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【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题
第10天 直线和圆的方程
一、单选题
1．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
2．点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线的斜率为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．不存在
5．直线被圆所截得弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．直线与圆交两点.若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是圆上的两个动点，点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则的最大值（ ）
A． B． C．4 D．
11．直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．已知圆，圆，则下列结论正确的是（ ）．
A．若圆与圆有三条公切线，则
B．若圆，相交，且原点到两圆公共弦所在直线的距离为，则或
C．若圆，交于A，B两点，且过A，B两点的所有圆中周长最小的圆是，则
D．若圆，交于A，B两点，且四边形的面积为，则或
13．已知圆，则（ ）
A．直线的方程为 B．过点作圆的切线有且只有1条
C．两圆相交，且公共弦长为 D．圆上到直线距离为2的点有4个
14．已知点，，点P为圆C：上的动点，则（ ）
A．面积的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
15．已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
16．费马点是法国著名数学家费马在1643年提出的，根据费马的结论可得：当的三个内角都时，在内部存在唯一的点，使到三角形三个顶点距离之和最小，且点满足：.在直角坐标系内，，的费马点为，点到直线的距离为，则（ ）
A．直线的方程为 B．直线的方程为
C． D．
17．已知直线：，直线：，过点的直线与，的交点分别为.且，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
18．已知点A是直线在第一象限上的动点，点B是直线在第二象限上的动点，O为原点，则___________；当线段AB长为2时，面积的最大值为___________．
19．在平面直角坐标系中，已知两点，为坐标原点，则的平分线所在直线的方程为___________.
20．若直线被直线与截得的线段长为，则直线l的倾斜角（）的值为_________．
21．如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．则动圆圆心的轨迹的方程为___________.
22．已知圆，圆，请写出一条与两圆都相切的直线的方程：______.
23．写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
24．若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为______．
25．已知直线l：与圆C：相切，则满足条件的直线l的条数为______．
26．已知直线，，圆C与，都相切，则圆C的一个方程为________.（写出满足题意的任意一个即可）
27．由直线构成的集合的方程为，若，且，则与之间的距离为______．
28．已知动点到点和点的距离之比为，若至少存在3个点到直线：的距离为，则的取值范围为______.
29．若过点且互相垂直的两条直线分别与轴、轴交于、两点，则中点的轨迹方程为______.
30．已知点，，符合点A，B到直线l的距离分别为1，3的直线方程为___________________（写出一条即可）．
四、解答题
31．求满足下列条件的直线的方程.
（1）经过点，且与直线平行；
（2）经过点，且平行于过和两点的直线；
（3）经过点，且与直线垂直．
32．已知两点，，求线段AB的垂直平分线的方程．
33．已知等腰三角形ABC的一个顶点为，底边的一个端点为，求底边的另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形．
34．如图，某台机器的三个齿轮，A与B啮合，C与B也啮合．若A轮的直径为200 cm，B轮的直径为120 cm，C轮的直径为250 cm，且．试建立适当的坐标系，用坐标法求出A，C两齿轮的中心距离（精确到1 cm）．
35．求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程．
36．已知圆C经过原点和点，并且圆心在直线上，求圆C的标准方程．
37．的四条边所在直线的方程分别是，，，，求的面积．
38．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由．
参考答案
1．A
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．B
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.
【详解】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
即为.
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.
3．A
【分析】设出点坐标，由进行化简，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】对于直线，
即，所以在直线上，
设，其中，
由两边平方得，
即，
整理得，
由于，所以
，其中，
根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值，
且最大值为，则，解得.
故选：A
4．C
【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合正切的二倍角公式，可得答案.
【详解】由直线的斜率为，设其倾斜角为，则，
由直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，设直线的倾斜角为，则，
，，解得或，由倾斜角的取值范围为，则，
故直线的斜率为.
故选：C.
5．A
【分析】先判断直线与圆的位置关系，再由圆心与直线过的定点与直线垂直求解.
【详解】解：易知直线l过定点，圆心，
因为，
所以直线l与圆C相交，
当时，l被圆C所截得的弦最短，
此时弦长．
故选：A．
6．C
【分析】先推导出，然后以、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出圆的方程，设出点点坐标，用坐标表示向量积，结合三角函数性质可得最小值．
【详解】由题意，由余弦定理可得，
则，所以，
以、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，如下图所示，
则，，，
，则直线的方程为，即，
所以圆半径为，圆的方程为，
设，
，，
所以，其中且为锐角，
所以，的最小值为．
故选：C．
7．A
【分析】由题知圆心为，半径为，进而根据几何法求弦长得，解得，再计算面积即可得答案.
【详解】解：由题知圆心为，半径为，
所以，圆心到直线的距离为，
所以，弦长，即，解得，
所以的面积为
故选：A
8．A
【分析】设的中点为，得到，连接，，，根据，
得到,设，求得，得出点的轨迹，再由，得到当取最大值时，结合圆的性质，即可求解.
【详解】如图所示，设的中点为，连接，
由，可得，
连接，，，则，所以，
所以,
设，则，整理得，
所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
因为，所以当取最大值时，取最大值，
又因为，
故的最大值为.
故选：A．
9．B
【分析】计算，再考虑和两种情况，得到倾斜角范围.
【详解】，则，
设直线的倾斜角为，故，
所以当时，直线的倾斜角；
当时，直线的倾斜角；
综上所述：直线的倾斜角
故选：B
10．D
【分析】由动直线的方程可得动点A，B的坐标，并且可得两条直线互相垂直，由勾股定理可得|CA|2+|CB|2的值，再由基本不等式可得|AC|+|BC|的最大值．
【详解】对于直线过定点A（0，0），
对于直线，即x+k（2+y）＝0，
则，可得x＝，y＝﹣2，故定点B（，﹣2），
直线与直线中，
∵，∴l1⊥l2，
∵l1与l2的交点为C，
∴|CA|2+|CB|2＝|AB|2＝2+4＝6，
∴≤（|CA|2+|CB|2）＝3，
∴≤，
∴|CA|+|CB|≤2，
当且仅当|CA|＝|CB|时，|CA|+|CB|的最大值为2，
故选：D．
11．B
【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知当时，原点到直线的距离最大，利用两直线垂直斜率的关系可求得实数的值.
【详解】直线方程可化为，
由可得，
所以，直线过定点，
当时，原点到直线的距离最大，且，
又因为直线的斜率为，解得.
故选：B.
12．ACD
【分析】分别求出两圆的圆心及半径，对于A，由题意可得两圆外切，从而可求得；对于B，易得，根据两圆相交求得的范围，两圆方程相减可得公共弦方程，再根据原点到两圆公共弦所在直线的距离为，即可求得；对于C，由过A，B两点的所有圆中周长最小的圆是，可得圆心在公共弦AB上，从而可求得；易得，再根据四边形的面积即可求得，进而可求得.
【详解】由已知条件知圆的圆心，半径为2，
圆的圆心，半径为r，
圆心距，
对于A：若圆与圆有三条公切线，则两圆外切，
于是，解得，所以A正确；
对于B：由A知当两圆相交时，，所以，
即，解得,
联立方程，得，两式相减并化简，
得两圆公共弦所在直线的方程为，
则由原点到两圆公共弦所在直线的距离为，
得，即，得或，所以B错误;
对于C：由题意知圆心在公共弦AB上，
由B知，直线AB的方程为，
所以，则，所以C正确；
对于D：两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心，所以，
由四边形的面积为，
得，，
圆心到直线AB的距离，，
得，得，则，得或，所以D正确．
故选：ACD.
13．ACD
【分析】根据圆的标准方程，结合圆的切线性质、两圆相交公共弦所在的直线方程性质逐一判断即可.
【详解】由两圆的方程可知两圆的圆心坐标为，半径分别为，
直线的方程为，A正确；
过点作圆的切线有，有2条，B错误；
，满足．
两圆相交，公共弦所在直线为，到l的距离，由垂径定理，公共弦长为2，C正确；
圆心到直线距离为，，故圆上到直线距离为2的点有4个，D正确，
故选：ACD．
【点睛】关键点睛：利用圆的几何性质、点到直线距离公式是解题的关键.
14．BCD
【分析】对于A，点P动到圆C的最低点时，面积的最小值，利用三角形面积公式；对于B，当点P动到点时，取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；对于D，利用平面向量数量积的几何意义进行求解.
【详解】，
圆C是以为圆心，为半径的圆.
对于A，面积的最小值为点P动到圆C的最低点时，，
，故选项A错误；
对于B，连接交圆于点，当点P动到点时，取到最小值为，故选项B正确；
对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，设切点为,，，
，故选项C正确；
对于D，，当点P动到点时，取得最大值，即在上的投影，，故选项D正确；
故选：BCD.
15．ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
16．BD
【分析】先求得点坐标，然后求得直线的方程，利用点到直线的距离公式求得，从而确定正确答案.
【详解】依题意，
则三角形和三角形是钝角三角形，
由于，所以（，在对应角为钝角的钝角三角形中满足三角形全等），
所以，，所以是等腰三角形顶角的角平分线，
延长交轴于，则是的中点，且，
所以，由于，
所以，由于，
所以直线的方程为，
整理得，则A选项错误，B选项正确.
到直线的距离，
所以C选项错误，D选项正确.
故选：BD
17．AC
【分析】由已知可得，求出，之间的距离为.根据，可得出直线的倾斜角与的倾斜角之间的关系.然后根据两角和的正切公式即可求得直线的斜率，进而得出直线的方程.
【详解】因为，所以，且直线与直线之间的距离.
设直线的倾斜角为，斜率，所以，又，所以直线的倾斜角为或.
当直线的倾斜角为时，设斜率为，则，所以直线的方程为，即；
当直线的倾斜角为时，设斜率为，则.所以直线的方程为，即.
故选：AC.
18．
【分析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，再由，利用两角差的正切公式求解；根据，求得，再利用余弦定理结合基本不等式求得，再利用三角形面积公式求解.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
直线的倾斜角为，则，
依题意得，
所以，
；
因为，
即，
所以，
解得，因为，
所以，，
在中，由余弦定理得，
则，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
所以的面积的最大值为
故答案为：，
19．
【分析】设的平分线的倾斜角为，根据斜率公式结合可得，由的范围即可求解.
【详解】由题意，可设的平分线的倾斜角为，如图，
则，即.
则或，又，故，
故，
故的平分线所在直线的方程为，
故答案为：
20．或
【分析】画出图形，设直线与分别交于两点，过作于点，可求出，从而可求出的值.
【详解】画出图形，设直线与分别交于两点，过作于点，
则，
因为，
所以在中，，
因为为锐角，所以，
因为直线的斜率为1，所以直线的倾斜角为，
所以直线的倾斜角为或，
故答案为：或
21．
【分析】利用两圆位置关系得到，，从而有，由此利用椭圆的定义即可得解.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
设动圆的半径为，
因为动圆与圆内切，与圆外切，
所以，，
于是，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
从而，所以.
所以动圆圆心的轨迹的方程为．
故答案为：.
22．或或或（写出其中一个即可）
【分析】首先判断两圆的位置关系，即可判断公切线的条数，设切线与两圆圆心连线的交点为，分切线为外公切线与内公切线两种情况讨论，分别求出点坐标，再设出切线方程，利用点到直线的距离等于半径求出参数的值，即可得到切线方程.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
所以，则两圆相离，所以两圆有条公切线，
设切线与两圆圆心连线的交点为，
①当切线为外公切线时，，所以，
解得，所以，设公切线，
所以圆心到切线的距离，解得，
所以公切线为，即或；
②当切线为内公切线时，，，所以，所以，设公切线，
所以圆心到切线的距离，解得，
所以公切线为，即或；
所以两圆的公切线为或或或.
故答案为：或或或（写出其中一个即可）
23．或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
24．
【分析】根据两直线所过的定点和位置关系，结合圆的性质进行求解即可.
【详解】直线过定点，直线过定点，
显然这两条直线互相垂直，因此在以为直径的圆上，设该圆的圆心为，
显然点的坐标为，所以该圆的方程为，
由圆的切线性质可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，
当点在如下图位置时，的值最大，即，
所以|PM|的最大值为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据两直线的位置关系确定点的轨迹，利用圆的几何性质是解题的关键.
25．2
【分析】原点到l的距离,则转化为l既与圆相切，又与圆C相切，分析出两圆相交，故公切线的条数为2.
【详解】原点到l的距离，
C到l的距离为4，
故满足条件的l既与圆相切，又与圆C相切，
故l是圆和圆C的公切线，又,
易知两圆相交，故公切线的条数为2，
即符合条件的直线l有2条．
故答案为：2.
26．（答案不唯一）
【分析】根据题意可得直线，关于直线对称，设一个圆心坐标，利用直线与圆相切即可求出半径.
【详解】由题意可得，直线的斜率为，直线的斜率为，因为，
所以直线，关于直线对称.
则圆的圆心坐标在直线或上，
不妨设圆的圆心坐标为，因为圆C与，都相切，
所以圆的半径，
所以圆C的一个方程为，
故答案为：（答案不唯一）.
27．
【分析】根据题意，分与两种情况讨论，根据直线平行得出，代入两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】当时，即，，当时，，当时，，
故，此时，与的距离为2；
当时，，
又因为，所以，且，
所以，
因为，所以，且过
又直线，
由两平行线间的距离公式可得：，
故答案为：.
28．
【分析】根据题意求出点的轨迹方程，然后利用直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】设点的坐标为，有，整理得，
所以为圆上的点，直线：过定点，点在圆上，
设为圆心到直线的距离，令，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
29．
【分析】设，则，连接，，根据计算得到答案.
【详解】设，则，连接，
，，即，化简即得.
故答案为：
30．或或或（写出一条即可）
【分析】根据题意可知直线l是圆与圆的公切线，先判断两圆外离，可得直线l有四条，再根据几何性质（相似三角形的性质）和点到直线的距离公式即可求解直线l的方程．
【详解】由题意可知直线l是圆与圆的公切线，
因为两圆为外离关系，所以满足条件的直线l有四条．
当直线l是两圆的外公切线时，由几何性质（相似三角形的性质）易知直线l过点．
设直线l的方程为，则，解得，
此时直线l的方程为或．
当直线l是两圆的内公切线时，由几何性质（相似三角形的性质）易知直线l过点，
设直线l的方程为，则，解得，
此时直线l的方程为或．
故答案为：或或或（写出一条即可）．
31．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；
（2）求过两点的直线斜率，然后根据两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；
（3）两直线垂直，斜率乘积等于-1，求得斜率，从而写出方程；
【详解】（1）与直线平行的直线斜率为-4，且经过点
则直线为；
（2）过和两点的直线斜率为，
则与MN平行且过点的直线方程为：；
（3）直线的斜率为-2，与之垂直的直线斜率为，
则经过点，且与直线垂直的直线方程为；
32．
【分析】根据中点坐标公式求得线段中点坐标，再求直线的斜率，进而确定垂直平分线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可.
【详解】因为两点，，
所以线段中点坐标为，，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为，
由点斜式可知：线段AB的垂直平分线的方程为：，
整理得：.
33．（去掉（3,5），（5,-1）两点）；表示是以为圆心，以半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆
【分析】根据等腰三角形和已知顶点A(4,2)，一个端点B(3,5)，利用腰相等且能构成三角形即可求端点C的轨迹方程；
【详解】由题意知：设另一个端点，腰长为，
∴C的轨迹方程：，
又由A、B、C构成三角形，即三点不可共线，
∴需要去掉重合点（3,5），反向共线点（5,-1），
即表示是以为圆心，以半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆.
34．
【分析】根据题意，以点为坐标原点，所在直线为建立平面直角坐标，进而得直线的方程为，故设，再结合圆与圆的位置关系求解即可得答案.
【详解】解：根据题意，以点为坐标原点，所在直线为建立平面直角坐标系，如图，
则，，，
由于，所以直线的方程为，
故设，则，
由于圆与圆相外切，故，解方程得
所以cm.
故A，C两齿轮的中心距离约为.
35．或
【分析】设圆的一般方程是，得出圆心坐标和半径，利用直线与轴相切，令后的二次方程判别式等于0得的一一个等式，求出圆心到直线的距离，用勾股定理得弦长，得的第二个等式，再由圆心在已知直线上第的第三个等式，三式联立解得得圆方程．
【详解】设所求的圆的方程是，则圆心为，半径为. 令，得，
由圆与轴相切，得，即①
又圆心到直线的距离为.
由已知，得，
即②
又圆心在直线上，则③
联立①②③，解得或
故所求圆的方程是或.
36．
【分析】设圆C的标准方程为，根据题意得到不等式组，解之即可求出结果.
【详解】设圆C的标准方程为，
由题意可得，解得，
因此.
37．9
【分析】先求得点B,C,D坐标，由点到的距离及的长即可求得的面积．
【详解】由，，联立求得交点，由，，联立得交点，由，联立得交点，
由点到的距离，
，
故.
38．，，理由见解析.
【分析】根据题意作出图示，根据图示结合临界位置分析直线与线段有交点时倾斜角和斜率的取值范围.
【详解】如下图所示，
当直线经过点时，斜率为，此时倾斜角为 ；
当直线经过点时，斜率为， 此时倾斜角为，
由题意可知，当直线从过点的位置开始，逆时针旋转至过点的位置，经过图中阴影部分时都能满足题意，
旋转过程中，倾斜角先从变化到，再从变化到，
所以倾斜角的取值范围是：；
旋转过程中，斜率先从变化到，再从变化到，
所以斜率的取值范围是：.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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