高中试卷答案网2022学年第一学期初三数学竞赛试题卷
考试时间：120分钟 满分：150分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
注意事项：
1.全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题纸。试题卷共7页，有三个大题，23个小题。满分为150分，考试时长为120分钟。
2.请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题纸的规定位置上。
3.答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题纸Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满。将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题纸各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效。
4.不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示。
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题
1．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C.现有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即ab＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
故①正确；
②如图，当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，
故②正确；
③对称轴为x＝﹣ ＞﹣1，得2a＜b，即2a﹣b＜0，
故③错误；
④∵当x＝1时，y＝0，
∴0＝a+b+c，
又∵2a﹣b＜0，即b＞2a，
∴0＝a+b+c＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0，
故④错误.
综上所述，①②正确，即有2个结论正确.
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口方向，判断a与0的关系；由对称轴与y轴的位置关系，判断ab与0的关系；由抛物线与y轴的交点，判断c与0的关系，进而判断abc与0的关系，据此可判断①.由x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，再结合图象x＝﹣2时，y＞0，即可得4a﹣2b+c与0的关系，据此可判断②.根据图象得对称轴为x＝﹣ ＞﹣1，即可得2a﹣b与0的关系，据此可判断③.由x＝1时，y＝a+b+c，再结合2a﹣b与0的关系，即可得3a+c与0的关系，据此可判断④.
2．二次函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】在y=（x+1）2-2中由a=1＞0知抛物线的开口向上，故A不符合题意；
其对称轴为直线x=-1，在y轴的左侧，故B不符合题意；
由y=（x+1）2-2=x2+2x-1知抛物线与y轴的交点为（0，-1），在y轴的负半轴，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一判断可得．
3．如图，A、B分别是反比例函数 图象上的两点，连结 、 ，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、E，且 交 于点D，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AC⊥x轴，BE⊥x轴，
∴S△AOC=S△BOE= ×4=2，
∴S△OCD=2- = ，
∵CD∥BE，
∴△OCD∽△OEB，
∴ ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】由反比例函数的几何意义可得S△AOC=S△BOE，由三角形的构成可得S△OCD=S△AOC-S△OAD可求得S△OCD的值，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△OCD∽△OEB，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解.
4．已知点A（﹣2，y1）和B（3，y2）都在二次函数y＝x2－2x－1的图像上，则y1，y2之间的大小关系为（ ）
A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点A（﹣2，y1）和B（3，y2）都在二次函数y＝x2－2x－1的图像上，
∴y1 =（-2）2－2×（-2）－1=7，y2 =32－2×3－1=3，
∵7＞3，
∴y1＞y2．
故答案为：C.
【分析】分别将x=-2、3代入二次函数解析式中求出y1、y2的值，然后进行比较即可.
5．将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是
= = ，
故答案为：A．
【分析】根据平移的性质求出y=即可作答。
6．如图， 已知第一象限内的点A在反比例函数y＝ 的图象上， 第二象限内的点B在反比例函数y＝ 的图象上， 且OA⊥OB， cosA＝ ， 则k的值为（ ）
A．－12 B．－16 C．－6 D．－18
【答案】D
【解析】【解答】解：过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M，
∵cosA＝ ，
∴ ，
设 ， ，
，
∴ ，
∵OA⊥OB，
∴∠BMO＝∠ANO＝∠AOB＝90°，
∴∠MBO+∠BOM＝90°，∠MOB+∠AON＝90°，
∴∠MBO＝∠AON，
∴△MBO∽△NOA，
∴ ，
设A（x， ），ON＝x，AN＝ ，
∴OM＝ ，BM＝3 x，
即B的坐标是（﹣ ，3 x），
把B的坐标代入反比例函数y＝ 得， ，
解得，k＝﹣18，
故答案为：D.
【分析】过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M，由cosA＝ ，可设 ， ，利用勾股定理求出OB=，可证△MBO∽△NOA，得出，设A（x， ），ON＝x，AN＝ ，可得OM＝ ，BM＝3 x，即B的坐标是（﹣ ，3 x），将其代入反比例函数解析式中即可求出k值.
7．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧）和便民路（线段）.已知A、B是圆上的点，O为圆心，，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（ ）米.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，
则AC=BC，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=（180°-∠AOB）=30°，
在Rt△AOC中，OC=OA=9，
AC=，
∴AB=2AC=，
又∵=，
∴走便民路比走观赏路少走米，
故答案为：D．
【分析】作OC⊥AB于C，先求出AB的长，再利用弧长公式求解即可。
8．如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（ ）
A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴，可得，根据抛物线与轴交于负半轴，则
∴
故①符合题意；
∵二次函数的图象经过点，
则当时，
对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，
时，
即
故②不符合题意
对称轴为直线，
∴，即
故③符合题意；
∵二次函数图象与轴有两个交点，则
即
故④不符合题意；
对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，
，是抛物线上两点，且，抛物线开口向上，
故⑤符合题意
故正确的是①③⑤
故答案为：C
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
9．如图，在正方形 中，点 是对角线 的交点，过点 作射线分别交 于点 ，且 ，交 于点 ．给出下列结论： ; C； 四边形 的面积为正方形 面积的 ； ．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
故 符合题意；
，
点 四点共圆，
∴ ，
∴ ，
故 符合题意；
，
，
，
故 符合题意；
，
，又 ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又 中， ，
，
，
故 不符合题意，
故答案为： B ．
【分析】根据正方形的性质，对角线互相垂直平分，分析判定△COE≌△DOF（ASA）
圆成立的条件，根据圆周角定理，判定，两角对应相等的两个三角形相似。
全等三角形的性质，面积相等，再根据正方形的性质，即可得 四边形 的面积为正方形 面积的 。
勾股定理的应用。
10．若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（ ）
A． ≤m＜1 B． ＜m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2
【答案】B
【解析】【解答】∵y＝mx2﹣4mx+4m﹣2＝m（x﹣2）2﹣2且m＞0，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x＝2．
由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．
①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意．
将（1，﹣1）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1＝m﹣4m+4m﹣2．解得m＝1．
此时抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2．
由y＝0得x2﹣4x+2＝0．解得
∴x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．
则当m＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．
∴m≤1．【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】
②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意．
此时x轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．
将（0，0）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到0＝0﹣4m+0﹣2．解得m＝ ．
此时抛物线解析式为y＝ x2﹣2x．
当x＝1时，得 ．∴点（1，﹣1）符合题意．
当x＝3时，得 .∴点（3，﹣1）符合题意．
综上可知：当m＝ 时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴m＝ 不符合题．
∴m＞ ．
综合①②可得：当 ＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，
故答案为：B．
【分析】画出图象，利用图象可得m的取值范围
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
二、填空题
11．如图，在 纸片中， ， ， ，点D，E分别在 ， 上，连结 ，将 沿 翻折，使点A的对应点F落在 的延长线上，若 平分 ，则 的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：作DH⊥BC于H，
在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB= ，
∵将△ADE沿DE翻折得△DEF，
∴AD＝DF，∠A＝∠DFE，
∵FD平分∠EFB，
∴∠DFE＝∠DFH，
∴∠DFH＝∠A，
设DH＝3x，
在Rt△DHF中，sin∠DFH＝sin∠A＝ ，
∴AD=DF＝5x，
∴BD＝5 5x，
∵△BDH∽△BAC，
∴ ，
∴ ，
∴x＝ ，
∴AD＝5x＝ ．
故答案是： ．
【分析】作DH⊥BC于H，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= 5 ，根据折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠DFE，根据角平分线的定义可得∠DFH＝∠A，设DH＝3x，在Rt△DHF中，sin∠DFH＝sin∠A＝ ，AD=DF＝5x，BD＝5 5x，根据△BDH∽△BAC，可得
， ，x＝ ，AD＝5x＝ 。
12．在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，则AF的长为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：连接AC、EC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，即AE∥CF
∵点E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=，
∴AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF＝CE，
∵AD∥BC，
∴∠EAQ=∠BCQ，∠AEQ=∠CBQ，
∴△AEQ∽△CBQ，
∴，
设AQ＝a，EQ＝b，则CQ＝2a，BQ＝2b，
∵点E，G分别是AD，CD的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
由勾股定理得：BQ2=AB2﹣AQ2＝BC2﹣CQ2，
即9﹣a2＝﹣4a2，
∴3a2＝11，
∴a2＝，
∴BQ2＝4b2＝（2）2﹣4×＝，
∴b2＝，
在Rt△EQC中，CE2＝EQ2+CQ2＝b2+4a2＝16，
∴CE＝4，
∴AF＝4．
故答案为：4．
【分析】连接AC、EC，由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，结合线段中点定义得
AE＝CF，AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AFCE是平行四边形，于是可得AF＝CE，由平行线的性质得∠EAQ=∠BCQ，∠AEQ=∠CBQ，根据有两个角相等的两个三角形相似可得△AEQ∽△CBQ，于是可得比例式=，设AQ＝a，EQ＝b，则CQ＝2a，BQ＝2b，由题意得EG是△ACD的中位线，根据三角形的中位线定理得EG∥AC，结合已知和平行线的性质得BE⊥AC，由勾股定理得由勾股定理得：BQ2=AB2﹣AQ2＝BC2﹣CQ2可得关于a的方程，解之求得a的值，根据BQ2＝4b2可得b2的值，在Rt△EQC中，用勾股定理求得CE=AF的值即可.
13．如图，在⊙O中过O作OC⊥AB于C，连接AO并延长，交过B点的⊙O的切线于D点，若AB=8，BD=12，OC=3，则AD= 。
【答案】18
【解析】【解答】解：连接OB，
∵BD是 ⊙O的切线 ，∴OB⊥BD，∴∠DBO=90°，
∵OC⊥AB，且AB=8，∴∠ACO=90°，AC=AB=4，
在Rt△ACO中，∵AC=4,OC=3，∴,∴OB=OA=5,
在Rt△OBD中，OD=,
∴AD=AO+OD=18.
故答案为：18.
【分析】根据切线的性质得出∠DBO=90°，根据垂径定理得出AC=4，根据勾股定理算出AO的长，OD的长，从而即可解决问题.
14．如图，已知BD是的外接圆直径，且，，则 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
由图可知 （同弧所对的圆周角相等），
且 （直径所对的圆周角等于90°），
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【分析】连接CD，根据圆周角的性质可得 ，再利用可得，再利用解直角三角形的方法可得。
15．已知A（﹣1，y1），B（ ，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y＝ax2﹣1（a＞0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是 .（用“＜”连接）
【答案】y1＜y2＜y3
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝ax2﹣1（a＞0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝0，开口向上，
∵A（﹣1，y1）、B（ ，y2）、C（2，y3），
∴点C离对称轴最远，点A离对称轴最近，
∴y1＜y2＜y3.
故答案为y1＜y2＜y3.
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝0，然后比较三个点离对称轴的远近得到y1、y2、y3的大小关系.
16．已知a、b、c、满足 ，从下列四点：① ；②(2，1)；③ ；④(1，﹣1)，中任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵a、b、c、满足 ，
∴当a+b+c=0时，k=﹣1，
此时正比例函数的表达式为y＝-x，
将四个点代入，点④（1，﹣1）在正比例函数y＝﹣x的图象上；
当a+b+c≠0时，
k= = = ，
∴正比例函数的表达式为y＝ x，
将四个点代入，点① 和点②(2，1)在正比例函数y＝ x的图象上，
∴任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是 ，
故答案为： .
【分析】分两种情况讨论，结合比例式，当a+b+c=0时，得出k=﹣1，当a+b+c≠0时，求出k=，将四个点分别代入函数式求出k值，则可得出符合条件的情况数，然后利用概率公式计算即可.
17．已知：如图，AD、CE分别是△ABC的角平分线和中线，AD⊥CE，AD＝CE＝4，则BC的长等于 .
【答案】
【解析】【解答】如下图，过点B作CE的垂线，交CE延长线于点F，AD与CE交于点H.
∵AD⊥EC，AD是∠EAC的角平分线
∴∠EAH=∠HAC
∴∠AEH=∠ACH，∴AE=AC，△AEC是等腰三角形
∵CE=4
∴EH=HC=2
∵CE是△ABC的中线，∴AE=EB
∵∠AEH=∠FEB，∠AHE=∠BFE=90°
∴△AEH≌△BEF
∴EF=2，FC=2+2+2=6，BF=AH
∵∠DCH=∠BCF，∠DHC=∠BFC=90°
∴△DCH∽△BCF
∴
∴3DH=BF，∴3DH=HA
∵AD=4
∴HD=1，FB=3
∴在Rt△CBF中，CB=
故答案为：
【分析】如下图，过点B作CE的垂线，交CE延长线于点F，先证△BFE≌△AHE，然后利用AD⊥CE可得FE、EH、HC的长，接着证△BFE∽△DHC，利用线段比的关系可求得BC的长.
18．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且EF⊥BE，EF=BE，△DEF的外接圆⊙O恰好切BC于点G，BF交⊙O于点H，连结DH.若AB=8，则DH= .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OG，反向延长交DE于M，连接EH，过H作HN//BC交DC于N，HP//CF教BC于P。
∵∠BEF=90°，ABCD是矩形，
∴∠ABE+∠AEB=90°，∠DEF+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
又∵BE=EF，∠BAE=∠EDF=90°，
∴△BAE≌△EDF，
∴DE=AB=8，
∵⊙O切BC于G，
∴OG⊥BC，OM⊥DE，MG=AB=8，
∴ME= DE=4，
在Rt△OEM中，OE2=OM2+ME2，即OE2=(8-OE)2+42，
解得：OE=5，
∴OM=3，
∵OM是△DEF的中位线，
∴DF=2OM=6，
∴CF=8-6=2，
∵∠EDF=90°，⊙O是△DEF的外接圆，
∴EF是⊙O的直径，
∴∠EHF=90°，
∵BE=EF，
∴BH=HF，
∵HN//BC，HP//CF，∠C=90°，
∴四边形HPCN是矩形，
∴PH是△BFC的中位线，
∴PH=CN，PH= CF，
∴CN=1，FN=1，
∴DN=6+1=7，
∵∠BFE=∠EDH=45°，∠EDF=90°，
∴∠HDN=45°，
∴△DHN是等腰直角三角形，
∴DH= DN=7 .
【分析】如图，连接OG，反向延长交DE于M，连接EH，过H作HN//BC，HP//CF，根据AAS可证明△BAE≌△EDF，即可得出DE=AB=8，由切线性质可知OG⊥BC，OM⊥DE，MG=AB=8，
由垂径定理可得ME的长，利用勾股定理可求出OE的长，进而可得OM的长，根据中位线的性质可得DF的长，根据等腰三角形的性质可得BH=HF，由HN//BC，HP//CF，∠C=90°可判定四边形HPCN是矩形，进而可得HP是△BFC的中位线，即可求出FN的长，进而可得DN的长，由圆周角定理可得∠EDH=45°，即可求出∠HDN=45°，即可证明△DHN是等腰直角三角形，即可求出DH的长.
三、综合题
19．已知二次函数 （ 是常数）.
（1）若该函数图象与 轴有两个不同的公共点，求 的取值范围；
（2）求证：不论 为何值，该函数图象的顶点都在函数 的图象上；
（3） ， 是该二次函数图象上的点，当 时，都有 ，则 的取值范围是 .
【答案】（1）解：令 ，则 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵该函数图象与 轴有两个不同的公共点，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得 .
∴当 时，该函数图象与 轴有两个不同的公共点.
（2）解：由 ，得顶点坐标为 ，
将 代入 ，得 ，
∴不论 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 的图象上.
（3） 或
【解析】【解答】解：（3） 或
由（2）可知该抛物线顶点为 ，
当 时， ，
∴ 时， 随 的增大而减少，
又∵该函数开口向下，对称轴为直线 ，
∴如图，得出 ，
当 时， ，
要使 恒成立，则 ，
∴ ， 或 ，
结合 ，
∴ 或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）当y=0可得到关于x的一元二次方程，再根据当二次函数图象与x轴有两个不同的交点时，就是当y=0时的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，然后求出不等式的解集；
（2）将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标；再将顶点的横坐标代入一次函数解析式，根据其函数值可作出判断；
（3）结合函数图象，利用二次函数的增减性，可得答案.
20．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C
（1）求证：△ABF∽△EAD
（2）若AB=4，S ABCD= ，求AE的长
（3）在（1）、（2）条件下，若AD=3，求BF的长（计算结果可含根号）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAF=∠AED，
∠C+∠D=180°，
∴∠C=∠BFE，∠BFE+∠BFA=180°，
∴∠D=∠BFA，
∴△ABF∽△EAD
（2）解：∵S□ABCD= ，
∴AB·BE= ，
∵AB=4，
∴BE= ，
∴AE2=AB2+BE2=42+（ ）2 ，
AE= .
（3）解：由（1）有 = ，
又AD=3，
∴BF= =4×3×
=
【解析】【分析】（1）先求出 ∠C=∠BFE，∠BFE+∠BFA=180°， 再求出 ∠D=∠BFA， 最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 AB·BE= ， 再利用勾股定理计算求解即可；
（3）根据 = ， 计算求解即可。
21．已知线段a，b，c满足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3.
（1）求线段a，b，c的长.
（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长.
【答案】（1）解：∵a：b：c＝2：3：4，
∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b﹣c＝3，
∴2k+3k﹣4k＝3，
解得k＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝12；
（2）解：∵m是a、b的比例中项，
∴m2＝ab，
∴m2＝6×9，
∴m＝3或m＝﹣3（舍去），
即线段m的长为3.
【解析】【分析】（1）设a＝2k，b＝3k，c＝4k，结合a+b-c＝3可得k的值，进而可得a、b、c的值；
（2）根据比例中项的概念可得m2＝ab，将a、b的值代入计算可得m的值.
22．如图，已知在中，，垂足为点，点是边的中点．
（1）求边的长；
（2）求的正弦值．
【答案】（1）解：∵
∴和均为直角三角形，
∵
∴
∵
∴
∵
由勾股定理得，
（2）解：过点作于点F，如图，
∵，
∴//
∴
∴
∵点是边的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∴
在中，∵
∴
∴
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可；
（2）先求出 ，再利用勾股定理和锐角三角函数求解即可。
23．已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．
（1）求这个函数的解析式；
（2）画出函数的图象，写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2经过点A（2，1），
∴4a=1，解得a=，
∴这个函数的解析式为y=x2；
（2）解：∵点A（2，1），关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同，
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（-2，1）
（3）解：如图：
∵点A（2，1），B（-2，1），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，S△OAB=×4×1=2，
假设存在点C，且点C到AB的距离为h，
则S△ABC= AB h=×4h，
∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半，
∴×4h=×2，解得h=，
①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为，
此时，解得，，
则此时C的坐标为（，）或（，），
②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为，
此时，解得，，
则此时C的坐标为（，）或（，），
综上，存在点C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面积等于△OAB面积的一半．
【解析】【分析】（1）将点A（2，1）代入y=ax2中可求出a值，即得解析式；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相同， 即可求解；
（3） 先求出S△OAB=×4×1=2， 假设存在点C，设点C到AB的距离为h，根据△ABC的面积等于△OAB面积的一半，建立方程可求出h=，分两种情况：①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为，②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为，然后分别代入抛物线解析式中求解即可.
24．如图，抛物线 交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分别交x轴、AC于点E、F，点P是射线DE上一动点，过点P作AC的平行线MN交x轴于点H，交抛物线于点M，N（点M位于对称轴的左侧）.设点P的纵坐标为t..
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标.
（2）当点P位于EF的中点时，求点M的坐标.
（3）① 点P在线段DE上运动时，当 时，求t的值.
【答案】（1）解：对称轴直线x= =2.
当y=0时，
解得 .
所以对称轴为直线x=2，点A的坐标为（6，0）
（2）解：如图1，∵A（6，0），C（0，6）∴OA=OC且∠AOC=90°∵EF//y轴∴△AEF为等腰直角三角形∴AE=EF=4若点P位于EF的中点，且MP//AC
则点H为AE的中点.
∴P（2，2），H（4，0）∴
则
解得： （舍去）∴∴M
（3）解：如图2， 过点M作MK⊥x轴交于点K.∵点P在线段DE上运动，则t > 0.P（2，t），PE=EH=t.由MK//EF， 得： ∴MK=HK=3t，OK=3t-(2+t)=2t-2.即M（2-2t，3t） ，化简： 解得： （舍去）
∴点P在线段DE上运动时，当 时， t的值为
② 点Q是抛物线上一点，点P在整个运动过程中，满足以点C，P，M，Q为顶点的四边形是平行四边形时，则此时t的值是 （请直接写出答案）.
【解析】【解答】解：（3）② 或
【分析】（1）根据对称轴为直线x=-，代入计算可求出对称轴；再由y=0求出对应的自变量的值，就可得出点A的坐标。
（2）利用点A、C的坐标及EF//y轴，就可证得△AEF为等腰直角三角形，就可求出AE、EF的长，再根据MP∥AC，点H为AE的中点，可得出点P、H的坐标，利用待定系数法求出直线PM的函数解析式，再将二次函数解析式和直线PM的函数解析式联立方程组，就可求出点M的坐标。
（3）① 过点M作MK⊥x轴交于点K，由于点P在线段DE上运动，可得出点P的坐标，就可得出EH的长，再由平行线分线段成比例，得出对应相等成比例，求出点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式，就可建立关于t的方程，解方程就可求出t的值；② 根据题意得出点Q的坐标，再将点Q的坐标代入抛物线的解析式，建立方程求解，就可得出t的值。
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上， 、 的长分别是一元二次方程 的两个根 ， ，边 交 轴于点 ，动点 以每秒 个单位长度的速度，从点 出发沿折线段 向点 运动，运动的时间为 秒，设 与矩形 重叠部分的面积为 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求 关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点 的运动过程中，是否存在 ，使 为等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： ，
， ，
，
， ，
，
， ，
四边形 是矩形，
点 的坐标为
（2）解：设 交 轴于点 ，
如图1，当 时， ，
，
，
，即 ，
，
；
如图2，当 时， ，
，
，
，即 ，
，
；
综上所述，
（3）解：由题意知，当点 在 上时，显然不能构成等腰三角形；
当点 在 上运动时，设 ，
， ，
， ， ，
①当 时， ，解得 ，
则 ；
②当 时， ，解得 ，
则 ；
③当 时， ，解得 ，
则 ；
综上， 或 或 ．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，可写出点D的坐标。
（2）利用相似三角形的对应边成比例，可列出相应的关系式。
（3）考虑P点运动的情况，设出坐标，列出关系式，解出相应的P点的坐标。
26．嘉兴某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品.该产品销售量y（万件）与售价x（元/件）之间存在图1（一条线段）所示的变化趋势，总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在图2所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当时可看成抛物线.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）若销售量不超过10万件时，利润为45万元.求此时的售价为多少元/件？
（3）当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？（利润＝销售总额－总成本）
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
根据图象可把点和点代入，得：，
解得.
即y与x之间的函数关系式为；
（2）解：当时，设，
根据图象可把点和点代入，得：，
解得.
∴，
设利润为W，
则，
解得（舍去），.
故此时的售价为15元/件.
（3）解：由（2）可知当时，，
当时，最大，最大值为49；
当时，
将代入，即
解得，
∴，
∴此时.
∵对称轴，
∴当时，最大，此时，
综上，当售价为17元/件时，利润最大，最大值是49万元.
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用待定系数法求出当6≤y＜10时，p与y的函数关系式， 设利润为W ，根据总售价-总成本=总利润建立出w与x的函数关系式，令w=45代入所求的函数解析式，求解即可得出答案；
（3）当6≤y＜10时，将（2）所得函数解析式配成顶点式，由二次函数的性质即可得出答案；当10≤y＜16时，将点（10，100）代入 算出m的值，再根据总售价-总成本=总利润建立出w与x的函数关系式，利用对称轴直线公式算出对称轴直线，进而根据二次函数的性质即可得出答案.2022学年第一学期初三数学竞赛试题卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
注意事项：
1.全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题纸。试题卷共7页，有三个大题，23个小题。满分为150分，考试时长为120分钟。
2.请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题纸的规定位置上。
3.答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题纸Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满。将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题纸各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效。
4.不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示。
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题(共10题；共40分)
1．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C.现有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．二次函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，A、B分别是反比例函数 图象上的两点，连结 、 ，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、E，且 交 于点D，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点A（﹣2，y1）和B（3，y2）都在二次函数y＝x2－2x－1的图像上，则y1，y2之间的大小关系为（ ）
A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．无法确定
5．将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图， 已知第一象限内的点A在反比例函数y＝ 的图象上， 第二象限内的点B在反比例函数y＝ 的图象上， 且OA⊥OB， cosA＝ ， 则k的值为（ ）
A．－12 B．－16 C．－6 D．－18
7．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧）和便民路（线段）.已知A、B是圆上的点，O为圆心，，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（ ）米.
A． B． C． D．
8．如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（ ）
A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
9．如图，在正方形 中，点 是对角线 的交点，过点 作射线分别交 于点 ，且 ，交 于点 ．给出下列结论： ; C； 四边形 的面积为正方形 面积的 ； ．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（ ）
A． ≤m＜1 B． ＜m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2
第Ⅱ卷 主观题
二、填空题(共8题；共32分)
11．如图，在 纸片中， ， ， ，点D，E分别在 ， 上，连结 ，将 沿 翻折，使点A的对应点F落在 的延长线上，若 平分 ，则 的长为 ．
12．在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，则AF的长为 ．
13．如图，在⊙O中过O作OC⊥AB于C，连接AO并延长，交过B点的⊙O的切线于D点，若AB=8，BD=12，OC=3，则AD= 。
14．如图，已知BD是的外接圆直径，且，，则 ．
15．已知A（﹣1，y1），B（ ，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y＝ax2﹣1（a＞0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是 .（用“＜”连接）
16．已知a、b、c、满足 ，从下列四点：① ；②(2，1)；③ ；④(1，﹣1)，中任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是 .
17．已知：如图，AD、CE分别是△ABC的角平分线和中线，AD⊥CE，AD＝CE＝4，则BC的长等于 .
18．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且EF⊥BE，EF=BE，△DEF的外接圆⊙O恰好切BC于点G，BF交⊙O于点H，连结DH.若AB=8，则DH= .
三、综合题(共8题；共78分)
19．已知二次函数 （ 是常数）.
（1）若该函数图象与 轴有两个不同的公共点，求 的取值范围；
（2）求证：不论 为何值，该函数图象的顶点都在函数 的图象上；
（3） ， 是该二次函数图象上的点，当 时，都有 ，则 的取值范围是 .
20．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C
（1）求证：△ABF∽△EAD
（2）若AB=4，S ABCD= ，求AE的长
（3）在（1）、（2）条件下，若AD=3，求BF的长（计算结果可含根号）
21．已知线段a，b，c满足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3.
（1）求线段a，b，c的长.
（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长.
22．如图，已知在中，，垂足为点，点是边的中点．
（1）求边的长；
（2）求的正弦值．
23．已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．
（1）求这个函数的解析式；
（2）画出函数的图象，写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，抛物线 交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分别交x轴、AC于点E、F，点P是射线DE上一动点，过点P作AC的平行线MN交x轴于点H，交抛物线于点M，N（点M位于对称轴的左侧）.设点P的纵坐标为t..
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标.
（2）当点P位于EF的中点时，求点M的坐标.
（3）① 点P在线段DE上运动时，当 时，求t的值.
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上， 、 的长分别是一元二次方程 的两个根 ， ，边 交 轴于点 ，动点 以每秒 个单位长度的速度，从点 出发沿折线段 向点 运动，运动的时间为 秒，设 与矩形 重叠部分的面积为 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求 关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点 的运动过程中，是否存在 ，使 为等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
26．嘉兴某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品.该产品销售量y（万件）与售价x（元/件）之间存在图1（一条线段）所示的变化趋势，总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在图2所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当时可看成抛物线.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）若销售量不超过10万件时，利润为45万元.求此时的售价为多少元/件？
（3）当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？（利润＝销售总额－总成本）
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