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数列-广东省广州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编
一、单选题
1．（2022·广东广州·统考一模）若数列满足，则的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东广州·统考二模）已知数列是等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·广东广州·统考二模）生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中，若能使获得的能量，则需提供的能量为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广东广州·统考三模）等比数列中，，且，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2022·广东广州·统考三模）中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是
A．174斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤
二、多选题
6．（2022·广东广州·统考二模）我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．把m位n进制中的最大数记为，其中m，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·广东广州·统考一模）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
8．（2023·广东广州·统考二模）在数列中，，，若，则正整数____________．
9．（2023·广东广州·统考一模）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则__________.
10．（2023·广东广州·统考二模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为，则______．
11．（2021·广东广州·统考二模）已知等差数列满足，，则________．
四、解答题
12．（2023·广东广州·统考二模）设是数列的前n项和，已知，.
(1)求，；
(2)令，求.
13．（2023·广东广州·统考一模）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
(2)记甲第i次答题所得分数的数学期望为.
①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若，求i的最小值.
14．（2023·广东广州·统考一模）已知数列的前项和为，且
(1)求，并证明数列是等差数列：
(2)若，求正整数的所有取值.
15．（2023·广东广州·统考二模）设数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：.
16．（2022·广东广州·统考一模）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
17．（2022·广东广州·统考一模）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.
18．（2022·广东广州·统考二模）问题：已知，数列的前n项和为，是否存在数列，满足，__________﹖若存在．求通项公式﹔若不存在，说明理由．
在①﹔②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（2022·广东广州·统考一模）在等比数列中，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 3
第二行 4 6 5
第三行 9 12 8
(1)写出，并求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和.
20．（2021·广东广州·统考二模）已知等比数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式.
(2)令,求数列的前项和.
21．（2021·广东广州·统考三模）已知正项数列和为数列的前项和，且满足，
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）将数列中与数列相同的项剔除后，按从条到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
22．（2021·广东广州·统考二模）已知数列的前项和为，，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，成等比数列，，求的值.
23．（2021·广东广州·统考一模）已知等差数列的前项和为，公差，是的等比中项，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求.
五、双空题
24．（2021·广东广州·统考三模）1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线．如图①，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第2个图形(如图②)，重复上面的步骤，得到第3个图形(如图③)．这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线．云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”．则第5个图形的边长为__________；第n个图形的周长为__________．
参考答案：
1．D
【分析】根据数列奇偶交替的性质相加求和即可.
【详解】当为奇数时，，当为偶数时，，
.
故选：D
2．D
【分析】利用等差数列的性质求出，再利用此性质结合诱导公式计算作答.
【详解】在等差数列中，，则有，即，
所以.
故选：D
3．C
【分析】设需提供的能量为a,由题意知有大约的能量能够流到下一个营养级，即的能量为，的能量为，即构成等比数列，要使获得的能量，列等式，即可求得a的值.
【详解】设需提供的能量为a,由题意知：的能量为，的能量为，
即，解得：，
所以要能使获得的能量，则需提供的能量为，
故选：C.
4．D
【分析】根据等差中项的知识列方程，求得，结合数列的单调性求得的最小值.
【详解】设等比数列的公比为，
由于，，成等差数列，
所以，即，
也即，解得，
所以，所以.
，
，
当时，，当时，，
所以，
所以的最小值为.
故选：D
5．B
【详解】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，
由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，
∴，
解得．
∴．选B．
6．ABD
【分析】根据问题背景的介绍，可以得到m位n进制中的最大数的书写方法，进而得到选项中最大数的式子，再进行大小比较即可.
【详解】对于A：即是：，A正确；
对于B：即是：
即是：，B正确；
对于C、D：
，即是：
，即是：
构造函数：，求导得：
，，单调递增；
，，单调递减；
代入得：
即是：，
，D正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查背景知识的从特殊到一般的转化过程，对获取信息从而抽象成数学问题的能力有一定的要求，随后需要用数列求和得出需要的结果，再从构造函数的角度考查了导数在函数中的应用，
运用函数的性质进行大小比较，对学生来说是一个挑战，属难题.
7．ABD
【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.
【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时
第2次得到数列1,4,3,5,2，此时
第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时
第次得到数列1，，2 此时
所以，故A项正确；
结合A项中列出的数列可得：
用等比数列求和可得
则
又
所以 ，故B项正确；
由B项分析可知
即，故C项错误.
，故D项正确.
故选：ABD.
【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.
8．10
【分析】根据题意，令，判断数列是等差数列，从而求得通项公式，进而代入求解即可．
【详解】由，，令，则，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即，
又为正整数，所以，即，解得或（舍去）．
故答案为：10．
9．
【分析】分析可知是正奇数列，根据题意求得，然后利用裂项相消法可求得的值.
【详解】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，，则，
因此，.
故答案为：.
10．/
【分析】观察图形可知周长形成的数列是首项，公比为的等比数列，即可求解作答.
【详解】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列，
从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，
因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有，
因此数列是首项，公比为的等比数列，，，
所以.
故答案为：
11．
【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，求出，进而可得出结果.
【详解】因为等差数列满足，，
所以，则，因此.
故答案为：.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系即可联立求解，
（2）根据偶数项和奇数项的关系可得，进而根据分组求和即可.
【详解】（1）由得即
，即，又，所以，
（2）当时，，
当时，，
两式相加可得，得，
由于，所以
13．(1)；
(2)①，，且；②5.
【分析】（1）甲甲前3次答题得分之和为40分的事件是甲前3次答题中恰答对一次的事件，再利用相互独立事件概率的乘法公式计算作答.
（2）①求出，再分析、写出与满足的等量关系式作答；②利用构造法求出的通项，列出不等式并结合单调性作答.
【详解】（1）甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.
（2）①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，
则，显然，
，甲第次答题所得分数的数学期望为，
因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，
于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，
所以与满足的等量关系式是：，，且；
②由①知，，当时，，而，
因此数列以为首项，为公比的等比数列，，
于是，由得：，显然数列是递增数列，
而，则有正整数，
所以i的最小值是5.
14．(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据证明为定值即可；
（2）先根据（1）求出，再利用错位相减法求出，从而可得，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】（1）由，得，
当时，，所以，
当时，，
两式相减得，即，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，所以，
，
，
两式相减得，
所以，
则，
由，
得，
即，
令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
由，
，
则当时，，
所以若，正整数的所有取值为.
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用计算整理得，再利用等比数列的通项公式求解即可；
（2）将变形为，利用裂项相消法求，进一步观察证明不等式.
【详解】（1）①，
当时，②，
①-②得，即，
又当时，，解得，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
；
（2）由（1）得，
，
因为，
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公差，从而求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
依题意，，则
所以，解得，所以.
（2），
所以，
，
两式相减得
，
所以.
17．(1)
(2)2101
【分析】（1）公式法解决即可；（2）与（，2，…）之间插入，说明在数列中有10项来自，10项来自，分组求和即可.
【详解】（1）设数列的公差为，
因为是和的等比中项，
所以，即，
因为
所以或（舍）
所以，
所以通项公式
（2）由（1）得，
因为与（）之间插入，
所以在数列中有10项来自，10项来自，
所以
18．选①：；选②：；选③：
【分析】选①：利用与的关系得到关于的递推公式，再由递推公式求，然后可得通项；选②：利用与的关系得到递推公式，然后构造等比数列可求通项；选③：根据递推公式构造等比数列可解.
【详解】选①：
，即是以2为公差，1为首项的等差数列
，即
当时，
显然，时，上式不成立，所以.
选②：当时，，即
所以
整理得
又，
所以从第二项起，是以2为公比，4为首项的等比数列
当时，，即
显然，时，上式成立，所以
选③：
又
是以2为公比和首项的等比数列
，即
19．(1)，，，
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义和表格中数据的特点得到，，，进而求得通项公式；
（2）由（1）知，利用分组求和，含有需讨论为偶数与奇数，然后按照等差数列求和.
【详解】（1）根据等比数列的定义和表格中数据，得到，，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，故.
（2）因为
当为偶数时，
当为奇数时，
综上所述，
20．(1)
(2)
【分析】（1）将题设条件转化为，从而得到，进而求出公比，由此得解；
（2）利用（1）结论，结合裂项相消求和法即可得解.
【详解】（1）当时,
即,又是等比数列,;
数列的通项公式为:.
（2）由（1）知,,
,
即.
21．（1），；（2）11302．
【分析】（1）由，利用得出数列的递推式，得数列是等差数列，求得后可得通项公式，再计算出；
（2）先看数列中前100项内有多少项是中的项，从而可以确定中前100项的最后一项是中的第几项，其中含有中的多少项，从而求得．
【详解】（1）因为，
所以时，，
两式相减得，，
因为，所以，
又，，所以，所以，
，；
（2），又，，因此，
所以．
【点睛】易错点睛：本题考查由求数列的通项公式，考查分组求和法．在应用公式求时要注意，即不包含，需另外计算，同样如果求得的是递推式，也要确认递推式是否是从开始的，否则需要要验证含有的项是否符合表达式．
22．（1）；（2）．
【分析】（1）由写出用代所得等式，两式相减求得，注意验证，
（2）求出，由，，成等比数列，求得值，然后计算
【详解】（1）因为，，
所以，，
又，
得，所以，又，
所以，；
（2）由（1），
若，，成等比数列，则，解得（舍去），
，
所以．
【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，等比数列的性质，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：
设数列是等差数列，是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；
（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；
（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；
（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
23．（1）；（2）.
【分析】（1）直接用等差数列的基本量解方程即可；
（2）先算出，然后运用累加法即可获解.
【详解】（1）
是的等比中项
解得 （舍去）
（2）
据题意
两式相减得
所以有
以上9个式子相加得
【点睛】本题求和运用了数列中得累加法，如果递推公式形式为: 或
则可利用累加法.
24．
【分析】根据题中给出的图形，先分析边长之间的变换规律，再分析边数的变化规律，最后分析周长的变化规律即可.
【详解】第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的,以次类推，，则第5个图形的边长为;
以—条边为例，原本的一条也被分成了3份，擦去一份，在擦掉的那条边上又衍生出2条，即原本的1条边变成现在的（3-1)+2=4条，翻了4倍，所以周长之间的关系为，所以是公比为的等比数列，而首项，
所以.
故答案为：；
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