高中试卷答案网2022-2023学年安徽省合肥四十二中八年级（下）期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
3. 在中，、、所对的边分别为、、，且满足，则下列判断正确的是( )
A. 与互余 B. 与互余
C. 与互余 D. 是等腰三角形
4. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为( )
A. B. C. D. 或
5. 若一个三角形的三边长分别为、和，则这个三角形的面积是( )
A. B. C. D.
6. 关于的一元二次方程，常数项为，则值等于( )
A. B. C. 或 D.
7. 下列变形正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8. 某单位为节省经费，在两个月内开支从每月元降到元，若平均每月降低开支的百分率为，则下列方程符合题意的是( )
A. B.
C. D.
9. 如图在中，已知，于，，若是的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作于，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 已知：，则整数 ______ ．
12. 若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的另外一个根是______ ．
13. 在中，，，边上的高，则的周长为 ．
14. 如图，它是由弦图变化得到的，是由八个全等的直角三角形拼接而成的，将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为、、．
若，，则 ______ ．
若，则 ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
计算：
；
．
16. 本小题分
解下列方程：
；
．
17. 本小题分
图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为内部的格点，在图、图给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．
在图中的边上确定一点，使的长最短．
在中的边上明确定一点，边上确定一点，连接、，使的周长最短，最短周长为______ ．
18. 本小题分
随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？
19. 本小题分
如图，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的处，折痕为，已知，于．
求证：．
若，，求的长．
20. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
若和是这个一元二次方程的两个根，且，求的值．
21. 本小题分
观察下列等式，解答下面的问题：
；
请直接写出第个等式是：______不用化简；
根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并给予证明；
利用的结论计算．
22. 本小题分
如图，用一段米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个米的门，墙的最大可用长度为米．
如果羊圈的总面积为平方米，求边的长；
羊圈的总面积能为平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由．
23. 本小题分
如图在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，是轴负半轴上一个动点不与原点重合，以线段为一边在其右侧作等边三角形．
求点的坐标．
求证：≌；
连接，当时，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件判断即可．
本题考查了二次根式有意义的条件：
二次根式的概念．形如的式子叫做二次根式．
二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
二次根式具有非负性．是一个非负数．
【解答】
解：根据二次根式有意义的条件得：，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】解： ，是分式方程，不符合题意；
B.，若，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意；
C. ，整理可得，为一元一次方程，故不符合题意；
D.，是一元二次方程，符合题意．
故选：．
形如，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义进行分析判断即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义，解题关键是要注意两个方面：、一元二次方程包括三点：是整式方程，只含有一个未知数，所含未知数的项的最高次数是；、一元二次方程的一般形式是．
3.【答案】
【解析】解：由题意可知，、、所对的边分别为、、，且满足，
则有，
为直角三角形，，
，
，即与互余．
故选：．
利用勾股定理的逆定理可知为直角三角形，即可得答案．
本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和以及余角等知识，熟练运用勾股定理的逆定理证明为直角三角形是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：由题意得：
，
，
，
，
故选：．
根据同类二次根式的定义，可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：该三角形的三边长分别为、和，
又，
这个三角形是直角三角形，两个直角边长为、，
这个三角形的面积为：．
故选：．
首先通过勾股定理逆定理得出这个三角形是直角三角形，然后通过三角形的面积公式即可求解．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握直角三角形的判定是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程，常数项为，
，
解得：．
故选：．
根据一元二次方程成立的条件及常数项为列出方程组，求出的值即可．
本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：是常数且，特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
7.【答案】
【解析】解： ，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项不符合题意；
C. ，故该选项不符合题意；
D.，，
，故变形正确，该选项符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质分析判断即可．
本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：原开支为元，平均每月降低的百分率为，
第一个月的开支为元，
第二个月的开支为元，
可列方程为，
故选A．
新开支原开支平均每月降低的百分率，把相关数值代入即可求解．
本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
9.【答案】
【解析】解：令，，
是中点，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
令，，由勾股定理求出的值，即可求出的长．
本题考查勾股定理，关键是由勾股定理求出的值．
10.【答案】
【解析】解：四边形是长方形，
，，，，
，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
，，
，
，
连接，如下图所示，
在和中，，
≌，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，舍去，
．
故选：．
首先证明≌得出，，进而得出，连接，再证明≌，得出，则，设，则，，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解．
本题考查了勾股定理、全等三角形的性质与判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，即，
，
．
故答案为：．
估算出的取值范围即可求出的值．
此题主要考查了估算无理数的大小，解题关键是理解在确定形如的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算．
12.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程的一个根为，
，解得，
，
解得，，
该方程的另外一个根是．
故答案为：．
根据一元二次方程的根的定义求出的值，然后解该一元二次方程即可得答案．
本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及解一元二次方程，理解一元二次方程的根的定义是解题关键．
13.【答案】或
【解析】解：，，边上的高，
，，
如图，在内部时，，
此时，的周长，
如图，在外部时，，
此时，的周长，
综上所述，的周长为或．
故答案为：或．
根据题意作出图形，利用勾股定理列式求出、，再分在内部和外部两种情况求出，然后根据三角形的周长的定义解答即可．
本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是分情况讨论求出的长，作出图形更形象直观．
14.【答案】
【解析】解：由图可得，
，
，，
，
解得，
故答案为：；
由图可得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由图可得，然后根据，，即可得到的值；
由图可得，可以得到，再根据，即可得到的值．
本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】解：原式；
原式
．
【解析】首先根据零指数幂、绝对值的性质、二次根式的性质计算，然后进行加减运算即可；
首先根据平方差公式和完全平方式进行计算，然后进行加减运算即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则和相关公式是解题关键．
16.【答案】解：，
，
，
，
，
，；
，
，
，
，
，
或，
，．
【解析】利用配方法解方程即可；
利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，线段即为所求作．
如图，即为所求作．
的周长的最小值．
故答案为：．
取格点，连接交于点，线段即为所求作．
作点关于，的对称点，，连接交于点交于点，连接，，即为所求作．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.【答案】解：设平均每人每轮转发给个人，则第一轮转发给了个人，第二轮转发给了个人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：平均每人每轮转发给个人．
【解析】设平均每人每轮转发给个人，则第一轮转发给了个人，第二轮转发给了个人，根据“有一个人收到一条信息后，经过两轮转发后，共有人收到此信息”，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.【答案】证明：，
，
折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，
，
，
，
即，
，
，
，
；
解：，，
，
设，则，
折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，
，
在中，，
，
解得，
．
【解析】由，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，可得，即得，而，故；
根据，，得，设，则，在中，可列方程，即可解得．
本题考查折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．
20.【答案】证明：在关于的一元二次方程中，，，
所以，
无论取何值，，
所以，无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
解：因为和是这个一元二次方程的两个根，
所以，，
所以．
无论为何值，，所以的最小值为．
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，从而证出无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
由根与系数的关系可得出，，结合解答．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程的根与系数的关系为：，．
21.【答案】解：；
第个等式为：为正整数，
证明：左边，
为正整数，
左边右边，
猜想成立；
．
【解析】解：第个等式：；
故答案为：；
第个等式为：为正整数，
证明：左边，
为正整数，
左边右边，
猜想成立；
．
从数字找规律，即可解答；
从数字找规律，可得第个等式为：为正整数，然后再化简等式的左边，即可解答；
利用的结论，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，规律型：数字变化类，从数字找规律是解题的关键．
22.【答案】解：设的长为米，
由题意可得：，
解得：，，
当时，，故不合题意，
当时，，
的长是米；
羊圈的总面积不能为平方米，理由如下：
设的长为米，
由题意可得，
，
，
羊圈的总面积不能为平方米．
【解析】设的长为米，由羊圈的总面积为平方米，可列方程，即可求解；
根据题意列出方程，由根的判别式可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：如图，过点作轴于点，
为等边三角形，且，
，，
，
，
，，
点的坐标为；
证明：、均为等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
≌；
解：如图，点在轴负半轴上，点在点的下方，
≌，
，，
，
，．
又，
，，
由可知，≌，
，
此时的坐标为．
【解析】过点作轴于点，由等边三角形的性质可得出，，求出和的长，则可得出答案；
根据可证明≌；
根据全等三角形的性质，，求出，即可得出答案．
本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，坐标与图形的性质，注意利用三角形全等的性质解决问题是本题的关键．
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