高中试卷答案网上海市重点大学附中高二期中考试数学试卷
2023.04
一.填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1.过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是______.
2.已知直线与平行，则实数m的值为______.
3.圆与圆的公共弦所在直线的一般式方程为______.
4.若A为椭圆上的点，、为椭圆的左右焦点，则的周长为______.
5.己知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为______.
6.已知直线l经过点，且与圆相切，则直线l的方程为______.
7.若圆上有且只有两点到直线的距离为2，则圆的半径r的取值范围是______.
8.著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则C的离心率为______.
9.若直线l过抛物线的焦点F，交抛物线于M，N两点，则______.
10.已知点P在抛物线上，P到的距离是，P到的距离是，则的最小值为______.
11.若实数满足，则点到直线的距离的取值范围是______.
12.如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的交点，若，则与的离心率之积的最小值为______.
二.选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）
13.“且”是“表示圆的方程”的（ ）条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
14.直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
15.已知，则双曲线与的（ ）
A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等
16.定义曲线为椭圆的“倒曲线”，给出以下三个结论：
①曲线有对称轴；②曲线有对称中心；③曲线与椭圆C有公共点.
其中正确的结论个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
三.解答题（本大题共5题，满分78分，解答下列各题必须写出必要的步骤）.
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知直线和的交点为P.
（1）求直线与的夹角的大小；
（2）若直线l过点P，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为32，求直线l的方程.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知直线，椭圆.
（1）证明：直线l与椭圆C恒有两个交点；
（2）已知点，若P是椭圆C上任意一点，求的取值范围.
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒，其中（单位：米/秒）是信号传播的速度.
（1）以O为原点，以OB方向为x轴正方向，且以米为单位建立平面直角坐标系，设机器鼠所在位置为点P，求点P的轨迹方程；
（2）若游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
20.（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知抛物线焦点为，抛物线上存在不同两点A、B（异于原点O）
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线AB的倾斜角为且抛物线焦点F到直线AB的距离不小于1，求直线AB在y轴上的截距n的取值范围；
（3）若点A、B、F三点共线，求的取值范围.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点.
（1）若点M的坐标为，求的面积；
（2）若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值；
（3）如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程.