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圆（基础题）--中考数学历年中考真题考点分类专项训练
一、单选题
1．（2015·湖北荆州·统考中考真题）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
2．（2019·浙江杭州·中考真题）如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2019·四川遂宁·统考中考真题）如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·浙江台州·统考中考真题）如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为（ ）
A． B．3 C．4 D．
5．（2019·辽宁葫芦岛·中考真题）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70° B．55° C．45° D．35°
6．（2019·台湾·统考中考真题）如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·重庆·统考中考真题）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
8．（2020·重庆·统考中考真题）如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．（2020·广西·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
10．（2013·四川成都·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
11．（2021·湖南长沙·统考中考真题）如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·吉林·统考中考真题）如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（ ）
A．6π B．2π C．π D．π
15．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
16．（2022·四川广元·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．65°
17．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
18．（2022·浙江宁波·统考中考真题）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·广西桂林·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
20．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．12 C．3 D．6
二、填空题
21．（2019·浙江杭州·中考真题）如图，一个圆锥形冰激凌外壳（不计厚度）.已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰激凌外壳的侧面积等于______（计算结果精确到个位）.
22．（2012·广东汕头·中考真题）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是____．
23．（2019·辽宁辽阳·统考中考真题）如图，是⊙上的四点，且点是的中点，交于点，，，那么_____．
24．（2019·湖南娄底·中考真题）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则_______．
25．（2019·青海·统考中考真题）如图在正方形中，点是以为直径的半圆与对角线的交点，若圆的半径等于，则图中阴影部分的面积为_____．
26．（2019·河南·中考真题）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点再作以为直径的半圆，则图中阴影部分面积为________________．
27．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长________cm．
28．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）如图，是的外接圆的直径，若，则_____°．
29．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图，点A，B，C在上，，则________度．
30．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB=________．
31．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心、为半径画弧交于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积是_______．
32．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图，圆锥的母线长，底面圆的直径，则该圆锥的侧面积等于________．（结果用含的式子表示）
33．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于D，E两点，，则的长是____________．
34．（2022·辽宁大连·统考中考真题）如图，正方形的边长是，将对角线绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E，则的长是____________（结果保留）．
35．（2022·青海·统考中考真题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m．
36．（2022·江苏盐城·统考中考真题）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为___________．
37．（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC=2，则图中阴影部分的面积是________．
38．（2022·山东日照·统考中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．
39．（2022·山东枣庄·统考中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．（结果保留π）
40．（2022·宁夏·中考真题）如图，在中，半径垂直弦于点，若，，则______．
三、解答题
41．（2013·浙江温州·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA
与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．
42．（2013·山东枣庄·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2=AD·AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．
43．（2010·湖北恩施·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF＝FD；
（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
44．（2010·江苏南京·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
45．（2012·广东湛江·中考真题）如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若BE=2，BD=4，求⊙O的半径．
46．（2019·青海·统考中考真题）如图，在中，点分别是半径、弦的中点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
47．（2020·贵州遵义·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
48．（2020·浙江舟山·统考中考真题）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：
证明：连结OC，∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， 又∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC， ∴AC＝BC．
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
49．（2020·湖南湘潭·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：；
（2）判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
50．（2020·江苏南京·统考中考真题）如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
51．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，交的延长线于点，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的直径．
52．（2021·山东济南·统考中考真题）已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
53．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：
(1)AC＝BD；
(2)△ABE∽△DCE．
54．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在⊙中，直径与弦相交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求⊙的半径．
55．（2022·广东·统考中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
56．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知．
(1)若的半径为5，求的长；
(2)试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）
57．（2022·湖南·统考中考真题）如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
58．（2022·青海·统考中考真题）如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求BE的长．
59．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
60．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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圆（基础题）--中考数学历年中考真题考点分类专项训练
一、单选题
1．（2015·湖北荆州·统考中考真题）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【分析】连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．
【详解】解：连接OB，
∵∠ACB=25°，
∴∠AOB=2×25°=50°，
由OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO，
∴∠BAO=（180°﹣50°）=65°．
故选C．
【点睛】考点：圆周角定理．
2．（2019·浙江杭州·中考真题）如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据切线长定理即可得到答案.
【详解】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3，故选B.
【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理.
3．（2019·四川遂宁·统考中考真题）如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆周角定理，再结合扇形面积公式和三角形面积公式，即可得出答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴阴影部分的面积，
故选A．
【点睛】本题考查圆周角定理、结合扇形面积公式、三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、结合扇形面积公式、三角形面积公式.
4．（2019·浙江台州·统考中考真题）如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】连接，，根据等边三角形的性质及含30°的直角三角形的性质即可求解.
【详解】设与的切点为，
连接，，
∵等边三角形的边长为8，
∴，，
∵圆分别与边，相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为，
故选A．
【点睛】此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
5．（2019·辽宁葫芦岛·中考真题）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数
【详解】
连接OA、OC，
∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，
∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，
∵OA＝OB（都是半径），
∴∠ABO＝∠OAB＝ （180°﹣∠AOB）＝55°．
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．（2019·台湾·统考中考真题）如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，利用切线长定理得到，，，然后根据勾股定理得到，最后解方程即可．
【详解】解：设，
∵直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，
，
，，
在中，，解得，
即的长度为．
故选D．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理．
7．（2020·重庆·统考中考真题）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【分析】根据切线性质求出∠OAB=90°，根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵AB为⊙O切线，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=35°，
∴∠AOB=90°-∠B=55°．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形性质，熟知相关定理是解题关键．
8．（2020·重庆·统考中考真题）如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【分析】根据切线的性质可得，再根据三角形内角和求出.
【详解】∵AB是的切线
∴
∵
∴
故选D.
【点睛】本题考查切线的性质，由切线得到直角是解题的关键.
9．（2020·广西·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【分析】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
【详解】解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB＝＝25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
10．（2013·四川成都·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】D
【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．
【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11．（2021·湖南长沙·统考中考真题）如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用圆周角定理即可得．
【详解】解：，
由圆周角定理得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
12．（2021·吉林·统考中考真题）如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆内接四边形的性质得度数为，再由为的外角求解．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵为的外角，
∴，只有D满足题意．
故选：D．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．
13．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：B.
【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
14．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（ ）
A．6π B．2π C．π D．π
【答案】D
【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：∵直径AB=6，
∴半径OB=3，
∵圆周角∠A=30°，
∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，
∴的长是=π，
故选：D．
【点睛】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的弧的长度是．
15．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】C
【分析】由BD是圆O的直径，可求得∠BCD = 90°又由圆周角定理可得∠D=∠A= 50°，继而求得答案．
【详解】解：∵BD是的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=∠A= 50°，
∴∠DBC= 90°-∠D = 40°，
故选： C．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，此题难度不大，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
16．（2022·四川广元·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．65°
【答案】A
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
【详解】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，
∴∠ADC=∠ABC=25°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．
17．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
【答案】B
【分析】利用圆周角直接可得答案．
【详解】解： ∠BOC＝130°，点A在上，
故选B
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．
18．（2022·浙江宁波·统考中考真题）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：；
【详解】 ，
故选B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可．
19．（2021·广西桂林·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】直接根据直径所对的圆周角是直角进行判断即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，
∴∠C=90°
故选：B
【点睛】此题主要考查了：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，灵活掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
20．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．12 C．3 D．6
【答案】B
【分析】根据正n边形的中心角的度数为，列方程即可得到答案．
【详解】解：，解得．
这个正多边形的边数为12．
故选：B．
【点睛】本题考查的是正多边形中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
二、填空题
21．（2019·浙江杭州·中考真题）如图，一个圆锥形冰激凌外壳（不计厚度）.已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰激凌外壳的侧面积等于______（计算结果精确到个位）.
【答案】113.
【分析】根据圆锥侧面积公式，代入题中数据，即可得到答案.
【详解】根据题中数据，结合圆锥侧面积公式得：
【点睛】本题考查求圆锥侧面积，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积公式.
22．（2012·广东汕头·中考真题）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是____．
【答案】50°
【详解】∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对弧，
∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOC=2∠ABC，
又∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°．
23．（2019·辽宁辽阳·统考中考真题）如图，是⊙上的四点，且点是的中点，交于点，，，那么_____．
【答案】60°
【分析】根据圆周角与圆心角的关系即可求解.
【详解】解：连接．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为60°．
【点睛】此题主要考查圆周角定理的应用，解题的关键是熟知圆周角定理的性质.
24．（2019·湖南娄底·中考真题）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则_______．
【答案】1
【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．
【详解】解：∵AB为直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为1．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
25．（2019·青海·统考中考真题）如图在正方形中，点是以为直径的半圆与对角线的交点，若圆的半径等于，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】1.
【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积 ，进而得出答案．
【详解】如图所示：连接，
可得，，，
且阴影部分面积
故答案为
【点睛】本题考查正方形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会把不规则图形转化为规则图形．
26．（2019·河南·中考真题）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点再作以为直径的半圆，则图中阴影部分面积为________________．
【答案】
【分析】如图，连接EB．首先证明∠AEB＝30°，解直角三角形求出AE，利用割补法求解即可．
【详解】解：如图，连接EB．则EB＝BC＝2
在Rt△EAB中，∵∠A＝90°，EB＝2，AB＝1，
∴∠AEB＝30°，AE＝，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB＝30°，
∴S阴＝S扇形BCE＋S△ABE－S半圆AE
＝
＝
＝
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
27．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长________cm．
【答案】
【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．
【详解】解：如图：作BD⊥AC于D
由正六边形，得
∠ABC=120°，AB=BC=a，
∠BCD=∠BAC=30°．
由AC=3，得CD=．
cos∠BCD==，即，
解得a=，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆，利用正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数．
28．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）如图，是的外接圆的直径，若，则_____°．
【答案】50
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】∵是的外接圆的直径，
∴点，，，在上，
∵，
∴，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
29．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图，点A，B，C在上，，则________度．
【答案】31
【分析】根据圆周角定理进行求解即可；
【详解】解：由圆周角定理可知：
故答案为：31．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
30．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB=________．
【答案】72°/72度
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．
【详解】解：∵∠ACB=∠AOB，∠ACB=36°，
∴∠AOB=2×∠ACB=72°．
故答案为：72°．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
31．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心、为半径画弧交于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积是_______．
【答案】
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影=S ABCD S扇形ADE S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．
【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵，
∴AD=
∴DF=ADsin45°= ，
∵AE=AD=2 ，
∴EB=AB AE= ，
∴S阴影=S ABCD S扇形ADE S△EBC
=
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
32．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图，圆锥的母线长，底面圆的直径，则该圆锥的侧面积等于________．（结果用含的式子表示）
【答案】
【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
∵圆锥的母线长，底面圆的直径，
∴圆锥的侧面积为：
；
故答案为：；
【点睛】本题考查了求圆锥的侧面积，解题的关键是利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
33．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于D，E两点，，则的长是____________．
【答案】
【分析】连接OE，OD，根据等腰三角形的性质，求得∠DOE=50°，半径为1，代入弧长公式计算即可．
【详解】连接OE，OD，
∵，OB=OD，OA=OE，
∴∠B=∠ODB =65°，∠A=∠OEA =50°，
∴∠BOD =50°，∠AOE =80°，
∴∠DOE=50°，半径为1，
的长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
34．（2022·辽宁大连·统考中考真题）如图，正方形的边长是，将对角线绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E，则的长是____________（结果保留）．
【答案】/
【分析】先根据正方形的性质求解再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：∵正方形ABCD，
∴
∴的长
故答案为：
【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，弧长的计算，熟记弧长公式是解本题的关键．
35．（2022·青海·统考中考真题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m．
【答案】/
【分析】连接，先根据垂径定理、线段中点的定义可得，设的半径长为，则，，再在中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：如图，连接，
是中的弦的中点，且，
，，
设的半径长为，则，
，
，
在中，，即，
解得，
即的半径长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
36．（2022·江苏盐城·统考中考真题）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为___________．
【答案】/
【分析】由旋转的性质可得由锐角三角函数可求从而得出由扇形面积公式即可求解．
【详解】解：
∵矩形中，
由旋转可知，
∵，
∴
∴线段AB扫过的面积
故答案为：
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解此题的关键．
37．（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC=2，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】/
【分析】根据等边三角形的性质可得S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．
【详解】解：过点O作OD⊥AC于点D，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC=120°，AD=CD=，
∴∠OAC=30°，
∴OA=AD÷cos30°=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，
∴S阴影=S扇形AOC==，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
38．（2022·山东日照·统考中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．
【答案】
【分析】连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．
【详解】解：连接AC，
∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．
39．（2022·山东枣庄·统考中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．（结果保留π）
【答案】
【分析】根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，易知AB=4，结合旋转的性质可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圆弧的长度即可．
【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键．
40．（2022·宁夏·中考真题）如图，在中，半径垂直弦于点，若，，则______．
【答案】/0.8
【分析】由垂径定理可知，然后在中根据余弦的概念计算的值即可．
【详解】解：∵半径垂直弦于点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和余弦的知识，熟练掌握余弦的概念是解题的关键．
三、解答题
41．（2013·浙江温州·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA
与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．
【答案】（1）见解析（2）
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；
（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中，，可得方程：，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．
【详解】解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
∵DC=CB
∴AD=AB
∴∠B=∠D
（2）设BC=x，则AC=x－2，
在Rt△ABC中，，
∴，解得：（舍去）．
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E
∴CD=CE
∵CD=CB，
∴CE=CB=．
42．（2013·山东枣庄·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2=AD·AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).
【分析】（1）连接OC，根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根据切线的判定推出即可．
（2）证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案．
（3）求出等边三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面积，相减即可得出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA．
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠DAC．
∴OC∥AD．
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF．
∵OC为半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）证明：∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，
∴∠BCA=∠ADC=90°．
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACB∽△ADC．
∴．
∴AC2=AD AB．
（3）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，
∴∠OCA=60°.
∵OC=OA，
∴△OAC是等边三角形．
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°．
∵在Rt△ACD中，AD=AC=1．
由勾股定理得：DC=，
∴阴影部分的面积是S=S梯形OCDA﹣S扇形OCA=×（2+1）×﹣．
43．（2010·湖北恩施·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF＝FD；
（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】证明（1）连结OF
∵FH是⊙O的切线
∴OF⊥FH
∵FH∥BC ，
∴OF垂直平分BC
∴
∴∠1=∠2，
∴AF平分∠BAC
（2）证明：∵∠ABC的平分线BD交AF于D，
∴∠4=∠3，
∠1=∠2，
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∵∠5=∠2
∴∠1+∠4=∠5+∠3
∴∠FDB=∠FBD
∴BF=FD
（3）解： 在△BFE和△AFB中
∵∠5=∠2=∠1，∠AFB=∠EFB
∴△BFE∽△AFB
∴，
∴
∴
∵BF=DF=EF+DE=7
∴
∴AD==
44．（2010·江苏南京·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）直线CD与⊙O相切，理由见解析
（2）
【详解】解：（1）直线CD与⊙O相切．如图，连接OD．
∵OA=OD，∠DAB=45°，
∴∠ODA=45°，
∴∠AOD=90°．
∵CD∥AB，
∴∠ODC=∠AOD=90°，
即OD⊥CD．
又∵点D在⊙O上，
∴直线CD与⊙O相切．
（2）∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2．
∴S梯形OBCD=，
∴图中阴影部分的面积为S梯形OBCD -S扇形OBD= ．
45．（2012·广东湛江·中考真题）如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若BE=2，BD=4，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）先连接OD，杂而OD⊥BC和AC⊥BC，再由其平行从而得证；
（2）设⊙O的半径为r，则OD=r，OB=2+r，在中，利用勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC．
又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC．
∴∠2=∠3．
∵OA=OD，
∴∠1=∠3．
∴∠1=∠2．
∴AD平分∠BAC．
（2）解： 设⊙O的半径为r，则OD=r，OB=2+r，
在中，，
∴,
解得：r=3
即⊙O的半径为3．
46．（2019·青海·统考中考真题）如图，在中，点分别是半径、弦的中点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）的半径长为．
【分析】连接，如图，利用的中位线得到．则可判断，即可证得结论；
连接，如图，利用垂径定理得到，再在中利用正弦定义计算出，接着证明．从而在中有，设，则，利用勾股定理可计算出，从而得到，然后解方程求出即可得到的半径长．
【详解】连接，如图，
点分别是半径、弦的中点，
，即，
，
，
是的切线；
连接，如图，
，
，
，
在中，，
，
，
．
在中，，
设，则，
，
即，解得，
，
即的半径长为．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用以及解直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键．
47．（2020·贵州遵义·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．
【详解】解：（1）连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
为⊙的直径，
∵DE∥BC，
∴∠E＝ 90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴，
∴BD2＝BF BA＝2×6＝12．
∴BD＝
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．
48．（2020·浙江舟山·统考中考真题）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：
证明：连结OC，∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， 又∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC， ∴AC＝BC．
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
【答案】错误，证明见解析
【分析】连结OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：证法错误；
证明：连结OC，
∵⊙O与AB相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AC＝BC．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．
49．（2020·湖南湘潭·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：；
（2）判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）直线与⊙O相切，理由见解析．
【分析】（1）AB为⊙O的直径得，结合AB=AC，用HL证明全等三角形；
（2）由得BD=BC，结合AO=BO得OD为的中位线，由得，可得直线DE为⊙O切线．
【详解】（1）∵AB为⊙O的直径
∴
在和中
∴（HL）
（2）直线与⊙O相切，理由如下：
连接OD，如图所示：
由知：，
又∵OA=OB
∴OD为的中位线
∴
∵
∴
∵OD为⊙O的半径
∴DE与⊙O相切．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，切线的判定，熟知以上知识的应用是解题的关键．
50．（2020·江苏南京·统考中考真题）如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论；
（2）如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论．
【详解】证明：（1），
，
，
，
又,
四边形是平行四边形．
（2）如图，连接
，
四边形是的内接四边形
【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
51．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，交的延长线于点，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的直径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O的直径为.
【分析】（1）连接OC，如图所示：标注∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的性质、等角代换、平行线的判定即可求得OC⊥ED，继而即可根据切线的判定定理即可求证结论；
（2）根据等边对等角的性质、等角代换、角的和差倍数关系证得∠OCB＝2∠3，继而可得∠1=∠2=∠3=∠4＝30°，设，则OD＝2x，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：标注∠1，∠2，∠3，∠4，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
又平分∠BAE，
∴∠1＝∠EAC，
，
，（内错角相等）
，
，
是的切线．
（2）∵BC＝BD，
∴∠3＝∠4．
∵AB是的直径，
，
由（1）知OC⊥CD
∴∠OCD＝∠3＋∠OCB＝90°，
，
∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB，
而，
而，
，
设，则OD＝2x，
由勾股定理得，
解得，
所以
【点睛】本题考查圆的有关知识，涉及到切线的判定定理、勾股定理、等边对等角、平行线的判定、等角代换，解题的关键是综合运用所学知识．
52．（2021·山东济南·统考中考真题）已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，根据切线的性质，已知条件可得，进而根据平行线的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；
（2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径．
【详解】（1）连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）连接
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
即的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题意添加辅助线是解题的关键．
53．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：
(1)AC＝BD；
(2)△ABE∽△DCE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；
（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似．
【详解】（1）∵＝
∴＝
∴
∴BD=AC
（2）∵∠B=∠C
∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
【点睛】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键．
54．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在⊙中，直径与弦相交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求⊙的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)⊙的半径为3
【分析】（1）利用，同弧所对的圆周角相等，得到，再结合对顶角相等，即可证明；
（2）利用，得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得⊙的半径．
【详解】（1）证明：在⊙中，
∵，
∴，
又∵,
∴．
（2）解：∵，
由（1）可知，，
∵直径，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴，
即⊙的半径为3．
【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含角的直角三角形．主要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的圆周角是直角；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半．
55．（2022·广东·统考中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；
(2)；
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
【详解】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
56．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知．
(1)若的半径为5，求的长；
(2)试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）由题意得，，根据得，根据切线的性质得，即，根据题意得，则，即可得，根据角之间的关系和边之间的关系得是等边三角形，即可得∴，则,根据题意得，，，在中，根据锐角三角形函数即可得；
（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得，为等边三角形，可得，在中，根据直角三角形的性质得，即；方法二：连接，过点O作，垂足为H，根据题意得，四边形是矩形，所以，根据等边三角形的性质得，根据边之间的关系得CE=OE，根据HL得，即可得，由此即可得．
【详解】（1）解：如图所示，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的切线，C为切点，
∴，
∴，
∵，垂足为F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵的半径为5，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴在中，．
（2），证明如下
证明：方法一：如图所示，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∴在中，，
∴，
即；
方法二：如图所示，连接，过点O作，垂足为H，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即DE=2EH，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴（HL），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
57．（2022·湖南·统考中考真题）如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】（1）连接，根据圆周角推论得，根据点是的中点得，，用ASA证明，即可得；
（2）根据题意和全等三角形的性质得，根据四边形ABCD内接于圆O和角之间的关系得，即可得，根据相似三角形的性质得，即可得
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
为直径，
，
又点是的中点
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
又四边形内接于圆，
，
又，
，
又，
，
，
即：，
解得：，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．
58．（2022·青海·统考中考真题）如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接，根据平分，可得，从而得到，可得，再由切线的性质，即可求解；
（2）由，可得，设为，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设为，
∴，
∴，
解得：，
即的长为2．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
59．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得∠ADC=90°，则∠ACD+∠DAC=90°，从而说明，即可证明结论；
（2）作于点H，利用△ADH～△ACD，，求出AH的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质得出AD=DE，利用等腰三角形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，
∴∠DAF=∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC=90°，
∴，
∵AC是直径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：作于点H，
∵⊙O的半径为5，
∴AC=10，
∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，
∴△ADH～△ACD，
∴，
∴，
∵AD＝6，
∴，
∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°，
∴AD=ED，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键．
60．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线AD与圆O相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）连接OA，根据和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，从而得到∠OAD=90°，即可求解；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得，进而得到，再根据阴影部分的面积为，即可求解．
【详解】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴扇形BOC的面积为，
∵，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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