出，，即可求出，，即可求出回归直线方程，再令代入计算可得；
（2）①根据平均数、方差公式计算可得；
②依题意可得，再由能够得到优惠名额的概率，再根据正态分布的性质计算可得.
【详解】（1）解：由题意可得，
，
又因为，，
所以，
，
所以回归直线方程为：，
当时，可得（万人），
故预计今年7月参与活动的人数为万人；
（2）解：①依题意可得这200人的报价（单位：元）的平均值，
方差
；
②由①可知，依题意发放的优惠名额为张，预测参加的人数为人，
所以能够得到优惠名额的概率，设下载优惠价为，则
又，，因为，
所以，
则，
所以预测该APP在当月的下载优惠价为元.
18．(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）确定，得到，解得答案.
（2）若选择①，，若选择②，，若选择③，，分别利用裂项相消法，错位相减法和裂项相消法计算得到答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，
根据题意，即，
解得或（舍），故，，
（2）若选条件①：，
；
若选条件②：
，
两式相减得：
整理得到：；
若选条件③：
，
.
19．(1)证明见解析；
(2)6.
【分析】（1）利用给定条件，证明PD⊥平面PEF，进而证得EF⊥平面PBD，再利用线面垂直的性质、判定推理作答.
（2）设正方形ABCD的边长为，利用a表示四棱锥的体积，即可计算作答.
【详解】（1）在正方形ABCD中，有AC⊥BD，又E，F分别是AB，BC的中点，有，则EF⊥BD，
依题意，连接EF，PD⊥PE，PD⊥PF，平面PEF，于是PD⊥平面PEF，
又平面PEF，则PD⊥EF，而平面PBD，因此EF⊥平面PBD，
又平面PBD，则有EF⊥PH，又PH⊥BD，EF，平面BFDE，且EF与BD相交，
所以PH⊥平面BFDE.
（2）令，正方形ABCD的边长为，则四边形面积，
依题意，，，，，
显然，即有PE⊥PF，则，
由（1）知PD⊥PQ，在直角中，由PH⊥DQ得：，
又由（1）知：PH⊥平面BFDE，因此，解得a=3，
所以正方形的边长为6．
20．(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
【分析】（1）设，根据可列出方程，化简即可证明结论；
（2）利用题意求得椭圆方程，设设，表示直线方程，联立椭圆方程，求得的坐标，取点，利用向量共线证明，即可证明结论.
【详解】（1）证明：设,由题意可知，则，,
因为，所以,即，即，
故点M在直线上，即点M在一条定直线上.
（2）由题意知：，
故椭圆方程为 ，
由（1）知点M在直线上，设，
则的方程为，代入，
得，，
所以，即，
同理可得，
取点，则，，
又因为，
所以，则三点共线，即直线过定点.
【点睛】关键点睛：第二问中，证明直线过定点，可根据题意求得点的坐标，如果要表示出直线方程，计算量将会比较大，且运算复杂，因此可以结合题意合理猜测定点坐标，然后证明直线过该点.
21．(1)单调递增区间为和；递减区间为
(2)极大值为；极小值为
【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性即可；
（2）结合（1）中函数的单调性，求出函数在上的单调性，进而求出极值.
【详解】（1），
由，得和
当或时,,函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
函数的单调递增区间为和；递减区间为.
（2）由（1）知当时，，函数为增函数，
当时，， 函数为减函数，
当时，，函数为增函数，
在处取得极大值，
在处取得极小值，
时函数的极大值为；时函数的极小值为.
22．(1)；
(2).
【分析】（1）应用三角恒等变换化简函数式，根据最小正周期求得，即可得解析式；
（2）将问题化为，对任意的恒成立，应用换元法及函数单调性求不等式右侧的最大值，即可得范围.
【详解】（1）
，
因为，则，即；
（2）由（1）得：，即，对任意的恒成立，
只需要即可，，
令，，为减函数，当时，
所以，即a的取值范围是．
23．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，分段去绝对值符号解不等式作答.
（2）利用绝对值的三角不等式求出m，再利用均值不等式推理作答.
【详解】（1）依题意，当时，，解得：，
当时，成立，所以，
当时，，解得：，
综上得，，所以不等式的解集为．
（2），当且仅当，即时取等号，于是，
则正实数a、b满足，有，当且仅当时取等号，即，因此，
所以，当且仅当时取等号．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页