高中试卷答案网永昌县重点高级中学2022-2023-2期中试卷
高一数学答案
1.B [∵复数z=(1+2i)i2023=(1+2i)i4×505+3= ,tan48°+tan72°对 于 C ( )
(1+2i)(-i)=2-i,∴|z|= 4+1= 5.] 1-tan48°tan72°
=tan 48°+72° =
2.A [该工厂生产的A,B,C 三种不同型号产品的 tan120°=- 3,故C正确;
数量之比为2∶3∶5,则抽出的100件产品中A 型 对于D,cos215°+sin215°=1,故D不正确.]
2
号产品的件数为100× =20.] 8.B
[因为向量c与a+b共线,则令c=t(a+b),t
2+3+5 ∈R,所以a+c=(1+t)a+tb,而向量a,b 为单位
3.C [由题意可知,a·b=m(m-1)-2=0, 1
即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.] 向量,且a·b= ,2
4.D [因为E 是BC 的中点,AB→=a,AD→=b, 于是得|a+c|= [(1+t)a+tb]2
1 1 1
所以CE→= CB→2 =-2AD
→=-2b
, = (1+t)2a2+2(1+t)ta·b+t2b2
1 2
DE→ D→C CE→ AB→ CE→ a b ] 2 1 1 1所以 = + = + = -2 . = 3t +3t+1= 3t+2 +4≥ ,当且仅当2
5.A [依题意,作出图形,如图所 1
示,A1B1=17m,
t=- 时等号成立,因为∠CA1D1= 2
∠CA1B1=45°,∠CB1D1=60°, 1
所以|a+c|的最小值为 .]
所以∠A1CB1=15°, 2
在 △A1B1C 中,由 正 弦 定 理 得 9.CD [当θ∈ 3π π, 时,2 cosθ<0,sinθ<0,故复数A1B1 CB= 1 , sin∠A1CB1 sin∠CA1B1 cosθ+isinθ在复平面内对应的点在第三象限;
A1BCB = 1
sin∠CA1B1 17sin45°
所以 1 sin∠A CB =
, 3π 当 时,
sin15° θ=2 cosθ=0
,sinθ=-1,故复数cosθ+
1 1
( ) 其中sin15°=sin60°-45° =sin60°cos45°- isinθ在复平面内对应的点在y 轴负半轴上;
3 2 1 2 6- 2 3π
cos60°sin45°=2×2- × =
, 当θ∈ , 时,2 2π cosθ>0,sinθ<0,故复数cosθ2 2 4
2 +isinθ在复平面内对应的点在第四象限.]
17sin45° 17×2 [
故CB 1= = =(173+17) ,
10.ABD 根据频率和等于1得10a=1-10×
sin15° m6- 2 (0.01+0.035+0.03+0.01)=0.15,解得a=
4 0.015,故A正确;
17(3+ 3)( ), 由频率分布直方图可知,众数的估计值为 ,故又CD =CBsin60°= m 75 B1 1 2 正确;
又 3≈1.732, 总体中成绩落在[80,90)内的学生人数约为300×
17×4.732
所以CD 0.03×10=90
,故C错误;
1≈ ≈40.2(m),又该同学身高2 各组对应的频率分别为0.1,0.15,0.35,0.3,0.1,
1.7m,所以塔高约为40.2+1.7=41.9(m).] 故P80 在[80,90)内,设P80=x,则0.03×(90-x)+
6.B [由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即16 0.01×10=1-80%,
=18+c2-6c,解得c=3+ 7或c=3- 7,经检 解得x≈87,故D正确.]
验,均符合题意, 11.AD [对于A项,在△ABC 中,由正弦定理得,a
所以满足条件的△ABC 的个数为2.]
=2RsinA,b=2RsinB(R 为△ABC 外接圆的
7.C [对于 A,cos82°sin52°-sin82°cos52°= 半径),
( ) ( 1
sin52°-82°=sin -30°)=- ,故A不正确; 因为2 a>b
,所以2RsinA>2RsinB,所以sinA>
1 sinB
,故A项正确;
对于B,sin15°sin75°=sin15°cos15°=2sin30°= 对于B项,因为A
→ C·AB→=bccosA>0,
1 所以cosA>0,所以A 为锐角,但无法确定B,C,故 不正确;
4 B 是否为锐角,故B项错误;
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对于C项,因为acosA=bcosB,
对于选项C,O→A·F→C=(0,-a)· 2 , 2
所以由正弦定理得,sinAcosA=sinBcosB, a+2a -2a
即sin2A=sin2B, 2
= a2,
所以2A=2B 或2A+2B=π, 2
π
所以A=B 或A+B= , PA
→·ED→=(-x ,-a-y )· 2 ,20 02 2a 2a-a =
所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形,故C项 2
; -2ax0-
(a+y ) 20 ,
错误 2a-a
对于D项,因为△ABC 为锐角三角形, 因为OA→·F→C=(1+ 2)PA→·ED→,所以整理得
π0
(a+y0) 2a-a = ,即π π π y0=所以 A+B> ,所以0< -B
0
又因为y=sinx 在 π0, 上单调递增,2 2a, 22 a-2a ,AH→= 2 2-2a,a- ,2a
所以sin π2-B
, , +aGC x AE y0 , 点 所在直线为 轴 所 整理得x+y= y 20∈ - a,0 ,故x+y2
在直线为y 轴建立平面直角坐
2
a- a
2
标系,
∈[1,2+ 2],故D正确.]
设OA=OB=OC=OD=OE
=OF=OG=OH=a, 13.22
解析 设“圭田”的底边长为x,
π
则2=a2+a2-2a2·cos ,整理得a2=2+ 2, 则由余弦定理可得x2=42+42
3
4 -2×4×4×4=8
,
A(0,-a),B 2 , 2 ,C(a,0), 解得x=22,2a -2a 即该“圭田”的底边长为22.
D 2a,2a ,E(0,a),F2 2 2 2 , 14.12- a,2 2a 解析 因为数据x1,x2,…,x8 的方差为16,
由方差的运算结论可知,数据3x1+1,3x2+1,…,
G(-a,0),H 2 2- ,2a -2a ,设P(x0,y0), 3x +1的方差为328 ×16,
所以新数据的标准差为 32×16=3×4=12.
对于选项A,BG→= 2-a- a,22 2a , π15.3
AH→= 2 , 2 ,BG→≠2AH→,故A错误; 解析 因为α,β为锐角,所以- aa- a 0<α+β<π,2 2
( ) 2( ) 53所以sinα+β = 1-cos α+β = ,
, 14对于选项BAD→= 2 ,22a 2a+a ,
tan(
53
α+β)=- ,
→ 2 2 11AB= , , 2aa-2a ([( ) ] tanα+ )-tanα所以tanβ=tan α+β -α = β 1+tan(α+β)tanα
1 1
AD→·AB→ 2a
2+a2- 22a 1 53
因 为 = = = - -43
|AB→ 2
11
|2 1a2+ 2 2- 2 = = 3,2 a-2a 531-11×43
2
+1,所以所求投影向量为 2 →+1 AB,故2 B正确; π所以2 β=3.
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3 57 18.解 (1)因为a=(k,1),b=(k+3,k-1),a∥b,
16.(1) ()8 2 - 19 所以k(k-1)-(k+3)=0,
2
解析 (1)AG→=tAF→=t(AB→+BF→)=tAB→
2t 即k -2k-3=0,解得k=3或k=-1. ………
+3AD
→
………………………………………… (5分)
→ 2t → (2)因为a⊥(a-b),=2tAE+3AD
, 所以a·(a-b)=0,即a2-a·b=0,
2t 3 所以k
2+1-[k(k+3)+(k-1)]=0,
又D,G,E 三点共线,则2t+ =1,解得3 t=8. 1
→ → 所以-4k+2=0,即k= ,……………… (8分)(2)取{AB,AD}作为平面内的一组基, 2
→ → → 1 → →,→ → → 所以a= 1,则DE=AE-AD= AB-AD AF=AB+BF 2 1 ,b= 7, 1 ,2 2 -2
1
2
=AB→+ AD→
则
, a+b= 4, ,2
3
→ a·(a+b) 设AB=2,则AB·AD→=2×2cos60°=2, 所以cosθ=|a||a+b|
DE→·AF→= 1AB→-AD→2 · 2AB→+3AD→ 52 2 13
= = 13 .
…………
1
= →
2 2
2 2 →· → 2 →2 1 2 2 1
2AB -3AB AD-3AD 2 +1 × 4+ 2
1 2 2 2 2 , ………………………………………… (= ×2- ×2- ×2=-2 12
分)
2 3 3 19.解 (1)由复数z为纯虚数,可设z=ai,a≠0,则
→ 1 → →
2
ai+3 (ai+3)(1-i) 1|DE|= AB-AD 1+i= (1+i)(1-i)= [2 3+a+(a-3)i],2
1 z+3
= AB→2 →·
由 为实数,得 ,
4 -AB AD
→+AD→2= 1-2+4= 3, 1+i a-3=0
解得a=3,即z=3i.……………………… (5分)
2
|AF→|= 2AB→+ AD→ (2)由题意可知,方程x2+mx+n=0在复数集内3 的根为x1=1+3i,x2=1-3i,
4 4 则
= AB→2+ AB→·AD→+ AD→2 -m=x1+x2=1+3i+1-3i=2
,
3 9 n=(1+3i)(1-3i)=1+9=10,
8 16 2 19 所以m=-2,n=10. …………………… (12分)
= 4+ + , 3 9= 3 20.解 (1)在△ABC 中,因为2acosB+b=2c,
→ →
→ → DE·AF 则由正弦定理得2sinAcosB+sinB=2sinC,cos∠EGF=cos
|DE→||AF→| 所以2sinAcosB+sinB=2sin(A+B)
=2sinAcosB+2sinBcosA,
-2 57
= =- 19 .
即sinB=2sinBcosA,
2 19
3× 3 又因为A,
1
B∈(0,π),所以sinB≠0,cosA= ,2
17.解 (1)由频率分布直方图知,年龄在[40,70)的 π
频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75, 所以A= . ……………………………… ( 分)3 5
故这40名看书人员中年龄分布在[40,70)的人数 (2)如图,取 AB 边的中点E,
为40×0.75=30. ………………………… (4分) 连接DE,则DE∥AC,
(2)这40名看书人员年龄的平均数为 1且DE= AC=1,
25×0.05+35×0.10+45×0.20+55×0.30+65 2
×0.25+75×0.10=54, ………………… ( )
2π
7分 ∠AED= ,3
设中位数为x,则 在△ADE 中,由余弦定理得
0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030(x-50)
2 2π
=0.5, AD =AE
2+DE2-2AE·DE·cos ,3
解得x=55, 解得AE=3(负值舍去),
故这40名看书人员年龄的中位数为55. ……… 所以AB=6.……………………………… (8分)
………………………………………… (10分) 在△ABC 中,由余弦定理得
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BC= AB2+AC2-2AB·AC·cosA π因为∠BCD= ,2
= 62
1
+22-2×6×2× =27,……… (2 11
分) 3 10
所以sin∠ACD=cos∠ACB= ,…… ( 分)10 5
所以△ABC 的周长为8+27.………… (12分)
又CD= 7,
21.解 (1)∵cos2C -cos2A = 2sinAsinB
-sin2B, 1 1所以S△ACD=2AC
·CDsin∠ACD=2× 5× 7
∴1-sin2C- 1-sin2A = 2sinAsinB-sin2B,
3 10 3 14
……………………………………………… (2分) × = ………………………… (10 4 . 6
分)
∴sin2A-sin2C= 2sinAsinB-sin2B, (2)在△ABC 中,由正弦定理得
即a2-c2+b2= 2ab,…………………… (4分) AB AC
= ,
a2 +b2-c2 2ab 2 sin∠ACB sin∠ABC
∴cosC= 2ab = =
,……… ( 分)
2ab 2 5 3πABsin
又∵C∈(0,π), 4 2即AC= ,……… ( 分)
π sin∠ACB
=2cos∠ACD 7
∴C= .…………………………………… ( 分)4 6 AD在 △ACD 中,由 正 弦 定 理 得 sin∠ACD =
(2)∵8=a+b≥2 ab(当且仅当a=b=4时取等
号), π∴ab≤16, …………………………… (9分) AC ADsin6 1
1 π ,即AC= = , …
∴S△ABC 的最大值为 ×16×sin =42.…… sin∠ADC sin∠ACD sin∠ACD2 4 ………………………………………… (8分)
………………………………………… (12分)
2 1
22.解 (1)当 BC= 2时,在△ABC 中,AB=1, 则 ,2cos∠ACD=sin∠ACD
3π
∠ABC= ,4 整理得sin∠ACD= 2cos∠ACD
,……… (9分)
由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC π因为∠ACD< ,2
3π
=3-22cos =5,解得4 AC= 5
, …… (2分) 所以tan∠ACD= 2,…………………… (10分)
AC2+BC2-AB2 6 π sin∠ACB
所 以 cos∠ACB = 2AC· =
因为∠BCD= ,所以BC 2 tan∠ACB=2 10 cos∠ACB
=
3 10 cos∠ACD 1 2
= ,…………………………………… (4分) = = . ………… (12分)10 sin∠ACD tan∠ACD 2
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永昌县重点高级中学2022一2023一2期中试卷
高一数学
(时间：120分钟满分：150分)
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡相应的位置.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米
及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
1.若复数g=(1+2i)2s,其中i是虚数单位，则|之等于
A.5
B.5
C.3
D.√3
2.已知某工厂生产的A,B,C三种不同型号产品的数量之比为2：3：5，为研究这三种产品的质
量，现按型号用同比例分层抽样的方法从该工厂生产的A,B,C三种产品中抽出100件进行测
试，则应抽取A型号产品的件数为
(
A.20
B.30
C.50
D.80
3.已知向量a=(m一1,1)，b=(m,一2)，且a⊥b,则m的值为
A.-1
B.1
C.-1或2
D.2
4.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，若AB=a,AD=b,则DE
D
等于
1
1
A.2a-b
B.2a+b
1
1
C.a+2b
D.a-2b
5.河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是古代建筑之精品，也是中国
古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证.一名身高1.7m的同学假期到
河北省正定县旅游，他在A处仰望须弥塔尖，仰角为45°，他沿直线向塔行走了
17m后仰望须弥塔尖，仰角为60°，据此估计须弥塔的高度约为（参考数据：√2≈
1.414,3≈1.732)
A.41.9m
B.40.2m
C.39.5m
D.37.8m
6.满足条件a=4,b=3√2，A=45°的△ABC的个数为
A.1
B.2
C.0
D.无法判断
7.下列化简正确的是
A.cos82"sin52°-sin82°cos52°=
2
B.sin15”sin75°=1
tan48°+tan72
C.1-tan 48'tan 72
=-√3
D.cos15°+sin215°=-3
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8.已知向量a,b为单位向量，且a·b=2若向量c与a十b英线，则1a十e的最小值为（)
A.1
c
n号
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.若0∈（π，2π），则复数cos0十isin0在复平面内对应的点可能在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
10.某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成
+频率
绩（单位：分），将成绩分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，0.035
组E
0.030
[90,100]五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确
的是
0.010
A.a的值为0.015
B.这40名学生数学考试成绩的众数的估计值为75
05067080010成绩/分
C.总体中成绩落在[80,90)内的学生人数约为105
D.估计这40名学生数学考试成绩的P0约为87
11.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是
A.若a>b,则sinA>sinB
B.若AC·AB>0,则△ABC是锐角三角形
C.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰三角形
D.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB
12.窗花是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八
边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意
图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为√2，P是正八
边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是
图
图2
A.BG=2AH
BAD在A店方向上的投影向量为（竖+1）A店
C.若OA·FC=(1+√2)PA·ED,则P为ED的中点
D.若P在边BC上，且AP=xAB+yAH,则x十y的取值范围为[1,2十√2]
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分》
13.我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，
顶角的余弦值为三，则该“圭田”的底边长为
14.已知数据x1,x2,…,x8的方差为16，则数据3.x1十1,3x2十1，…，3.x8十1的标准差为
15若e9为经角，ana=45os(a+B8)=骨则月
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