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小升初真题演练：探索规律（专项突破）-小学数学六年级下册青岛版
一、选择题
1．（2022.广西玉林）观察下图，寻找规律，问号处应填入（ ）。
A． B． C． D．
2．（2022.长沙）○▲▲□☆○▲▲□☆○▲▲□☆……，第116个图形是（ ）。
A．○ B．▲ C．□ D．☆
3．（2022.武汉）与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是（ ）。
A．5＋3 B．42 C．52＋32 D．52－32
4．（2022.上海）、、、…这一列数中的第10个数应该是（ ）。
A． B． C． D．
5（2022.长沙）．如下图，甲、乙、丙三个球完全相同，从不同的高度落下后，哪个球反弹高一些？（ ）
A．甲球 B．乙球 C．丙球 D．同样高
6．（2022.上海）小红用计算器探索计算规律，她算出了以下3个算式的积。
7×9＝63 77×99＝7623 777×999＝776223
照此规律，第7个算式的积是（ ）。
A．777777762222222 B．7777776222222 C．77777762222223 D．7777762222223
二、填空题
7．（2022.无锡）观察下列等式，你会发现一些规律，依照你发现的规律，请在最后一个等式的括号里填上相同的数。
3＋1＝3×1，2＋1＝2×1，1＋3＝1×3，…，1＋( )＝1×( )。
8．（2022.徐州）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请你根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。
1 1＋2＋1＝4 1＋2＋3＋2＋1＝9 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16
(1)1＋2＋3＋…＋9＋10＋9＋…＋3＋2＋1＝( )；
(2)（1＋2＋3＋…＋15）×2＋16＝( )。
9．（2022.益阳）如图是“杨辉三角”，根据各数之间的关系，第6行中的最大数是( )，这一行所有数的和是( )。
10．（2022.成都）在一串数1，4，7，10，13，16，19，22…这串数的前2022个数中，有( )个偶数。
11．（2022.青岛）一次大型运动会上，工作人员按照3个红气球，2个黄气球，1个绿气球的顺序把气球串起来装饰运动场，那么第2022个气球是( )颜色的（填“红”“黄”或”绿”）。
12．（2022.海口）把一些棋子按下面的方式摆放，照这样的规律，第6个图案需要( )枚棋子。
13．（2022.三亚）瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第9个数据是( )。
14．（2022.长沙）有一些能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人，3张方桌拼成一行能坐8人（如图所示），……则10张桌子可坐( )人；n张桌子可坐( )人。
三、判断题
15．（2022.成都）小数点后第80位上的数字是2。( )
16．（2022.长沙）根据规律98765432×9－8＝888888880。 ( )
17．（2022.宁乡）有这样一组数1，3，5，7，9…那么第n个数是2n－1。( )
18．（2022.黄冈）根据33×4＝132，333×4＝1332，3333×4＝13332，可知33333×4＝133332。( )
19．（2022.长沙）如图这样放三角形积木，如果最下层放19块积木，共需放72块积木。( )
四、计算题
20．（2022.武汉）算一算，并找出其中的规律．
1－＝ －＝ －＝ －＝ －＝
（1）根据上面的规律，直接写出下面各题的得数．
－＝ －＝ －＝
（2）用上面的规律计算：＋＋＋．
五、解答题
21．（2022.溧阳）下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。请画出图形⑤，并把下表补充完整。
图形 ① ② ③ ④ ⑤
面积/平方厘米 0.25 0.75 1.5
周长/厘米 2 4 6
22．（2022.上海）下面每个图形中灰色小正方形有多少个？
（1）观察规律，照样子在下面的括号内填上算式，并把第4幅图画在方框内。
（2）照这样的画下去，想一想，第20幅图形中有（ ）个灰色小正方形。
23．（2022.安徽）黑洞数又称陷阱数，例如：297，把各数位上的数从小到大排列为279，从大到小排列为972；将972－279＝693；又把693重新排列，大数是963，小数是369，963－369＝594；再把594重新排列，大数是954，小数是459，954－459＝495，重复上述步骤都得到495，我们就把这个495称做“黑洞数”。
根据以上方法你能用1628这个数，推算出四位数的黑洞数吗？
1628重排，大数是8621，小数是1268，8621－1268＝7353；
7353重排，大数是7533，小数是3357，7533－3357＝4176；
请你接着推算，四位数的黑洞数应该是多少。
24．（2022.浏阳）数学里有很多奥秘，需要我们探索、发现与应用。下面的问题，让我们都来研究吧。
问题1：两个相邻自然数相乘，积的末位数学有什么特征？
（1）探究：请你在下框中举一些例子进行观察、比较。要从简单开始，有序思考寻找规律。
（2）发现：两个相邻自然数相乘，积的末位数字的特征是（ ）。
（3）应用：①下面四个选项中，只有选项（ ）是两个相邻自然数的乘积。
A．62 B．123 C．756 D．1416
②它是两个相邻自然数（ ）和（ ）的乘积。
问题2：两个相邻自然数相加或相乘，它们的和与积有什么联系？
（4）再探究：请你在下表中进行观察、比较，寻找联系。
相邻自然数 1与2 2与3 3与4 … 9与10 n与
和 3 5 7 1 19
积 2 6 12 1 90
①再观察：下图大正方形是由四个相同的小长方形拼接而成，你能找到n与的“和”、“积”吗？（在图上标出来）
②我发现，n与的“和”、“积”的关系是：______。（可用含有字母的式子表示出来）
【反思】
当你解决此题时，是不是觉得很神奇呢？原来复杂的问题也可以通过画图、转换等探索，而变得简单有趣。只要真正热爱数学，你就能感受到学习的无穷魅力。
25．（2022.昆明）为方便销售，售货员把啤酒瓶捆成如图（从瓶底方向看）的形状，每个瓶底的直径是7厘米，计算出每组至少需要多长的绳子？（接头处不计）你发现了什么规律？
26．（2022.重庆）仔细分析，探究规律。
三角形个数 1个 2个 3个 4个 …
小棒的根数 3根 5根 7根 9根 …
观察图形和表格，如果要摆100个三角形，需要多少根小棒？要摆n个三角形，需要多少根小棒？
参考答案：
1．A
【分析】观察图形，看前面两列，每一列的点都在同一个圆圈里，按顺时针转动。
【详解】所以第三列的最后一个图跟第三列第一、第二个图一样，点在圆外按顺时针转动。
故答案为：A
【点睛】观察图形，找出规律，规律是每一列的点都在按顺时针转动。
2．A
【分析】题中图形的排列规律是按照一个圆圈，两个黑三角，一个正方形，一个五角星组成的，循环周期是5，用116除以5，求出商和余数，余数是几，第116个图形就是循环周期的第几个图形。
【详解】116÷5＝23（组）……1（个）
所以第116个图形是〇。
故答案为：A
【点睛】明确题中的循环周期是解题的关键。
3．C
【分析】把算式1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1看作两部分：1＋3＋5＋7＋9和5＋3＋1，根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”可得，1＋3＋5＋7＋9＝52，5＋3＋1＝32，据此解答。
【详解】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1
＝（1＋3＋5＋7＋9）＋（5＋3＋1）
＝52＋32
＝25＋9
＝34
所以，与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的是52＋32。
故答案为：C
【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。
4．B
【分析】观察数列可知，这些分数的分母是按照偶数进行排列的，分子是按照奇数进行排列的，则第10个数应该是，据此选择即可。
【详解】由分析可知：
、、、…这一列数中的第10个数应该是。
故答案为：B
【点睛】本题考查数字的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
5．C
【分析】根据同一种球，高度越高，反弹的高度也相对较高进行解答即可。
【详解】甲、乙、丙三个球完全相同，从不同的高度落下后，丙球反弹的高一些。
故答案为：C
【点睛】解答本题的关键是明确：同一种球，高度越高，反弹的高度也相对较高。
6．C
【分析】观察小红算出的3个算式可知，随着一个因数中7的个数和另一个因数中9的个数增加，积中的7和2的个数也跟着增加，据此解答。
【详解】①7×9＝63，积中有0个7和0个2；
②77×99＝7623，与第1个算式比，一个因数多了1个7，另1个因数多了1个9，积多了1个7和1个2 ；
③777×999＝776223，与第1个算式比，一个因数多了2个7，另1个因数多了2个9，积多了2个7和2个2 ；
④7777×9999＝77762223，与第1个算式比，一个因数多了3个7，另1个因数多了3个9，积多了3个7和3个2 ；
可知规律是：乘积中的7和2的个数比因数中7或9的个数少1个；
第7个算式的积与第一个算式比，一个因数多了6个7，另1个因数多了6个9，积多了6个7和6个2 ，即：7777777×9999999＝77777762222223；
故答案为：C
【点睛】此题考查用计算器探索规律，关键能够观察因数变化对积的影响。
7． 2 2
【分析】先把带分数化成假分数，再找规律，即＋＝，，，观察可知两个分数的分子相同，且是两个分母的和，根据此规律可求解。
【详解】＋＝，，，观察可知两个分数的分子相同，且是两个分母的和，所以，即1＋2＝1×2，
【点睛】本题主要考查“式”的规律，先变化原式，再发现规律，根据规律解答。
8．(1)100
(2)256
【分析】观察所给的算式，发现算式的和等于算式中最中间那个最大加数的平方。据此解答。
【详解】（1）（1）1＋2＋3＋……＋9＋10＋9＋……＋3＋2＋1＝100；
（2）（1＋2＋3＋…＋15）×2＋16
＝1＋2＋3＋…＋15＋16＋15＋14＋…＋3＋2＋1
＝16×16
＝256
【点睛】本题考查数与形结合的规律，根据观察所给的3组算式，找出算式结果与算式中加数的关系是解本题的关键。
9． 10 32
【分析】根据杨辉三角中的已知数据，易发现：每一行的第一个数和最后一个数都是1，之间的数总是上一行对应的两个数的和，第六行的数为：1、5、10、10、5、1；据此求解即可。
【详解】根据各数之间的关系，第6行中的最大数是：
4＋6＝10
这一行所有数的和是：
1＋5＋10＋10＋5＋1
＝6＋10＋10＋5＋1
＝16＋10＋5＋1
＝26＋5＋1
＝31＋1
＝32
第6行中的最大数是10，这一行所有数的和是32。
【点睛】此题主要是熟悉杨辉三角的规律：每一行的第一个数和最后一个数都是1，之间的数总是上一行对应的两个数的和；通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
10．1011
【分析】观察这串数的奇偶性质为：奇数、偶数、奇数、偶数、奇数、偶数、奇数、偶数……发现以2个数为一个组，每组的第1个数是奇数，第2个数是偶数，要求前2022个数中有几个偶数，则用2022除以2，商是几，就有几个偶数。
【详解】以2个数为一个组，每组有1个偶数，
2022÷2＝1011
在一串数1，4，7，10，13，16，19，22…这串数的前2022个数中，有1011个偶数。
【点睛】本题主要考查了奇数和偶数的认识以及周期问题，明确奇数和偶数的排列顺序和周期是解题的关键。
11．绿
【分析】根据题意，这组气球是以3＋2＋1＝6个气球为一个循环周期，分别按3红、2黄、1绿的顺序循环排列；
求第2022年气球的颜色，就是求2022里有几个6，用除法计算，如有余数，余数是几，就是一个循环周期里的第几个气球；如果没有余数，就是一个循环周期里的最后一个气球，据此找到对应的颜色即可。
【详解】3＋2＋1＝6（个）
2022÷6＝337（组）
没有余数，所以第2022个气球是绿颜色的。
【点睛】本题考查周期性问题，找出这组气球的排列规律是解题的关键。
12．24
【分析】由图可得：第一个图形有4枚棋子，第二个图形有8枚棋子，第三个图形有12枚棋子，即从第二个图形开始，每个图形都比它前面的一个图形多4枚棋子，由此可得第6个图形所需要的棋子数为：4＋4×（6－1）＝24，由此即可求出第6个图案需要多少枚棋子。
【详解】由分析可得：第6个图形所需要的棋子数为：
4＋4×（6－1）
＝4＋4×5
＝4＋20
＝24
第6个图案需要24枚棋子。
【点睛】此题考查图形的变化类问题。通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题即可。
13．
【分析】先观察分子：9、16、25、36，分别是32、42、52、62，据此得出第n个数据的分子是（n＋2）2；再观察分母：5、12、21、32，可分别改写成1×5、2×6、3×7、4×8，据此得出第n个数据的分母是n（n＋4），接下来将n＝9代入即可求出第9个数据。
【详解】观察前面四个数据，可得规律是：
分子是：32，42，52，62，…，（n＋2）2，…，
分母是：1×5，2×6，3×7，4×8，…，n（n＋4），…
所以第n个数据是
所以第9个数据是：。
【点睛】本题考查的是探究规律——数字字母规律问题，应从仔细观察题中所给的已知数据，，，，找到它们的共同特点入手。
14． 22 2n＋2
【分析】1张方桌可坐4人，4＝2＋1×2；2张方桌可坐6人，6＝2＋2×2；3张方桌可坐8人，8＝ 2＋2×3……每增加一张方桌，座位就增加2个，那么n张方桌可坐的人数：2n＋2。
【详解】根据分析可知，
1张方桌可坐：
2＋1×2
＝2＋2
＝4（人）
2张方桌可坐：
2＋2×2
＝2＋4
＝6（人）
3张方桌可坐：
2＋2×3
＝2＋6
＝8（人）
……
n张方桌可坐的人数：
2＋2×n＝（2n＋2）人
当n＝10时，
2n＋2
＝2×10＋2
＝20＋2
＝22（人）
所以，10张桌子可坐22人；n张桌子可坐（2n＋2）人。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1张桌子就多坐2人是解本题的关键。
15．√
【分析】19.可以看出：循环从小数点后第一位就开始了，循环节是325，共3位；确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数格周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量例减掉不是循环的个数后，再继续计算。
【详解】80÷3＝26……2，那么第80位的数字就是2，所以原题说法正确。
【点睛】解答周期问题的关键是找出周期。
16．√
【分析】根据学过的各类算式的规律：
2×9＝18
32×9＝288
432×9＝3888
5432×9＝48888
以此类推：98765432×9＝888888888，98765432×9＝888888888的结果变成888888880，需要减去8。据此解答。
【详解】根据分析可得：根据规律98765432×9－8＝888888880。原题说法正确。
故答案为：√。
【点睛】本题考查了算式的规律，抓住数字特点，发现算式的规律，用规律把问题推广即可。
17．√
【分析】根据数排列的序数与数的关系解答即可。
【详解】第1个数：1；
第2个数：1＋2＝3；
第3个数：1＋2＋2＝1＋2×2＝5；
第4个数：1＋2＋2＋2＝1＋3×2＝7；
第5个数：1＋2＋2＋2＋2＝1＋4×2＝9；
则第n个数是：1＋（n－1）×2＝2n－1。
所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点睛】本题考查数的排列规律，关键是找准数排列的序数与数之间的关系。
18．√
【分析】根据观察知：第2个因数都是4，其结果最高位都是1、最低位都是2、中间都是3，3的个数比第一个因数中3的个数少1，据此解答。
【详解】33×4＝132
333×4＝1332
3333×4＝13332
可知：33333×4＝133332
故答案为：√
【点睛】找出算式中各个因数的变化规律是解题的关键。
19．×
【分析】图1：1＋3＝4；图2：1＋3＋5＝9；图3：1＋3＋5＋7＝16，结合规律可知：如果最下层放19块积木，共需放积木的块数为：1＋3＋5＋……＋19＝（1＋19）×10÷2，计算出结果判断即可。
【详解】1＋3＋5＋……＋19
＝（1＋19）×10÷2
＝20÷2×10
＝10×10
＝100
故答案为：×
【点睛】本题考查数和形中的找规律问题。找到共同特征解决问题即可。
20．； ； ； ； ； 分母相乘的积做分母，后面的分母减前面的分母做分子；
（1）； ； ；
（2）；
【详解】（2）＋＋＋＝1－＋－＋－＋－＝
21．见详解
【分析】（1）根据分析可知，是图形几，这个图形最高的一列就有几个小正方形，所以图形⑤最右边一列有5个小正方形，向左依次递减，据此画出图形即可。
（2）求出图形④和图形⑤分别有几个小正方形，再用数量乘一个小正方形的体积即可；图形④的周长相当于是边长是（0.5×4）厘米的正方形的周长；图形⑤的周长相当于是边长是（0.5×5）厘米的正方形的周长；根据正方形周长的公式求出周长即可。
【详解】（1）如图：
（2）个数的规律：图①的个数：1，面积：1×0.25＝0.25（平方厘米）；
图②的个数：1＋2＝3，面积：3×0.25＝0.75（平方厘米）；
图③的个数：
1＋2＋3
＝3＋3
＝6
面积：6×0.25＝1.5（平方厘米）；
图 n 的个数：1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）÷2，面积：n（n＋1）÷2×0.25（平方厘米）；
图④的个数：
4×（4＋1）÷2
＝4×5÷2
＝20÷2
＝10
面积：10×0.25＝2.5（平方厘米）；
图⑤的个数：
5×（5＋1）÷2
＝5×6÷2
＝30÷2
＝15
面积：15×0.25＝3.75（平方厘米）；
周长的规律：图①的周长：4×0.5＝2厘米；
图②的周长：4×1＝4厘米；
图③的周长：4×1.5＝6厘米；
图 n 的周长：4×n×0.5＝2n厘米
图④的周长：4×2＝8厘米；
图⑤的周长：5×2＝10厘米；
如表：
图形 ① ② ③ ④ ⑤
面积/平方厘米 0.25 0.75 1.5 2.5 3.75
长/厘米 2 4 6 8 10
【点睛】此题是考查数形结合探索规律的问题，根据前几个图形的分析，归纳出规律，是解决此题的关键。
22．（1）；；见详解；（2）41
【分析】（1）观察图形可知，灰色小正方形个数等于小正方形的总个数减去白色小正方形个数，据此可分别求出第3幅图和第4幅图的灰色正方形个数。
（2）观察图形可总结出灰色正方形个数为（n＋1）2－n2＝2n＋1，n表示第n幅图，把n＝20代入计算即可。
【详解】（1）
（2）2×20＋1
＝40＋1
＝41（个）
第20幅图形中有41个灰色小正方形。
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
23．6174
【分析】观察例子可知：任意一个四位数，把各个数位上的数按从大到小排列，组成一个新数，再按从小到大排列组成另一个新数，这两个数相减，得到的差再按上面的步骤做，若干次后，得到的差始终是某个数，那么这个数就是四位数的黑洞数。
【详解】1628重排，大数是8621，小数是1268，8621－1268＝7353；
7353重排，大数是7533，小数是3357，7533－3357＝4176；
4176重排，大数是7641，小数是1467，7641－1467＝6174；
6174重排，大数是7641，小数是1467，7641－1467＝6174；
重复上述步骤都得到6174，所以6174是四位数的黑洞数。
答：四位数的黑洞数应该是6174。
【点睛】读懂题意，按照例子给出的方法操作是解题的关键。
24．（1）见详解；
（2）积的末位的数字是0或2或6；
（3）①C；
②27；28；
（4）①见详解；
②
【分析】（1）找一些相邻的两个自然数，然后相乘，计算出乘法算式的结果即可；
（2）根据（1）里面计算出的结果，观察积的末位数字，即可发现，相邻的两个自然数相乘的结果，积的末位的数字是0或2或6。
（3）①根据积的末位数字是0、2、6的特征，分别检验4个选项里的数字，找出符合要求的答案即可。
②通过计算，把这个数拆解成相邻两个自然数的乘积，即可写出这两个相邻的自然数是多少。
（4）①大正方形的边长＝n＋（n＋1）＝2n＋1，所以n与n＋1的和是大正方形的边长。
小长方形的面积＝长×宽，长是n＋1，宽是n，可得（n＋1）×n＝n2＋n，所以n与n＋1的积是小长方形的面积。在图上标注即可。
②通过计算可以发现，，所以n与n＋1的和的平方等于n与n＋1的积的4倍加1。据此解答。
【详解】（1）例如：1×2＝2
2×3＝6
3×4＝12
5×6＝30
（2）通过举例，我发现两个相邻自然数相乘，积的末位数字是0或2或6。
（3）①A．7×8＝56，8×9＝72，56＜62＜72，显然62不是两个相邻自然数的乘积；
B．10×11＝110，11×12＝132，110＜123＜132，显然123不是两个相邻自然数的乘积；
C．27×28＝756，显然756是两个相邻自然数的乘积；
D．37×38＝1406，38×39＝1482，1406＜1416＜1482，显然1416不是两个相邻自然数的乘积；
故答案为：C
②27×28＝756，所以它是两个相邻自然数27和28的乘积。
（4）①根据分析得，n与n＋1的和是大正方形的边长；
n与n＋1的积是小长方形的面积。
②我发现，n与的“和”、“积”的关系是：。
【点睛】此题综合性较强，难度大，里面涉及到乘积的规律以及数与形的变换，找和与积之间的关系，解法有些超纲，运用了（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2完全平方公式。
25．35.98厘米；42.98厘米；49.98厘米；绳子长度＝圆的周长＋瓶子数量×直径
【分析】如图，捆两个瓶子需要的绳子长度＝一个圆的周长＋直径×2，捆三个瓶子需要的绳子长度＝一个圆的周长＋直径×3，捆四个瓶子需要的绳子长度＝一个圆的周长＋直径×4，即绳子长度＝圆的周长＋瓶子数量×直径，据此分析。
【详解】3.14×7＋7×2
＝21.98＋14
＝35.98（厘米）
3.14×7＋7×3
＝21.98＋21
＝42.98（厘米）
3.14×7＋7×4
＝21.98＋28
＝49.98（厘米）
答：每组至少需要35.98厘米、42.98厘米、49.98厘米长的绳子，发现绳子长度＝圆的周长＋瓶子数量×直径。
【点睛】关键是看懂图示，掌握圆的周长公式，圆的周长＝πd。
26．201根；（2n＋1）根
【分析】搭第一个图形需要3根小棒，结合图形，发现：后边每多一个图形，则多用2根小棒。据此解答。
【详解】搭第100个图形，需要小棒：
3＋2×（100 1）
＝3＋198
＝201（根）
则要搭n个三角形时，需要小棒：
3＋2（n 1）＝（2n＋1）根
答：摆100个三角形，需要201根小棒，要摆n个三角形，需要（2n＋1）根小棒。
【点睛】此题考查了数与形问题，要能够从图形中发现规律。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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