高中试卷答案网光明区公明中学2022-2023学年第二学期八年级期中考试数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不确定
4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5
C．x2+1＝x（x+） D．x2+4x+4＝（x+2）2
5．若4x2+mxy+y2是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．2 B．4 C．±4 D．±2
6．解关于x的方程没有解，则m的值等于（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
7．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．11cm B．18cm C．20cm D．22cm
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④BD＝2CD．正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．一次函数y1＝ax+b与y2＝mx+n在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，则不等式组的解集为（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜3 C．x＞3 D．以上答案都不对
10．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于F，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
二．填空题（每题4分，共28分）
11．分解因式：ax2﹣16ay2＝___________．
12．若分式的值为0，则x的值为_______．
13．已知一次函数y＝kx+（2－k）的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是_________．
14．若代数式有意义，则x的取值范围是__________．
15．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB＝8cm，AC＝10cm，则四边形ADEF的周长等于_______cm．
16．如图，M为钝角△ABC中BC边的中点，经过M的直线将△ABC分成了周长相等的两部分，已知AB＝8，∠A＝120°，则MN＝_______．
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为_______．
三．解答题（一）（共18分）
18．（6分）计算：＋．
19．（6分）先化简再求值：，其中x＝．
20．（6分）解分式方程：．
四．解答题（二）（共24分）
21．（8分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标．
22．（8分）A、B两地的距离是70千米，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟40分钟到达B地，求两车的速度．
23．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝a，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．
（1）求证：DF＝FE；
（2）若AC＝2CF，∠ADC＝60°，AC⊥DC，求BE的长．
五．解答题（三）（共20分）
24．（10分）某公司为了开发新产品，用A、B两种原料各360千克、290千克，试制甲、乙两种新型产品共50件，下表是试验每件新产品所需原料的相关数据：
原料含量 产品 A（单位：千克） B（单位：千克）
甲 9 3
乙 4 10
（1）设生产甲种产品x件，根据题意列出不等式组，求出x的取值范围；
（2）若甲种产品每件成本为70元，乙种产品每件成本为90元，设两种产品的成本总额为y元，写出成本总额y（元）与甲种产品件数x（件）之间的函数关系式；当甲、乙两种产品各生产多少件时，产品的成本总额最少？并求出最少的成本总额．
25．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8cm，AB＝6cm，BC＝10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．
（1）当t＝_______s时，四边形PCDQ的面积为36cm2；
（2）若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；
（3）当0＜t＜5时，若DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？
参考答案与试题解析
一．选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
2．不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵x+2≥3，∴x≥1，
不等式x+2≥3的解集在数轴上表示为：，故选：C．
3．若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不确定
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得（n﹣2） 180°＝360°，解得n＝4．
所以这个多边形是四边形．故选：B．
4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5
C．x2+1＝x（x+） D．x2+4x+4＝（x+2）2
【解答】解：A和B都不是积的形式，应排除；
C中，结果中的因式都应是整式，应排除．
D、x2+4x+4＝（x+2）2，正确．故选：D．
5．若4x2+mxy+y2是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．2 B．4 C．±4 D．±2
【解答】解：4x2+mxy+y2＝（2x）2+mxy+y2．
∵4x2+mxy+y2是一个完全平方式，∴mxy＝±2 x 2y＝±4xy．∴m＝±4．故选：C．
6．解关于x的方程没有解，则m的值等于（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【解答】解：分式方程去分母得：x﹣3＝m，
根据分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
将x＝1代入整式方程得：1﹣3＝m，
解得：m＝﹣2．故选：B．
7．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．11cm B．18cm C．20cm D．22cm
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD与BC平行，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE＝4，
∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，
∴平行四边形ABCD的周长为2×（7+4）＝22（cm），故选：D．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④BD＝2CD．正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：由题意可得，AD是∠BAC的平分线，故说法①正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°，故说法②正确；
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠B＝∠BAD＝30°，∴△ABD为等腰三角形，∴DE为△ABD的中线，
∴点D在AB的垂直平分线上，故说法③正确；
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝∠AED＝90°，∴CD＝DE，
∵∠CAD＝∠BAD，∴△ACD≌△AED（AAS），∴CD＝DE，
∵∠AED＝∠BED＝90°，∠B＝30°，
∴BD＝2DE，∴BD＝2CD，故说法④正确．∴正确的说法有4个，故选：D．
9．一次函数y1＝ax+b与y2＝mx+n在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，则不等式组的解集为（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜3 C．x＞3 D．以上答案都不对
【解答】解：观察函数图象得到
不等式ax+b＞0的解集为x＞﹣2，
不等式mx+n＜0的解集为x＞3；
所以不等式组的解集为x＞3．故选：C．
10．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于F，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【解答】解：如图，过点C作CM∥AB，交AE的延长线于M，交AD的延长线于N，
∵CM∥AB，∴∠B＝∠ECM，∠M＝∠BAE，
在△ABE和△MCE中，，∴△ABE≌△MCE（AAS），
∴AB＝CM＝10，AE＝EM，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB∥CM，
∴∠BAD＝∠ANC，
∴∠ANC＝∠CAD，
∴AC＝CN＝6，
∴MN＝4，
∵AC＝CN，CF⊥AD，
∴AF＝FN，
又∵AE＝EM，
∴EF＝MN＝2，
方法二、延长CF交AB于H，
在△AFC和△AFH中，，∴△AFC≌△AFH（ASA），
∴CF＝HF，AH＝AC＝6，∴BH＝4，∵BE＝CE，CF＝HF，∴EF＝MN＝2，故选：B．
二．填空题
11．分解因式：ax2﹣16ay2＝ a（x+4y）（x﹣4y） ．
【解答】解：原式＝a（x+4y）（x﹣4y）．
故答案为：a（x+4y）（x﹣4y）
12．若分式的值为0，则x的值为 ﹣2 ．
【解答】解：由分式的值为零的条件得|x|﹣2＝0，且分母x2﹣x－2＝（x﹣2）（x＋1）≠0，
解得x＝﹣2，故答案为：﹣2．
13．已知一次函数y＝kx+（2－k）的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是 0＜k＜2 ．
【解答】解：一次函数y＝kx+（2－k）的图象经过第一、二、三象限，
那么k＞0，2－k＞0，解得0＜k＜2．
14．若代数式有意义，则x的取值范围是 x＜2 ．
【解答】答案为：x＜2．
15．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB＝8cm，AC＝10cm，则四边形ADEF的周长等于_______cm．
【解答】解：∵点D、E、F分别是边AB、BC、CB的中点，AB＝8cm，AC＝10cm，
∴AD＝AB＝4cm，DE＝AC＝5cm，AF＝AC＝5cm，EF＝AB＝4cm，
∴四边形ADEF的周长＝AD+DE+EF+AF＝18cm．
16．如图，M为钝角△ABC中BC边的中点，经过M的直线将△ABC分成了周长相等的两部分，已知AB＝8，∠A＝120°，则MN＝ 4 ．
【解答】解：如图，延长CA到点D，使AD＝AB，连结BD，
∵∠BAC＝120，∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝8，
∵MN将△ABC分成周长相等的两部分，
∴AB+AN+BM＝CN+CM，
∵BM＝CN，∴AB+AN＝CN，
∵AB+AN＝AD+AN＝DN，∴DN＝CN，
∴MN＝BD＝×8＝4，故答案为：4．
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为_______．
【解答】解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值，
∵C1C2∥DE，C1C2＝DE，
∴四边形C1DEC2是平行四边形，
∴C1D＝C2E，
又∵C、C1关于AB对称，
∴CD＝C1D，
∴CD+EF＝C2F，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴CN＝，AN＝3，
过C2作C2M⊥AB，则C2M＝C1N＝CN＝，
∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，
∴MN＝C1C2＝，
∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，
∴∠MC2E＝∠A＝30°，
在Rt△C2ME中，ME＝1，C2M＝，C2E＝2，
∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，
∴EF＝1﹣，
∴C2F＝2+1﹣＝3﹣．
三．解答题（一）（共18分）
18．计算：＋．
【解答】解：原式＝－＝＝－．
19．先化简再求值：，其中x＝．
【解答】解：原式＝
＝
＝﹣，
当x＝时，原式＝﹣＝﹣．
20．解分式方程：．
【解答】解：去分母两边同时乘以x（x﹣2），
得：4+（x﹣2）＝3x，
去括号得：4+x﹣2＝3x，
移项得：x﹣3x＝2﹣4，
合并同类项得：﹣2x＝﹣2，
系数化为1得：x＝1．
把x＝1代入x（x﹣2）＝﹣1≠0，
∴原方程的解是：x＝1．
四．解答题（二）（共24分）
21．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1（﹣1，﹣1），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣4）．
（2）如图，P点坐标为（2，0）．
22．A、B两地的距离是70千米，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟40分钟到达B地，求两车的速度．
【解答】解：设公共汽车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度是3x千米/小时．
依题意，得＝＋3－，
解得x＝20．
经检验x＝20是原方程的根，且符合题意．
∴3x＝60．
答：公共汽车和小汽车的速度分别是20千米/时，60千米/时．
23．如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝a，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．
（1）求证：DF＝FE；
（2）若AC＝2CF，∠ADC＝60°，AC⊥DC，求BE的长．
【解答】解：（1）证明：延长DC交BE于点M，
∵BE∥AC，AB∥DC，
∴四边形ABMC是平行四边形，
∴CM＝AB＝DC，C为DM的中点，BE∥AC，
则CF为△DME的中位线，DF＝FE；
（2）由（1）得CF是△DME的中位线，故ME＝2CF，
又∵AC＝2CF，四边形ABMC是平行四边形，
∴AC＝ME，
∴BE＝2BM＝2ME＝2AC，
又∵AC⊥DC，
∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC＝AD sin∠ADC＝，
∴BE＝．
五．解答题（三）（共20分）
24．某公司为了开发新产品，用A、B两种原料各360千克、290千克，试制甲、乙两种新型产品共50件，下表是试验每件新产品所需原料的相关数据：
原料 含量 产品 A（单位：千克） B（单位：千克）
甲 9 3
乙 4 10
（1）设生产甲种产品x件，根据题意列出不等式组，求出x的取值范围；
（2）若甲种产品每件成本为70元，乙种产品每件成本为90元，设两种产品的成本总额为y元，写出成本总额y（元）与甲种产品件数x（件）之间的函数关系式；当甲、乙两种产品各生产多少件时，产品的成本总额最少？并求出最少的成本总额．
【解答】解：（1）依题意列不等式组得，
由①得x≤32；
由②得x≥30；
∴x的取值范围为30≤x≤32．
（2）y＝70x+90（50﹣x），
化简得y＝﹣20x+4500，
∵﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小．
而30≤x≤32，
∴当x＝32，50﹣x＝18时，y最小值＝﹣20×32+4500＝3860（元）．
答：当甲种产品生产32件，乙种18件时，甲、乙两种产品的成本总额最少，最少的成本总额为3860元．
25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8cm，AB＝6cm，BC＝10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．
（1）当t＝ 2 s时，四边形PCDQ的面积为36cm2；
（2）若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；
（3）当0＜t＜5时，若DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？
【解答】解：（1）∵AD＝8cm，BC＝10cm，点Q的速度是1cm/s，点P的速度是2cm/s，
∴QD＝AD﹣AQ＝8﹣t，CP＝BC﹣BP＝10﹣2t，
∴四边形PCDQ的面积＝（8﹣t+10﹣2t）×6＝36，解得t＝2；
所以t＝2s时，四边形PCDQ的面积为36cm2；
（2）∵四边形PCDQ是平行四边形，
∴8﹣t＝10﹣2t，解得t＝2；
以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，t的值是2；
（3）①如图，若PQ＝PD，过P作PE⊥AD于E，
则QD＝8﹣t，QE＝QD＝（8﹣t），
AE＝AQ+QE＝t+（8﹣t）＝（8+t），
∵AE＝BP，∴（8+t）＝2t，解得t＝；
②如图，若QD＝QP，过Q作QF⊥BC于F，
则QF＝6，FP＝2t﹣t＝t，
在Rt△QPF中，由勾股定理得：
QF2+FP2＝QP2，
即62+t2＝（8﹣t）2，
解得t＝，
综上所述，当t＝或时，△DPQ是等腰三角形．