广西2022-2023八年级数学下学期期末复习专练18.2.2菱形-【人教版期末真题精选】（含解析）

18.2.2菱形-【人教版期末真题精选】广西2022-2023八年级数学下学期期末复习专练
一、单选题
1．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，在四边形中，，且，则下列说法：①四边形是平行四边形；②；③；④平分；⑤若，则四边形的面积为24．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC=90°时，它是矩形 B．当AB=BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当AC=BD时，它是正方形
3．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）已知边长为的菱形，一条对角线长为，则它的面积为（）
A．96 B．80 C．60 D．48
4．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上任意一点（不与点A，C重合），PE//BC交AB于点E，PF//CD交AD于点F，则阴影部分的面积是（　　）
A．12 B．11 C．10 D．24
5．（2022春·广西玉林·八年级统考期末）如图，菱形花坛的周长为，，沿着菱形的对角线修建两条小路和，则小路的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，若，则的度数为（ ）．
A．110° B．70° C．55° D．35°
7．（2022春·广西贵港·八年级统考期末）菱形的两对角线长分别为6和8，则菱形的一边上的高为（ ）
A．4.8 B．5 C．2.4 D．2.5
8．（2022春·广西钦州·八年级统考期末）1.如图，在菱形ABCD中，，，过点C作，交AD的延长线于点E，则线段CE的长为( )
A． B． C．4 D．
9．（2022春·广西钦州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点O，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·广西百色·八年级统考期末）如图，菱形中，，，，分别是、的中点，连接、、，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022春·广西百色·八年级统考期末）如图，在菱形中，，，若点P是对角线上的一个动点，E为的中点，则的最小值等于______．
12．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）已知菱形ABCD中，对角线AC=4，∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积是__．
13．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图所示，四边形中，于点，，，的面积为12，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点．连接，在点运动过程中，的最小值是______．
14．（2022春·广西来宾·八年级统考期末）如图，在菱形中，对角线，，则的面积为______．
15．（2022春·广西梧州·八年级统考期末）在菱形ABCD中，，，延长AB、CD，作矩形AECF，则矩形的边CE的长度是______．
16．（2022春·广西防城港·八年级统考期末）如图，菱形ABCD的边长为6，对角线AC、BD相交于点O，，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则的最小值为_______．
17．（2022春·广西贵港·八年级统考期末）如图，将两条宽度均为2的纸条相交成角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______．
18．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为___________
三、解答题
19．（2022春·广西百色·八年级统考期末）如图，菱形对角线交于点O，，．
求证：四边形是矩形．
20．（2022春·广西河池·八年级统考期末）已知：如图，在中，M，N分别是AD和BC的中点．
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)当满足什么条件时，四边形AMCN是菱形，请说明理由．
21．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）如图，矩形的对角线相交于点O，F是矩形上方一点，连接交于点E，且E是的中点，连接．求证：四边形是菱形；
22．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC的中点O作垂线EF交边BC，AD分别为点E，F，连接AE，CF．
(1)求证：四边形AECF是菱形：
(2)若四边形AECF是正方形，且点F为AD中点，求的度数．
23．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）阅读理解：德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”，
(1)如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．在图中，若，则______；
(2)宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：）
第一步 在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步 如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步 折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处．
第四步 展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：
①图③中______；（保留根号）
②如图③，判断四边形的形状，并说明理由；
③请直接写出图④中所有的黄金矩形．
实际操作：
④请结合图④，在矩形中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来．
24．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）如图，是矩形的对角线，过的中点O作，交于点E，交于点F，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的周长．
参考答案：
1．D
【分析】由AB∥CD，BC∥AD，可知四边形ABCD是平行四边形，可判断①的正误；由AD＝DC，可知平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可判断②③④⑤的正误．
【详解】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
∵AD＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正确；
∵AC＝6，BD＝8，
∴，故⑤正确；
∴正确的个数有5个．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质，解题的关键在于证明四边形ABCD是菱形．
2．D
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
3．A
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线的长，在根据菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半求得其面积．
【详解】解：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于O，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质及勾股定理的理解及运用．
4．A
【分析】先证四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则△POF的面积等于△AOE的面积．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．
【详解】解：设AP与EF相交于O点．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC//AD，AB//CD．
∵PE//BC，PF//CD，
∴PE//AF，PF//AE．
∴四边形AEPF是平行四边形．
∴S△POF＝S△AOE．
∴阴影部分的面积就是△ABC的面积，
∴△ABC的面积＝菱形的面积＝×（×6×8）＝12，
则阴影部分的面积是12．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解决本题的关键是得出阴影部分的面积就是△ABC的面积．
5．A
【分析】直接利用菱形的性质得出是等边三角形，即可求出．
【详解】解：菱形花坛周长是，，
，是等边三角形，
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定好性质，根据菱形的性质和，证得是等边三角形是解决问题的关键．
6．B
【分析】由菱形的性质可知，结合题意可组成二元一次方程组，解出方程组即可．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴．
∵，
∴解得：．
故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质，二元一次方程组的应用．熟练掌握菱形的性质是解题关键．
7．A
【分析】根据菱形的性质和勾股定理可得AB=5，设菱形ABCD的AB边的高为h，再由，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：AC=6，BD=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=3，OB=4，OA⊥OB，
∴，
设菱形ABCD的AB边的高为h，
∵，
∴，
解得：h=4.8，
即菱形的一边上的高为4.8．
故选：A
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
8．D
【分析】利用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高CE即可．
【详解】
记AC与BD的交点为O
四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6
，OA=OC=4，OD=OB=3，
故选：D
【点睛】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键．
9．C
【分析】由菱形的性质可得AB=AD=CD=6，AB∥CD，由勾股定理可求DO的长，即可求点C坐标．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=CD=6，AB∥CD
∵AB的中点是坐标原点，
∴AO=BO=3，
∴DO= =3 ，
∴点C坐标（6，3）．
故选C．
【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
10．A
【分析】先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF，然后连接AC可推出△ABC以及△ACD为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的定理又可推出△AEF是等边三角形．根据勾股定理可求出AE的长继而求出周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF．
如图，连接AC，
∵∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC与△ACD是等边三角形，
又∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
又∵Rt△ABE中，AE＝==2，
∴△AEF周长是6．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理．解题时注意：菱形的四条边都相等．关键是添加辅助线，构造等边三角形．
11．
【分析】根据轴对称的性质，首先准确找到点P的位置．根据菱形的性质，点A和C关于对称．则连接交于点P，P即为所求作的点．的最小值即为的长．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴点A和C关于对称．则连接交于点P，此时的最小值即为的长．
∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∵E为的中点，
∴，，
∴，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．
12．
【分析】根据菱形的性质可得BA=BC，BD⊥AC，AO=CO=AC=2，BO=DO=BD，然后证明ABC是等边三角形，可得BC=AC，再利用勾股定理求出BO长，进而可得BD长，然后根据菱形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，BD⊥AC，AO=CO=AC=2，BO=DO=BD，
∵∠B=60°，
∴ABC是等边三角形，
∴BC=AC=4，
∵BD⊥AC，
∴∠CBO=30°，
∴BO=，
∴BD=4，
∴菱形ABCD面积为： AC BD=×4×4=8，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
13．7.8
【分析】证四边形ABCD是菱形，得CD=AD=5，连接PD，由三角形面积关系求出PM+PN=4.8，得当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，则当BP⊥AC时，PB最短，即可得出答案．
【详解】解：∵AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵△ABD的面积为12，
∴BD AO=12，
∴AO=CO=4，
∴AD=5，
∴CD=AD=5，
连接PD，如图所示：
∵，
∴AD PM+DC PN=AC OD，
即×5×PM+×5×PN=×8×3，
∴5（PM+PN）=8×3，
∴PM+PN=4.8，
∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，
由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，
∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值=4.8+3=7.8，
故答案为：7.8．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
14．10
【分析】根据菱形的性质可得OA=4，OD=5，AC⊥BD，即可求解．
【详解】解：在菱形中，对角线，，
∴OA=4，OD=5，AC⊥BD，
∴的面积为．
故答案为：10
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．
15．
【分析】由菱形的性质与矩形性质，可得，根据含30度角的直角三角形的性质求得，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵菱形ABCD中，，四边形是矩形，
∴，，
，
，，
，
中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
16．
【分析】连接DE，与AC相交于点P，连接BP，则，此时有最小值，然后由菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求出，，再由勾股定理，即可求出答案．
【详解】解：连接DE，与AC相交于点P，连接BP，如图：
则，此时有最小值；
∵菱形ABCD中，，
∴AD=BD，，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵，，
∴；
故答案为：；
【点睛】本题考查了菱形的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确得到△ABD是等边三角形．
17．8
【分析】先根据AB∥CD得到∠ABC=30°，再根据纸条宽度为2得到AB的长，同理得到AD的长，再证明四边形ABCD是菱形，就可以求出四边形ABCD的面积；
【详解】∵AB∥CD，
∴∠ABC=30°，
又∵两条纸条的宽度均为2，
∴AB=4，
同理可得AD=4，
又∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=AD=4，
∴四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD=4×2=8，
故答案为8．
【点睛】本题考查菱形的性质与面积，熟练掌握菱形的性质和面积公式是解决本题的关键．
18．4
【分析】由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO=3，AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，求出2AO BO=4，即可得出答案．
【详解】解：如图四边形ABCD是菱形，AC+BD=6，
∴AB=，AC⊥BD，AO=AC，BO=BD，
∴AO+BO=3，
∴AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，
即AO2+BO2=5，AO2+2AO BO+BO2=9，
∴2AO BO=4，
∴菱形的面积=AC BD=2AO BO=4；
故答案为4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理；解题的关键是记住菱形的面积公式，掌握菱形的对角线互相垂直．
19．证明见解析．
【分析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论．
【详解】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)当∠ACD＝90°时，四边形AMCN是菱形，理由见解析
【分析】（1）由已知可得AM=CN 且AM∥CN，从而可以得到四边形AMCN是平行四边形；
（2）由已知可以得到CM=AM，从而得到四边形AMCN是菱形．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD＝BC ，
∵M、N分别是AD和BC的中点，
∴，，
∴AM＝CN，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）
当∠ACD＝90°时，四边形AMCN是菱形，
理由：∵∠ACD＝90°，M是AD的中点，
∴，
由（1）知四边形AMCN是平行四边形，
∴是菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的综合应用，熟练掌握平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质及菱形的判定是解题关键．
21．见解析
【分析】先证明△DEF≌△OEC，可得DF＝OC，然后根据矩形的性质可得OA＝OD，DF＝OA，然后根据，可得四边形AODF是平行四边形，即可求证．
【详解】解：∵，
∴∠DFC＝∠OCF，∠EDF＝∠EOC
∵点E是CF的中点，
∴FE＝CE，
在△DEF和△OEC中，
，
∴△DEF≌△OEC（AAS），
∴DF＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OD，DF＝OA，
∵，
∴四边形AODF是平行四边形，
又∵OA＝OD，
∴平行四边形AODF是菱形．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)45°
【分析】（1）先证明四边形AECF为平行四边形，在根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行证明即可；
（2）若四边形AECF是正方形，则CF=AF=DF，易知△CFD为等腰直角三角形，即可求出的度数．
（1）
证明：∵O为AC中点，，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
在和中
，，，
∴
∴，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵，，
∴四边形AECF是菱形
（2）
∵四边形AECF是正方形，F为AD的中点
∴，，
∴
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定及正方形的性质等，熟练地掌握相关内容是解题的关键．
23．(1)
(2)①；②菱形，理由见解析；③矩形BCDE、矩形MNDE；④见解析
【分析】（1）根据黄金分割点的定义可求出AC的长度；
（2）①用勾股定理可算得答案；
②根据菱形的判定可得答案；
③根据黄金矩形的定义，观察图形，数形结合可得答案；
④观察图形，在矩形BCDE中添加一条线段GH，使四边形GCDH是正方形，可得四边形BGHE为黄金矩形．
（1）
解：根据定义可知，为线段的黄金分割点，则
，
解得
故答案为：
（2）
①如图3：
根据题意可得
∴，
故答案为：，
②四边形BADQ是菱形
理由如下：
∵四边形ACBF是矩形，
∴BQAD，
∴∠BQA=∠QAD．
由折叠得：∠BAQ=∠QAD，AB=AD，
∴∠BQA=∠BAQ，
∴BQ=AD，
∵BQAD，
∴四边形BADQ是平行四边形．
∵AB=AD，
∴四边形BADQ是菱形．
③图④中的黄金矩形有矩形BCDE、矩形MNDE，
∵BC=2，
∴矩形BCDE是黄金矩形．
∴矩形MNDE是黄金矩形；
④如图，在矩形BCDE上添加线段GH，使四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所要作的黄金矩形．
∵CD=GH=DH=，DE=MN=2，
∴四边形BGHE为黄金矩形．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及新定义黄金矩形、菱形的判定、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是掌握勾股定理二次根式的计算．
24．(1)见解析
(2)24
【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；
（2）由四边形ABCD是矩形，则∠D，根据DF求出CF即可解答．
（1）
证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，
∵，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵DF=3，∠DCF=30°，
∴CF=6，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE=EC=CF=FA，
∴四边形AECF的周长为24．
【点睛】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及含30度角的直角三角形的性质等知识．注意证得△AOF≌△COE是关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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