2023年中考数学重难点集训——二次函数（含解析）

2023中考数学重难点集训——二次函数（1）
一、单选题
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为(　　)
A．y＝5(x＋2)2＋3 B．y＝5(x 2)2＋3
C．y＝5(x＋2)2－3 D．y＝5(x 2)2－3
3．将抛物线向下平移两个单位，以下说法不正确的是（　　）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
4．把二次通数y=-3x2+6x，变形为y=a（x+m）2+k的形式，正确的是（　　）
A．y=-3（x+1）2-3 B．y=-3（x-1）2-3
C．y=-3（x+1）2+3 D．y=-3（x-1）2+3
5．关于二次函数 ，下列说法正确的是（　　）
A．图象的对称轴在 轴的右侧
B．图象与 轴的交点坐标为
C．图象与 轴的交点坐标为 和
D． 的最小值为－9
6．通过平移抛物线y＝（x﹣2）2+7，可得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是（　　）．
A．向左平移2个单位长度，再向上平移7个单位长度
B．向左平移2个单位长度，再向下平移7个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向上平移7个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移7个单位长度
7．将抛物线 向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）
A． B． C． D．
8．在二次函数 中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表 则m的值为（　　）．
x -2 -1 0 1 2 3 4
y 7 2 -1 -2 m 2 7
A．1 B．-1 C．2 D．-2
9．抛物线y=x2-2与y轴的交点坐标是(　　)
A．(0，2) B．(0，-2) C．(2，0) D．(-2，0)
10．已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值2，有最小值 D．有最大值1.5，有最小值
11．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为 ，点B的坐标为 ．将二次函数 的图象经过左（右）平移 个单位再上（下）平移 个单位得到图象M，使得图象M的顶点落在线段AB上．下列关于a，b的取值范围，叙述正确的是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
12．二次函数 ，自变量 与函数 的对应值如下表:
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 …
y … 4 0 -2 -2 0 4 …
下列说法正确的是(　　)
A．抛物线的开口向下
B．当 时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是-2
D．抛物线的对称轴是x=
二、填空题
13．抛物线经过点，那么这个抛物线的开口向　 　．
14．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 2 1 2 …
若A（m，y1），B（m+6，y2）两点都在该函数图象上，当y1＞y2时，m的取值范围是 　 　.
15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为　 　．
16．已知抛物线y＝ x2+bx经过点A（4，0）.设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD-CD|的值最大，则D点的坐标为　 　
17．若关于x的一元二次方程 的两个不等实数根都在-1和1之间（不包括-1,1），则a的取值范围是　 　.
三、解答题
18．若抛物线 的图象经过四个象限，求k的取值范围.
19．已知：m、n是方程的两个实数根，且m＜n，抛物线的图象经过点，，求这个抛物线的解析式．
20．如图，抛物线y= x2+mx+n与直线y=﹣ x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）.
（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（2）在（1）条件下：
（Ⅰ）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（Ⅱ）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒 个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
四、综合题
21．已知抛物线 （a，c是常数，且 ），过点 .
（1）求c的值，并判断当 时，点 是否在该抛物线上.
（2）若该抛物线与x轴只有一个交点，求a的值.
22．在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为 ，将直线 沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．
（1）求k的值和点C的坐标；
（2）求抛物线 的表达式及顶点D的坐标；
（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线 与线段 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
23．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点(点 在点 左侧)，与 轴交于点 ，连接 ，将 沿 所在的直线翻折，得到 ，连接 .
（1）点 的坐标为　 　，点 的坐标为　 　；
（2）如图1，若点 落在抛物线的对称轴上，且在 轴上方，求抛物线的解析式.
（3）设 的面积为 ， 的面积为 ，若 ，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A. 的分母含有自变量，故不是二次函数；
B. ，是二次函数；
C. =x3+x的自变量的最高次数是3，故不是二次函数；
D. 的自变量的次数是1，故不是二次函数；
故答案为：B.
【分析】二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0），据此判断.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：y＝5(x 2)2－3,
故答案为： D.
【分析】对于二次函数y=a(x+h)2+k, 根据抛物线的平移规律：即左右平移在h后左加右减，上下平移在k后上加下减即可求出结果.
3．【答案】D
【解析】【解答】将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变，
故答案为：D．
【分析】由抛物线平移后的形状不变、对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：y=-3x2+6x=-3（x2-2x）=-3（x2-2x+1-1）=-3（x-1）2+3.
故答案为：D.
【分析】根据配方法即可求出答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】∵
∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，A不符合题意；
令x=0，则y=-8，所以图象与 轴的交点坐标为 ，B不符合题意；
令y=0，则 ，解得x1=2，x2=-4，图象与 轴的交点坐标为 和 ，C不符合题意；
∵ ，a=1＞0，所以函数有最小值-9，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．
6．【答案】B
【解析】【解答】解： ，该抛物线的顶点坐标是（2，7），抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0），
则平移的方法可以是：将抛物线 向左移2个单位，再向下平移7个单位．
故答案为：B．
【分析】原抛物线顶点坐标为（2，7），平移后抛物线顶点坐标为（0，0），由此确定平移规律．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：
把 向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度，抛物线解析式为 ，化简得
故答案为：A
【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则解答即可。
8．【答案】B
【解析】【解答】根据题意，将 、 代入到 ，得
∴
将 、 和 、 代入到 ，得
∴ ，
∴
当 时，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的性质，结合题意，将x=0，y=-1代入到，得到c的值；将x=-1、y=2和x=1、y=-2代入到，通过解二元一次方程组，即可得到a、b的值，从而得到二次函数解析式，经计算即可得到答案。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：当x=0时，y=-2
∴抛物线y=x2-2与y轴的交点坐标是（0，-2）.
故答案为：B.
【分析】由x=0求出对应的y的值，可得到抛物线与y轴的交点坐标。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，2），
∵此抛物线开口向下，
∴此函数有最大值，最大值为2；
∵0≤x≤3.4，
∴当x=3.4时，函数最小值为-2．
故答案为：C.
【分析】由函数图象可知：此函数的顶点坐标为（1，2），图象开口向下，然后结合函数的增减性可得0≤x≤3.4对应的y的最值.
11．【答案】B
【解析】【解答】∵ = ，
∴二次函数的顶点坐标为（1，-2），
∵点A坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴二次函数图象是向左平移a个单位，再向上平移b个单位得到图象M，
∴平移后的顶点坐标为（1-a,-2+b）
∵图象M的顶点落在线段AB上，
∴-2≤1-a≤0，2≤-2+b≤3，
解得：1≤a≤3，4≤b≤5，
故答案为：B．
【分析】先求出二次函数 = 的顶点坐标（1，-2），根据题意，二次函数图象是向左平移a个单位，再向上平移b个单位得到图象M，平移后的顶点坐标为（1-a,-2+b），进而得到满足条件的a、b的不等式，解之即可．
12．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵图象经过(-4,0）和（-1,0）两点，设y=a(x+4)(x+1)，
则4=a(0+4)(0+1)，∴a=1>0, ∴抛物线的开口向上，不符合题意；
BCD、∵y=(x+4)(x+1)=x2+5x+4=(x+)2-, ∴对称轴x=-，当x>-时， y随x的增大而增大 ，二次函数的最小值为-，∴BC不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】先根据图象与x轴的交点坐标设y=a(x+4)(x+1)，再代入一点坐标即可求出a值，于是可知二次函数的解析式，配方即可得出对称轴、最小值和二次函数的增减性，据此逐项判断即可.
13．【答案】下
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点，
∴ ，
∵ ，
∴这个抛物线的开口向下．
故答案为：下
【分析】利用待定系数法求二次函数解析式，即可得出开口方向。
14．【答案】m＜﹣1
【解析】【解答】解：∵x＝1时，y＝2；x＝3时，y＝2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵抛物线开口向上，A（m，y1），B（m+6，y2）两点都在该函数图象上，且y1＞y2，
∴ ＜2，
解得m＜﹣1.
故答案为：m＜﹣1.
【分析】由表格易得：抛物线的对称轴为直线x=2，判断出函数的增减性，据此可得关于m的不等式，求解即可.
15．【答案】(-1010,10102)
【解析】【解答】∵A点坐标为（1，1），
p∴直线OA为y=x，A1（-1，1），
p∵A1A2∥OA，
p∴直线A1A2为y=x+2，
p解 得 或 ，
p∴A2（2，4），
p∴A3（-2，4），
p∵A3A4∥OA，
p∴直线A3A4为y=x+6，
p解 得 或 ，
p∴A4（3，9），
p∴A5（-3，9）
p…，
p∴A2019（-1010，10102），
p故答案为（-1010，10102）．
【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2019的坐标．
16．【答案】（2，-6）
【解析】【解答】解：将点A代入函数解析式得
解之：b=-2
∴此函数解析式为
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
作点C（1，-3） 关于直线x=2的对称点C′（3，-3）
过点A，C′作直线，交对称轴于点D，
∴CD=C′D
此时|AD-C′D|=|AD-CD|的值最大.
设直线AD的解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴直线AD的解析式为y=3x-12.
当x=2时y=6-12=-6
∴点D（2，-6）.
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴；再利用对称性作点C（1，-3） 关于直线x=2的对称点C′（3，-3），利用线段垂直平分线的性质可证得CD=C′D，由此可得此时AD-C′D=AD-CD的值最大；利用待定系数法求出直线AD的函数解析式，求出当x=2时的函数值，即可得到点D的坐标。
17．【答案】 或a＜-2
【解析】【解答】解：当a＞0时，函数图象开口向上，则：
解得： ；
当a＜0时，函数图象开口向上，则：
解得： ；
故答案为： 或 .
【分析】由二次函数 与x轴的交点在（-1，0）与（1，0）之间，分当a＞0和a＜0时，根据函数图象开口方向、x=1和x=-1函数值的正负以及根与系数的关系进行解答即可.
18．【答案】解：令 ，得 ，
解得 ， ，
∴抛物线与x轴的两个交点为 和 .
∵抛物线经过四个象限，
∴ 和 分别位于原点两侧，即 ，
∴ .
【解析】【分析】令y=0，用含k的代数式表示出抛物线与x轴的两个交点坐标，然后根据第四象限的坐标特点列不等式求解即可.
19．【答案】解：∵，
∴，
∴或，
∵m、n是方程的两个实数根，且m＜n，
∴，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，5），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为．
【解析】【分析】先求出 或， 再利用待定系数法求函数解析式即可。
20．【答案】（1）把A（0，3），C（3，0）代入y= x2+mx+n，得
，解得： .
∴抛物线的解析式为y= x2- x+3.
联立 ，解得： 或 ，
∴点B的坐标为（4，1）.
过点B作BH⊥x轴于H，如图1.
∵C（3，0），B（4，1），
∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，
∴BH=CH=1.
∵∠BHC=90°，
∴∠BCH=45°，BC= .
同理：∠ACO=45°，AC=3 ，
∴∠ACB=180°-45°-45°=90°，
∴tan∠BAC= ；
（2）解：（Ⅰ）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似.
过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°.
设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x.
∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，
∴∠APQ=∠ACB=90°.
若点G在点A的下方，
①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB.
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，
∴△PGA∽△BCA，
∴ .
∴AG=3PG=3x.
则P（x，3-3x）.
把P（x，3-3x）代入y= x2- x+3，得
x2- x+3=3-3x，
整理得：x2+x=0
解得：x1=0（舍去），x2=-1（舍去）.
②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA.
同理可得：AG= PG= x，则P（x，3- x），
把P（x，3- x）代入y= x2- x+3，得
x2- x+3=3- x，
整理得：x2- x=0
解得：x1=0（舍去），x2= ，
∴P（ ， ）；
若点G在点A的上方，
①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，
同理可得：点P的坐标为（11，36）.
②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA.
同理可得：点P的坐标为P（ ， ）.
综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（ ， ）、（ ， ）；
（Ⅱ）过点E作EN⊥y轴于N，如图3.
在Rt△ANE中，EN=AE sin45°= AE，即AE= EN，
∴点M在整个运动中所用的时间为 .
作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，
则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，
∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN.
根据两点之间线段最短可得：
当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小.
此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，
∴四边形OCD′N是矩形，
∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC.
对于y= x2- x+3，
当y=0时，有 x2- x+3=0，
解得：x1=2，x2=3.
∴D（2，0），OD=2，
∴ON=DC=OC-OD=3-2=1，
∴NE=AN=AO-ON=3-1=2，
∴点E的坐标为（2，1）
【解析】【分析】（1）只需把A、C两点的坐标代入y= x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BH⊥x轴于H，如图1.易得∠BCH=∠ACO=45°，BC= ，AC=3 ，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；
（2）（Ⅰ）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°.设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°.若点G在点A的下方，①当∠PAQ=∠CAB时，△PAQ∽△CAB.此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x.则有P（x，3-3x），然后把P（x，3-3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠PAQ=∠CBA时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（ Ⅱ ）过点E作EN⊥y轴于N，如图3.易得AE= EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为 .作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，从而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN.根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小.此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′=OC=3，ON=D′C=DC.然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标.
21．【答案】（1）解：把点 代入关系式得c=2,
把点 及a=1、c=2代入到关系式中
∵左=4，右=
∴左=右
∴当a=1时，点 在抛物线上.
（2）解：令y=0，得方程 ①
∵抛物线与x轴只有一个交点
∴方程①只能有一个解
又∵
∴
解之得 .
故得a的值为 或 .
【解析】【分析】（1）把点 代入到 中可求出c的值，把点 及a=1代入到关系式中，若左右两边相等，即可判定点 在抛物线上，否则不在；（2）令y=0，得方程 ，由题意知此方程只有一个解，由判别式可得关于a的方程，解之即可.
22．【答案】（1）解：将直线 沿y轴向上平移3个单位长度后得到 ，
∵直线 经过点 ，
∴ ，
则 ．
C点为抛物线 与y轴交点，则C点坐标为 ，
且 经过点 ，代入得： ，则C点坐标为 ．
（2）解：抛物线 经过点 和点 ，
∴ ，
∴ ，
，
∴抛物线 的函数表达式为 ，
∴ ，
∴顶点D的坐标为 ．
（3）解：∵点E是点D关于原点的对称点，
∴点E的坐标为 ．
当 经过点 时， ，则 ，
当 经过点 时， ，则 ，
结合下面图象可知a的取值范围是 ．
【解析】【分析】（1）将直线 沿y轴向上平移3个单位长度后得到 ，并且经过点 ，代入求得 值，且C点为抛物线 与y轴交点，则C点坐标为 ， 也经过C点，代入可求出C点坐标；（2）已知B、C两点的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线 的解析式，再根据顶点式则可求出顶点坐标；（3）将A、E两点的坐标分别代入抛物线 的解析式即可求出相应的 值，通过观察图象，上下移动图象即可求出抛物线 与线段AE有一个公共点时 的范围．
23．【答案】（1）（-1，0）；（3，0）
（2）过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，
∵∠CDP＋∠DCP＝90°，∠PDC＋∠QDB＝90°，
∴∠QDB＝∠DCP，
∵对称轴x=- ，
设：D（1，n）（n＞0），点C（0， 3m），
∵∠CPD＝∠BQD＝90°，
∴△CPD∽△DQB，
∴ ，
其中：CP＝n＋3m，DQ＝3 1＝2，PD＝1，BQ＝n，CD＝CO= 3m，BD＝OB=3，
将以上数值代入比例式得
解得n= ，m=
故抛物线的表达式为： ；
（3）如图2，连接OD交BC于点H，则DO⊥BC，过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，
∵OC＝ 3m，
S1＝S△OBD＝ ×OB×DM＝ DM，
S2＝S△OAC＝ ×AO×OC=- m，而 ，
则DM＝- m，
∵H是OD的中点，∴HN＝ DM＝- m= OC，
∵OC∥HN
∴△BOC∽△BNH
∴
∴BN＝ BO＝ ，则ON＝3 = ，
则DO⊥BC，HN⊥OB，
∴∠HON+∠HBO=90°，∠BHN+∠HBO=90°，
则∠BHN＝∠HON，则tan∠BHN＝tan∠HON，
则
∴HN2＝ON×BN＝ ＝（- m）2，
解得：m＝± .
∴ 或m= .
【解析】【解答】解：（1）令 =0，
解得x1=-1,x2=3
∴A（-1,0），B（3,0）
故答案为：（-1，0）；（3，0）；
【分析】（1）令 =0，求出x的值，即可求解；
（2）过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，证明△CPD∽△DQB，则 ，代入即可求解；
（3）连接OD交BC于点H，则DO⊥BC，过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，用含m的式子表示S1,S2,根据 得到DM＝- m，进而表示出HN＝ DM＝- m根据OC∥HN得到△BOC∽△BNH，得到 ，求出BN，ON，根据垂直关系得到∠BHN＝∠HON，由正切的定义可知 ，从而得到关于m的方程，故可求解.

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