高中试卷答案网广东省深圳市2022-2023学年八年级下学期第一次数学检测试卷
一、单选题
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知等腰三角形的两条边长分别为4和8，则它的周长为（ ）
A．16 B．20 C．16或20 D．14
4．（2020七下·巩义期末）已知点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的角为40度，则顶角的度数为（ ）
A．40°或65° B．50°或65° C．50°或130° D．40°或130°
6．（2019八下·青原期中）已知不等式组 的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
7．（2022·顺德模拟）命题：已知，．求证：．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设（ ）成立
A． B．
C． D．且
8．如图，在中，为角平分线的交点，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a的值为2；
结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4．
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
10．（2019八下·青原期中）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10） B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
二、填空题
11．（2021七下·珠海期中）已知点 ，将点 先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到 ，则 的坐标为 ．
12．如图，，点P是的平分线上一点，交于点M，于点D，若，则 ．
13．如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若△ADE的周长为19 cm，则BC＝
14．如图，已知一次函数的图象经过点和点，那么关于x的不等式的解集是 ．
15．如图，在直角三角形中，，且在直线l上，将绕点A顺时针旋转到位置①得到点，将位置①的三角形绕点P顺时针旋转到位置②得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止（在直线l上）．则：
三、解答题
16．解不等式：
（1）；
（2）．
17．（2022七下·淅川期中）解不等式组
（1）将不等式组的解集在数轴上表示出来；
（2）求出最小整数解与最大整数解的和.
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，3）．
（ 1 ）请按下列要求画图：
①平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣3），请画出平移后的△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2．
（ 2 ）若将△A1B1C1绕点M旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心M点的坐标 ．
19．如图，中，，，点F为延长线上一点，点E在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
20．已知：如图一次函数与的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积．
（3）结合图象，直接写出时x的取值范围．
21．为了更好地治理水质．保护环境，而治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种设备，A、B的单价分别为a万元/台和b万元/台，月处理污水分别为240吨/月和200吨/月，经调查，买一台A型设备比买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
（1）求a、b的值；
（2）经预算，市治污公司购买污水处理器的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若每月处理的污水不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的方案．
22．已知是边长为的等边三角形，点D是射线上的动点，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接．
（1）如图1，猜想是什么三角形？ ；（直接写出结果）
（2）如图2，点D在射线上（点C的右边）移动时，证明．
（3）点D在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在．请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】 如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形 。根据中心对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，故本选项不符合题意；
B、若，则，故本选项不符合题意；
C、若，则，故本选项符合题意；
D、若，则，故本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用不等式的性质对每个选项一一判断即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】因为等腰三角形的腰与底边不确定，故以4为底边和腰两种情况考虑：若4为腰，则另外一腰也为4，底边就为8，根据4+4=8，不符合三角形的两边之和大于第三边，即不能构成三角形；若4为底边，腰长为8，符合构成三角形的条件，求出此时三角形的周长即可．
若4为腰，8为底边，此时4+4=8，不能构成三角形，故4不能为腰；
若4为底边，8为腰，此时三角形的三边分别为4，8，8，周长为4+8+8=20，
综上三角形的周长为20．
故选B
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及三条线段构成三角形的条件，利用了分类讨论的数学思想，由等腰三角形的底边与腰长不确定，故分两种情况考虑，同时根据三角形的两边之和大于第三边，舍去不能构成三角形的情况．
4．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，
∴ ，
解得：1＜m＜3，
故答案为：D.
【分析】先根据第二象限的点，横坐标为负数，纵坐标为正数列出不等式组，求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将解集在数轴上表示出来即可.
5．【答案】C
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①、当为锐角三角形时可以画图，
高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；
②当为钝角三角形时可画图为，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，所以三角形的顶角为130°；
故答案为：C．
【分析】利用等腰三角形的性质，结合图形，求解即可。
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得：，
解不等式 得： ，
∴不等式组 的解集为： ，
又∵不等式组 的解集为：﹣1＜x＜1，
∴ ，
解得： ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】根据题意，首先解不等式组，得到关于x的解析式，根据x的解集即可得到a和b的值，求出答案即可。
7．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵的反面为，
∴第一步应假设成立，
故答案为：C．
【分析】根据反证法的证明方法和要求求解即可。
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过O点作于E，于F，如图，
为角平分线的交点，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出OE=OF，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
9．【答案】D
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF，
∴BE＝CF＝a，
∵BF＝BE+CE+CF，BF＝8，EC＝4，
∴8＝a+4+a，
∴a＝2，故结论Ⅰ符合题意；
∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF，
∴AC＝DF，
∵四边形ABFD的周长为22，
∴AB+BC+CF+DF+AD＝22，
∴AB+BC+CF+AC+AD＝22，
∵三角形ABC的周长为18，
∴AB+BC+AC＝18，
∴18+CF+AD＝22，即18+a+a＝22，
∴a＝2，故结论（Ⅱ）不符合题意，
∴Ⅰ对Ⅱ不对，
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质，三角形的周长和四边形的周长公式，结合图形判断求解即可。
10．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC=5，BD=5-3=2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，
所以，D′（-2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（-2，0）
故答案为：C．
【分析】根据题意可知，将三角形旋转共有两种情况，根据题意即可得到两种情况下的点的坐标即可。
11．【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】∵ ，向右平移4个单位长度，向上平移6个单位长度
∴
∴
故答案为：
【分析】根据平移的性质，计算得到点的坐标即可。
12．【答案】4
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵点P是的平分线上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，且，
∴，
如图所示，过点M作于E，
∵，，
∴，
∴，且，
∴四边形是矩形，则，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再求出，且，最后计算求解即可。
13．【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平分线交BC于点E，
∴DA=DB，EA=EC，
∵AD+AE+DE=19，
∴BD+EC+DE=19，即BC=19.
故答案为：19.
【分析】根据中垂线的性质定理得出DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长计算方法及等量代换线段的和差即可算出BC。
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由一次函数的图象经过点和点可知：当时，即一次函数的图象在x轴的上方，则由图象可知此时不等式的解集为；
故答案为：．
【分析】利用一次函数的图象与性质求解集即可。
15．【答案】2405
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环．
∵中，，
∴将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时；
将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；
将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；
…
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】利用旋转的性质，结合图形求解即可。
16．【答案】（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：.
（2）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质求解集即可；
（2）利用不等式的性质求解集即可。
17．【答案】（1）解：
解不等式①得，x＞－4，
解不等式②得，x≤2，
因此，不等式组的解集为－4＜x≤2.
在数轴上表示不等式组的解集，如图：
（2）解：由（1）得，最小的整数解为-3，最大的整数解为2，
最小整数解与最大整数解的和为－1.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】（1）首先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分即为不等式组的解集，然后根据解集在数轴上的表示方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，将解集在数轴上表示出来即可；
（2）根据不等式组的解集可得不等式组的最小、最大整数解，然后求和即可.
18．【答案】解：（ 1 ）①如图所示，△A1B1C1即为所求；
②如图所示，△A2B2C2即为所求；
（ 2 ）（0，﹣3）
【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（ 2 ）如图，连接C1C2，B1B2，交于点M，则△A1B1C1绕点M旋转180°可得到△A2B2C2，
∴旋转中心M点的坐标为（0，﹣3），
故答案为：（0，﹣3）．
【分析】（1）①根据平移的性质作三角形即可；
②根据关于原点对称的性质，作三角形即可；
（2）根据旋转的性质求出旋转中心M点的坐标为（0，﹣3），即可作答。
19．【答案】（1）证明：
在和中
（2）解：，
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）先求出∠ACF=90°，再利用三角形全等的判定方法证明即可；
（2）根据题意先求出∠ABC=∠BAC=45°，再求出∠CBE=22°，最后利用全等三角形的性质计算求解即可。
20．【答案】（1）解：由题意可得：
，解得，
所以点A坐标为．
（2）解：当时，，即，则B点坐标为；
当时，，即，则C点坐标为；
，
的面积为：．
（3）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（3）根据图象可知，时，x的取值范围是．
【分析】（1）根据题意先求出 ， 再计算求解求出点A的坐标即可；
（2）先求出点B和点C的坐标，再求出BC=6，最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）结合函数图象求取值范围即可。
21．【答案】（1）解：依题意，得：，
解得：．
答：a的值为12，b的值为10．
（2）解：设该公司购买x台A型设备，则购买（10-x）台B型设备，
依题意，得：12x+10（10-x）≤105，
解得：x≤2．
∵x为非负整数，
∴x=0，1，2，
∴该公司有3种购买方案：①购进10台B型设备；②购进1台A型设备，9台B型设备；③购进2台A型设备，8台B型设备．
（3）解：依题意，得：240x+200（10-x）≥2040，
解得：x≥1，
∵x≤2，且x为整数，
∴x=1，2．
当x=1时，购进10台设备的费用为12+10×9=102（万元），
当x=2时，购进10台设备的费用为12×2+10×8=104（万元）．
∵102＜104，
∴购进1台A型设备，9台B型设备最省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求解即可；
（2）根据市治污公司购买污水处理器的资金不超过105万元，求出12x+10（10-x）≤105， 再求解即可；
（3）根据题意先求出 240x+200（10-x）≥2040， 再求出 x=1，2，最后作答即可。
22．【答案】（1）等边三角形
（2）解：等边三角形，如图2中，设交于点O．
由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
．
（3）解：点D在运动过程中，的周长存在最小值，最小值为，
理由：如图3中，
根据旋转可得，，
，则的周长，
当点D在线段上时，的周长，
当点D在线段的延长线上时，的周长，
的周长，
当D在线段上，且最小时，的周长最小，
为等边三角形，
，
当时，的值最小，的最小值为，
的周长的最小值为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）等边三角形，
∵点D是射线上的动点，将绕点A逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【分析】（1）根据旋转的性质求出，，再求解即可；
（2）先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）根据旋转的性质先求出 ， 再分类讨论，求解即可。
广东省深圳市2022-2023学年八年级下学期第一次数学检测试卷
一、单选题
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】 如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形 。根据中心对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，故本选项不符合题意；
B、若，则，故本选项不符合题意；
C、若，则，故本选项符合题意；
D、若，则，故本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用不等式的性质对每个选项一一判断即可。
3．已知等腰三角形的两条边长分别为4和8，则它的周长为（ ）
A．16 B．20 C．16或20 D．14
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】因为等腰三角形的腰与底边不确定，故以4为底边和腰两种情况考虑：若4为腰，则另外一腰也为4，底边就为8，根据4+4=8，不符合三角形的两边之和大于第三边，即不能构成三角形；若4为底边，腰长为8，符合构成三角形的条件，求出此时三角形的周长即可．
若4为腰，8为底边，此时4+4=8，不能构成三角形，故4不能为腰；
若4为底边，8为腰，此时三角形的三边分别为4，8，8，周长为4+8+8=20，
综上三角形的周长为20．
故选B
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及三条线段构成三角形的条件，利用了分类讨论的数学思想，由等腰三角形的底边与腰长不确定，故分两种情况考虑，同时根据三角形的两边之和大于第三边，舍去不能构成三角形的情况．
4．（2020七下·巩义期末）已知点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，
∴ ，
解得：1＜m＜3，
故答案为：D.
【分析】先根据第二象限的点，横坐标为负数，纵坐标为正数列出不等式组，求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将解集在数轴上表示出来即可.
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的角为40度，则顶角的度数为（ ）
A．40°或65° B．50°或65° C．50°或130° D．40°或130°
【答案】C
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①、当为锐角三角形时可以画图，
高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；
②当为钝角三角形时可画图为，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，所以三角形的顶角为130°；
故答案为：C．
【分析】利用等腰三角形的性质，结合图形，求解即可。
6．（2019八下·青原期中）已知不等式组 的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得：，
解不等式 得： ，
∴不等式组 的解集为： ，
又∵不等式组 的解集为：﹣1＜x＜1，
∴ ，
解得： ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】根据题意，首先解不等式组，得到关于x的解析式，根据x的解集即可得到a和b的值，求出答案即可。
7．（2022·顺德模拟）命题：已知，．求证：．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设（ ）成立
A． B．
C． D．且
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵的反面为，
∴第一步应假设成立，
故答案为：C．
【分析】根据反证法的证明方法和要求求解即可。
8．如图，在中，为角平分线的交点，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过O点作于E，于F，如图，
为角平分线的交点，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出OE=OF，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
9．如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a的值为2；
结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4．
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】D
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF，
∴BE＝CF＝a，
∵BF＝BE+CE+CF，BF＝8，EC＝4，
∴8＝a+4+a，
∴a＝2，故结论Ⅰ符合题意；
∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF，
∴AC＝DF，
∵四边形ABFD的周长为22，
∴AB+BC+CF+DF+AD＝22，
∴AB+BC+CF+AC+AD＝22，
∵三角形ABC的周长为18，
∴AB+BC+AC＝18，
∴18+CF+AD＝22，即18+a+a＝22，
∴a＝2，故结论（Ⅱ）不符合题意，
∴Ⅰ对Ⅱ不对，
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质，三角形的周长和四边形的周长公式，结合图形判断求解即可。
10．（2019八下·青原期中）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10） B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC=5，BD=5-3=2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，
所以，D′（-2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（-2，0）
故答案为：C．
【分析】根据题意可知，将三角形旋转共有两种情况，根据题意即可得到两种情况下的点的坐标即可。
二、填空题
11．（2021七下·珠海期中）已知点 ，将点 先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到 ，则 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】∵ ，向右平移4个单位长度，向上平移6个单位长度
∴
∴
故答案为：
【分析】根据平移的性质，计算得到点的坐标即可。
12．如图，，点P是的平分线上一点，交于点M，于点D，若，则 ．
【答案】4
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵点P是的平分线上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，且，
∴，
如图所示，过点M作于E，
∵，，
∴，
∴，且，
∴四边形是矩形，则，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再求出，且，最后计算求解即可。
13．如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若△ADE的周长为19 cm，则BC＝
【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平分线交BC于点E，
∴DA=DB，EA=EC，
∵AD+AE+DE=19，
∴BD+EC+DE=19，即BC=19.
故答案为：19.
【分析】根据中垂线的性质定理得出DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长计算方法及等量代换线段的和差即可算出BC。
14．如图，已知一次函数的图象经过点和点，那么关于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由一次函数的图象经过点和点可知：当时，即一次函数的图象在x轴的上方，则由图象可知此时不等式的解集为；
故答案为：．
【分析】利用一次函数的图象与性质求解集即可。
15．如图，在直角三角形中，，且在直线l上，将绕点A顺时针旋转到位置①得到点，将位置①的三角形绕点P顺时针旋转到位置②得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止（在直线l上）．则：
【答案】2405
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环．
∵中，，
∴将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时；
将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；
将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；
…
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】利用旋转的性质，结合图形求解即可。
三、解答题
16．解不等式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：.
（2）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质求解集即可；
（2）利用不等式的性质求解集即可。
17．（2022七下·淅川期中）解不等式组
（1）将不等式组的解集在数轴上表示出来；
（2）求出最小整数解与最大整数解的和.
【答案】（1）解：
解不等式①得，x＞－4，
解不等式②得，x≤2，
因此，不等式组的解集为－4＜x≤2.
在数轴上表示不等式组的解集，如图：
（2）解：由（1）得，最小的整数解为-3，最大的整数解为2，
最小整数解与最大整数解的和为－1.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】（1）首先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分即为不等式组的解集，然后根据解集在数轴上的表示方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，将解集在数轴上表示出来即可；
（2）根据不等式组的解集可得不等式组的最小、最大整数解，然后求和即可.
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，3）．
（ 1 ）请按下列要求画图：
①平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣3），请画出平移后的△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2．
（ 2 ）若将△A1B1C1绕点M旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心M点的坐标 ．
【答案】解：（ 1 ）①如图所示，△A1B1C1即为所求；
②如图所示，△A2B2C2即为所求；
（ 2 ）（0，﹣3）
【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（ 2 ）如图，连接C1C2，B1B2，交于点M，则△A1B1C1绕点M旋转180°可得到△A2B2C2，
∴旋转中心M点的坐标为（0，﹣3），
故答案为：（0，﹣3）．
【分析】（1）①根据平移的性质作三角形即可；
②根据关于原点对称的性质，作三角形即可；
（2）根据旋转的性质求出旋转中心M点的坐标为（0，﹣3），即可作答。
19．如图，中，，，点F为延长线上一点，点E在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：
在和中
（2）解：，
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）先求出∠ACF=90°，再利用三角形全等的判定方法证明即可；
（2）根据题意先求出∠ABC=∠BAC=45°，再求出∠CBE=22°，最后利用全等三角形的性质计算求解即可。
20．已知：如图一次函数与的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积．
（3）结合图象，直接写出时x的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得：
，解得，
所以点A坐标为．
（2）解：当时，，即，则B点坐标为；
当时，，即，则C点坐标为；
，
的面积为：．
（3）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（3）根据图象可知，时，x的取值范围是．
【分析】（1）根据题意先求出 ， 再计算求解求出点A的坐标即可；
（2）先求出点B和点C的坐标，再求出BC=6，最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）结合函数图象求取值范围即可。
21．为了更好地治理水质．保护环境，而治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种设备，A、B的单价分别为a万元/台和b万元/台，月处理污水分别为240吨/月和200吨/月，经调查，买一台A型设备比买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
（1）求a、b的值；
（2）经预算，市治污公司购买污水处理器的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若每月处理的污水不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的方案．
【答案】（1）解：依题意，得：，
解得：．
答：a的值为12，b的值为10．
（2）解：设该公司购买x台A型设备，则购买（10-x）台B型设备，
依题意，得：12x+10（10-x）≤105，
解得：x≤2．
∵x为非负整数，
∴x=0，1，2，
∴该公司有3种购买方案：①购进10台B型设备；②购进1台A型设备，9台B型设备；③购进2台A型设备，8台B型设备．
（3）解：依题意，得：240x+200（10-x）≥2040，
解得：x≥1，
∵x≤2，且x为整数，
∴x=1，2．
当x=1时，购进10台设备的费用为12+10×9=102（万元），
当x=2时，购进10台设备的费用为12×2+10×8=104（万元）．
∵102＜104，
∴购进1台A型设备，9台B型设备最省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求解即可；
（2）根据市治污公司购买污水处理器的资金不超过105万元，求出12x+10（10-x）≤105， 再求解即可；
（3）根据题意先求出 240x+200（10-x）≥2040， 再求出 x=1，2，最后作答即可。
22．已知是边长为的等边三角形，点D是射线上的动点，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接．
（1）如图1，猜想是什么三角形？ ；（直接写出结果）
（2）如图2，点D在射线上（点C的右边）移动时，证明．
（3）点D在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在．请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）等边三角形
（2）解：等边三角形，如图2中，设交于点O．
由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
．
（3）解：点D在运动过程中，的周长存在最小值，最小值为，
理由：如图3中，
根据旋转可得，，
，则的周长，
当点D在线段上时，的周长，
当点D在线段的延长线上时，的周长，
的周长，
当D在线段上，且最小时，的周长最小，
为等边三角形，
，
当时，的值最小，的最小值为，
的周长的最小值为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）等边三角形，
∵点D是射线上的动点，将绕点A逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【分析】（1）根据旋转的性质求出，，再求解即可；
（2）先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）根据旋转的性质先求出 ， 再分类讨论，求解即可。
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