高中试卷答案网铜川市2023年高三第二次质量检测
文科数学
注意事项：
1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔将答案涂在答题卡上。第Ⅱ卷为非选择题，用0.5mm黑色签字笔将答案答在答题卡上，考试结束后，只收答题卡。
2.答第Ⅰ卷、第Ⅱ卷时，先将答题卡首有关项目填写清楚。
3.全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.若全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，满足，，则（ ）
A. B. C. D.6
3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A. B. C. D.
4.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边、.的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.设向量，满足，，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.5
7.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A.3.5 B.4 C.4.5 D.5
8.在三棱锥中，，，且，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
9.等比数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
A. B. C.5 D.11
10.已知函数的图象如图所示，则的解析式可以为（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.点是曲线的对称中心 B.点是曲线的对称中心
C.直线是曲线的对称轴 D.直线是曲线的对称轴
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点（其中点在点的左侧），记面积为，则下列结论错误的是（ ）
A. B.时，
C.的最大值为 D.当时，点的横坐标为
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.将四大名著各分一本给甲、乙、丙、丁四人就读，、、、四位旁观者预测分配结果，说：“甲读《西游记》，乙读《红楼梦》”；说：“甲读《水浒传》，丙读《三国演义》”；说：“乙读《水浒传》，丙读《西游记》”；说：“乙读《西游记》，丁读《三国演义》”.若已知四位旁观者每人预测的两句话中，都是有且只有一句是正确的，则可推断丁读的名著是______.
14.已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前项和______.
15.已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线经过且与左支交于，两点，点在以为直径的圆上，，则的离心率是______.
16.已知函数，，令，若函数存在3个零点，则实数的取值范围是______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
（一）必考题（共60分）
17.（本小题12分）在中，角，，所对的边分别为，，，.
（1）证明：；
（2）若，当角取得最大值时，求的面积.
18.（本小题12分）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，侧棱与底面所成角为60°.
（1）求证：四边形为矩形；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19.（本小题12分）为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，铜川市推出了两套方案，并分别在、两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区内设立智能化分类垃圾桶，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.并建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；
（2）以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案，低于70分认为居民不赞成推行此方案，规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续推行该方案，判断两小区哪个小区可继续推行方案？
（3）根据（2）中结果，从可继续推行方案的小区所抽取100人中再按居民态度是否赞成分层抽取一8人样本作为代表团，从代表团中选取两人做汇总发言，求至少有一个不赞成的居民被选到发言的概率.
20.（本小题12分）已知点为抛物线的焦点，点，，若过点作直线与抛物线顺次交于，两点，过点作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求证：直线过定点.
21.（本小题12分）已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若对，，求实数的取值范围.
（二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）
22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两个坐标系下取相同的长度单位，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角）.
（1）求曲线的普通方程；当时，求直线的极坐标方程；
（2）若曲线和直线交于，两点，且，求直线的倾斜角.
23.设函数.
（1）解不等式；
（2）令的最小值为；正数，，满足，证明：.
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文科数学试题参考答案
一、选择题
1.解：依题意得，，于是.故选：B.
2.解：，，则，故.故选：C.
3.解：因为，
故该算法的功能是求，
.故选：D.
4.解：如图：设，，，
∴，∴，，
，
∴，∴，故选A.
5.解：因为，所以，即，
所以，所以，因为，所以，
结合与的图象，因为，，所以，
所以，即，可得，所以，故选C.
6解：∵，∴分别平方得，，
两式相减得，即，故选A.
7.解：根据题意，甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3，
则两组数据混合后，新数据的平均数，
则新数据的方差，故选：D.
8.解：，则，在中，，，则，
又，，则，即，
∵，，平面，平面，
∴平面，故将三棱锥放于长方体中，如图所示：
则体对角线即为三棱锥的外接球的直径，即半径为，
∴三棱锥的外接球的表面积为，故选：A.
9.解：设等比数列的公比为，∵，
∴，解得，∴数列是等比数列，首项为，公比为.
∴，，∴.故选：A.
10.解：由图象的对称性可知，函数为偶函数.
对于A，，为偶函数；
对于B，，为奇函数，不符合题意；
对于C，，为偶函数；又，不符合题意；
对于D，，为奇函数，不符合题意，故选：A.
11.解：
，
当，则，此时，则函数关于对称，故A错误，
当，则，此时，则函数关于对称，故B错误，
当，则，此时，则函数关于对称，故C正确，
当，则，此时，则函数关于点对称，故D错误，
12.解：由椭圆，可得，，，由对称性可知，
∴，故A正确；
设，，，，
若时，可得，解得，故B错误；
∵直线与椭圆交于，两点，∴，两点的坐标分别为，，
∴，当且仅当，即时取等号，故C正确；
、的坐标分别为，设，当时，，设，则，
∴由余弦定理可得，∴，∴，
∴，又，∴，
∵又，解得，故D正确.故选：B.
13.【答案】《三国演义》
解：由题意，若说的两句话中，甲读《西游记》正确，乙读《红楼梦》错误，则说的甲读《水浒传》错误，丙读《三国演义》正确.则说的丙读《西游记》错误，乙读《水浒传》正确，则说的乙读《西游记》错误，丁读《三国演义》正确.与说的丙读《三国演义》正确相矛盾，不成立；若说的两句话中，乙读《红楼梦》正确，甲读《西游记》错误，则说的乙读《水浒传》错误，丙读《西游记》正确，则说的乙读《西游记》错误，丁读《三国演义》正确，则说的丙读《三国演义》错误，甲读《水浒传》正确，则丁读《三国演义》.
14.【答案】
解：数列的前项和为，且点总在直线上，所以.
当时，，两式相减得，，
又∵，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，∴，∴
则，
所以，两式相减得：
.所以数列的前项和.
15.【答案】
解：不妨设，，
因为在以为直径的圆上，所以，即，则，
因为在的左支上，所以，
即，解得，则，
因为，所以，即，故，故.
16.【答案】
解：，
当时，，，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；可得函数在处的极大值为：，
当时，图象趋近于轴.函数的大致图象如图所示，
可知函数存在3个零点时，的取值范围是.
17.【答案】证明：（1）因为，
所以，所以，
所以，所以，所以，由正弦定理得；
（2）解：，（当且仅当时等号成立），
则当时，取得最小值，又，所以角最大值为，
此时为等边三角形，所以的面积为.
18.【答案】解：（1）证明：取的中点，连接，，如图，
在等边中，由题意知，在中，，则，
∵，平面，，∴平面，
∵平面，∴，在三棱柱中，，四边形是平行四边形，
则，∴四边形为矩形；
（2）取的中点，连接，，过作，如图，
则，∵平面，平面，，
∴是平面与平面的夹角或其补角，在等边中，，
则，在中，，
∵平面，平面，∴平面平面
∵平面平面，且，∴平面，
∴是侧棱与底面所成角，即，
在中，，
设，化简得，解得或（舍），
∴，在中，，
∴平面与平面夹角的余弦值为
19.【答案】解：（1）设小区方案一的满意度平均分为，
则.
设小区方案二的满意度平均分为，
则
∵.∴方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.
（2）由题意可知：
小区即方案一中，满意度不低于70分的频率为，以频率估计概率，赞成率为62%
小区即方案二中，满意度不低于70分的频率为，以频率估计概率，赞成率为75%。
∴小区可继续推行方案二.
（3）由（2）中结果，在小区不赞成25人中，取人，赞成的75人中取人组成代表团，设至少有一个不赞成居民做汇总发言的概率为，枚举略，由古典概型：.
20.【答案】解：（1）由题意可知，∴，
又∵，∴，∴抛物线的标准方程为.
证明：（2）显然直线斜率存在，设直线的方程为，
联立方程，消去得，∴，
设，，∴，，∴①，
直线的方程为，联立方程，化简得，
∴，设，则②，由①②得，
∴③，
（ⅰ）若直线斜率不存在，则，又∵，∴，
∴，∴直线的方程为，
（ⅱ）若直线的斜率存在，为，
∴直线的方程为，即，
将③代入得，∴，
∴直线斜率存在时过点，由（ⅰ）（ⅱ）可知，直线过定点.
21.【答案】解：（1）已知函数，
当时，，定义域为，
，
令，即，解得；
令，即，解得
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
则有极小值，无极大值；
（2）若对，即对，，
令，，令，解得，
①当时，，函数在上单调递增，
显然成立；
②当时，令，解得，令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
若在恒成立，只需满足，即，解得，
综上，实数的取值范围为.
22.【答案】解：（1）由得曲线的普通方程为；
当时，直线的参数方程为（为参数），
∴直线的普通方程为，
则其极坐标方程为，即.
（2）将代入圆的方程中，得，
化简得.又点在圆内，
设，两点对应的参数分别为，，则，，
∴.
∴，解得或.即或则直线的倾斜角为或.
23.【答案】解：（1）当时，，即，解得，故；
当时，，即，∴，则；
当时，，即，解得，故，
综上所述，原不等式的解集为；
（2）证明：若，则；
若，则；若，则，
所以函数的最小值，故.又、，为正数，
则.
当且仅当，时等号成立，所以.