高中试卷答案网2022-2023学年福建省福州市仓山区时代中学九年级（下）期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，数轴上点表示的数可能是( )
A. B. C. D.
2. 下列各组式子中，不一定相等的一组是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
3. 下列图形中一定小于的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，在同一平面内，经过直线外一点的条直线中，与相交的直线至少有( )
A. 条
B. 条
C. 条
D. 条
5. 下列与相乘等于的是( )
A. B. C. D.
6. 袋子里有个红球，个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则的值不可能是( )
A. B. C. D.
7. 如图，直线，相交于点，为这两条直线外一点，且若点关于直线，对称点分别是点、，则，之间的距离可能是( )
A.
B.
C.
D.
8. 一项工作，一个人单独完成需天，若个人共同完成需天，选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是( )
A. B. C. D.
10. 已知函数的自变量与函数值之间满足下列表格中的数量关系，那么的值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．
12. 小明参加演讲比赛，他的演讲形象，内容，效果三项分别是分，分，分，若将三项得分依次按：：的比例确定成绩，则小明的最终比赛成绩为______ 分
13. 若、是方程的两根，则的值为______ ．
14. 点，都在反比例函数的图象上，若，则的值为______ ．
15. 如图，扇形的圆心角，点、在上，沿、折叠扇形，若点、的对应点落在劣弧上同一点处，则的度数为______ 用的代数式表示
16. 已知抛物线均为常数，的顶点是，且该抛物线经过点，，若，则的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
．
18. 本小题分
先化简，再求值：，其中，．
19. 本小题分
如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，且求证：．
20. 本小题分
“曹冲称象”是中国民间流传很广的故事，故事中称象的方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将够用牵出，然后往船上抬入块等重的条形石，并在船上留个搬运工，这时水位恰好在标记位置，如果再抬入块同样的条形石，船上只留个搬运工，水位在标记位置不变，若每块条形石的重量都是斤，求该头象的重量是多少？假设每个搬运工体重都相同
21. 本小题分
为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长结果保留整数，参考数据：，．
22. 本小题分
为了倡导“节约用水，从我做起”，某社区决定对该辖区户家庭用水情况进行调查调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量单位：吨，调查中发现，每户家庭月平均用水量在吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
月平均用水量吨
频数户数
频率
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ 本组数据的中位数是______ ．
根据样本数据，估计该辖区户家庭中月平均用水量不超过吨的约有多少户？
该社区决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出所有等可能的结果．
23. 本小题分
已知四边形内接于圆，直径与交于点，平分．
如图，若，求证：；
如图，作≌，使得、在的两侧尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，若，求．
24. 本小题分
如图抛物线交轴于，两点，与轴交于点．
求二次函数的解析式及顶点的坐标；
过定点的直线：与二次函数的图象相交于，两点．
若，求的值；
证明：无论为何值，恒为直角三角形．
25. 本小题分
如图，中，，直线垂直平分，与关于直线对称，，的交点在上，将绕点逆时针旋转，使得点落在延长线上，得到，取中点，连接，，．
求证：；
求证：，，三点共线；
若，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点在和之间，且偏一侧，所以符合题意的数是，
故选：．
观察点在数轴上的位置，再作判断即可．
本题考查有理数在数轴上的表示，以及有理数大小比较，准确解题需要一定的观察判断能力．
2.【答案】
【解析】解：、与相等，故本选项不符合题意；
B、，
与相等，
故本选项不符合题意；
C、，
与不相等，
故本选项符合题意；
D、，
与相等，
故本选项不符合题意；
故选：．
根据加法的交换律、合并同类项、去括号法则以及乘方的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
本题考查了代数式，解题关键是根据所给算式采取适合的方法逐个分析解答．
3.【答案】
【解析】解：、对顶角相等；
B、若两直线平行，则；
C、三角形外角大于不相邻的内角，则；
D、根据同弧对的圆周角相等，则；
故选：．
根据圆周角定理，对顶角相等，平行线的性质，以及三角形外角知识，运用排除法，逐题分析判断．
本题考查了同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，平行线的性质，以及三角形外角性质等知识，掌握相应的定义是关键．
4.【答案】
【解析】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线平行的，只能是一条，
即与直线相交的直线至少有条．
故选：．
根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
本题考查了平行公理及推论，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
5.【答案】
【解析】解：，，，，，
选项D中的式子符合题意，
故选：．
根据题意，可以写出与相乘等于的数，然后计算各个选项中式子的结果，即可解答本题．
本题考查有理数的混合运算、倒数，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
6.【答案】
【解析】解：袋子里有个红球，个黑球，
摸到红球的可能性为；
摸到黑球的可能性为，
摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，
，
．
故选：．
分别求出摸到红球和黑球的概率，再根据摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大即可得出结论．
本是题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：连接，，，
点关于直线，的对称点分别是点，，
，，
，
，
故选：．
由对称得，，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
本题考查线段垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形边长的关系．
8.【答案】
【解析】解：一个人完成需天，
一人一天的工作量为，
个人共同完成需天，
一人一天的工作量为，
每人每天完成的工作量相同，
．
，
是的反比例函数，
选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是：．
故选：．
利用已知条件得出与的函数关系式，利用函数关系式即可得出结论．
本题主要考查了反比例函数的应用，函数的图象，利用已知条件得出与的函数关系式是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由作图痕迹，在上截取线段等于，则，所以选项不符合题意；
B.由作图痕迹，在上延长线上截取线段等于，则，所以选项不符合题意；
C.由作图痕迹，作的垂直平分线把分成两线段，则，所以选项不符合题意；
D.由作图痕迹，作的垂直平分线，则，所以选项符合题意．
故选：．
利用基本作图可直接对由选项和选项得到，根据基本作图和线段垂直平分线的性质、三角形三边的关系，由选项得到，由选项得到．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
10.【答案】
【解析】解：抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线经过，对称轴为直线，
抛物线经过，即，
，
故选：．
由抛物线经过，可得抛物线的对称轴，从而可得的值，再由抛物线的对称性及点可得的值，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，得．
解得．
故答案为：．
分式的分母不等于零．
本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得：
分．
故小明的最终比赛成绩为分．
故答案为：．
利用加权平均数的计算方法可求出结果．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：是方程的根，
，
，
、是方程的两根，
，
．
故答案为：．
一元二次方程的解得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
14.【答案】
【解析】解：点，都在反比例函数的图象上，
，，
且，
．
故答案为：．
因为、都在反比例函数的图象上，可知，，把已知代入可求得的值．
本题主要考查反比例函数的图象上点的特征，掌握反比例函数图象上点的坐标之积等于是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，，
由题意得：，，
，
，
，
，
故答案为：
由圆周角定理得到，由圆内接四边形的性质即可解决问题．
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质．
16.【答案】且
【解析】解：抛物线均为常数，的顶点是，且该抛物线经过点，，，
该抛物线的开口向上，且，
且，
故答案为：且．
由题意可得到该抛物线的开口向上，且，然后即可得到的取值范围．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17.【答案】解：原式
．
【解析】先根据绝对值的性质、特殊角的三角函数计算出各数，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知绝对值的性质、熟记特殊角的三角函数是解题的关键．
18.【答案】解：原式
，
当，时，原式．
【解析】利用完全平方公式、平方差公式和通分等方法将原分式化简成，再将、的值代入化简后的分式中即可得出结论．
本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
19.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
在与中，
，
≌，
，
．
【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．
20.【答案】解：船上个搬运工，再抬入块同样的条形石，船上只留个搬运工，水位在标记位置不变，
个搬运工的重量块条形石重量的一半，
每块条形石的重量都是斤，
个搬运工的重量斤，
该头象的重量是斤，
答：该头象的重量是斤．
【解析】根据已知条件得出个搬运工的重量，再利用该头象的重量等于块条形石的重量名搬运工重量，即可得到答案．
本题考查有理数计算的应用．本题也设一个搬运工的重量，用大象的重量不变列一元一次方程求解．
21.【答案】解：由题意可知：，，
过作于于点，
，，
四边形为矩形，
米，
在中，，
米，，
米，
在中，，
米，，
米，
米，
答：的长和的长分别约为米和米．
【解析】由题意可知：，过作于于，易得四边形为矩形，从而可知，然后根据锐角三角函数的定义分别求出与的长度即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义求出与的长度，本题属于基础题型．
22.【答案】，
【解析】解：抽查的户数为：户，
，，，
中位数为吨，
故答案为：，，，；
户，
估计该市直属机关户家庭中月平均用水量不超过吨的约有：户；
画树状图如图：
共有种等可能的结果，恰好选到甲、丙两户的结果有种，
恰好选到甲、丙两户的概率为，所有等可能的结果分别为甲，乙、甲，丙、甲，丁、乙，甲、乙，丙、乙，丁、丙，甲、丙，乙、丙，丁、丁，甲、丁，乙、丁，丙．
求出抽查的户数，由中位数的定义求解即可；
由总户数乘以月平均用水量不超过吨的户数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，列举出来，恰好选到甲、丙两户的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法、平均数、众数、中位数以及频数分布表等知识点，能正确画出树状图是解此题的关键．
23.【答案】证明：如图，
为直径，
，
平分，
，
，，
，
，
，，
，
；
解：如图，在上的延长线上截取，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
在中，
，
设，，
，，
．
【解析】如图，先根据圆周角定理得到，则，所以，，然后证明，从而得到结论；
如图，在上的延长线上截取，利用圆内接四边形的性质得到，则，于是可证明≌，所以，，接着证明为等腰直角三角形得到，然后在中利用正切的定义得到，则可设，，所以，从而可计算出的值．．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．
24.【答案】解：把，代入，
得，
解得，
，
，
该抛物线的解析式为，顶点为的坐标为；
解：设，，
直线：过定点，抛物线的顶点坐标为，
．
．
．
过定点，
，
，
联立与可得，
，．
．
；
证明：如图，过点作轴，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为、，
设，
，在二次函数图象上，
，．
，
，，，，
，
，
由可知，，
．
．
．
．
．
，
，即．
无论为何值，恒为直角三角形．
【解析】把，代入，即可求解；由，可求顶点坐标；
根据题意求出，根据三角形的面积公式得到，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可；
根据正切的定义得到，，进而证明，证明结论．
本题考查的是二次函数知识的综合运用、直角三角形的判定、正切的概念，灵活运用二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
25.【答案】证明：与关于直线对称，
直线垂直平分，即，
直线垂直平分，即，
；
证明：将绕点逆时针旋转，使得点落在延长线上，得到，
≌，
，，
与关于直线对称，
，，
，
，
，
，
是的中点，
如图，设与交于点，
，
是的中点，
是的中点，
和是同一个点，
，，三点共线；
解：由知：，
，
，
四边形是等腰梯形，
如图，过点作于点，于点，
四边形是矩形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
【解析】根据与关于直线对称，可得直线垂直平分，再由直线垂直平分，根据垂直于同一条直线的两条直线平行，即可解决问题；
先证明是的中点，设与交于点，然后证明，可得是的中点，可得和是同一个点，进而可以解决问题；
证明四边形是等腰梯形，过点作于点，利用勾股定理求出，再根据等腰梯形的性质求出，进而利用梯形面积公式即可解决问题．
本题属于四边形的综合题，考查了旋转的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，解决本题的关键是得到四边形是等腰梯形．
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