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兆麟高级中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学学科试题
考试用时：120分钟 总 分：150 分
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知i是虚数单位，i+z＝2i-2，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，
C＝120°，则△ABC的面积为（ ）
A. B. C. D.2
3. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ）
A.8 B. C. D.
4.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10°
5．已知非零向量，满足，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6.已知直线l 平面,直线m 平面 ,则下面命题正确的为( )
A.l∥m ∥ B.l∥m 与 相交
C.lm = P ∥ D.lm = P 与相交
7.已知z＝，则＝（ ）
A.1 B.2 C.4 D.16
8．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H分别为所在棱的中点， 则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（ ）
A B C D
二、多选题（每小题5分，共20分，少选漏选得2分，错选得0分）
9.设，则（ ）
A. 的虚部是 B. C. D.
10.在中，内角，，的对边分别是，，，下列结论正确的是（ ）
A.若，则为等腰三角形
B.若为锐角三角形，且，则
C.若，，，则符合条件的有两个
D.若则
11．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数
C．的模长等于 D．的共轭复数为
12.已知三棱锥中，，是边长为的正三角形，E,F分别是PA、CB的中点，则以下说法正确的是（ ）
A.此三棱锥为正三棱锥 B. 在此三棱锥表面从E到F的最短距离为
C.此三棱锥的体积是 D.此三棱雉的表面积与它的外接球的表面积的比值为
三、填空题（每小题5分，共20分）
13.若复数与其共轭复数在坐标原点为的复平面内所对应的点分别为，，则的面积为______.
14．已知向量 ， ，则向量在向量上的投影向量为____________．
15. 体积为8的正方体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为_____________.
16. 已知向量（2，2），（，），则向量的模的最大值是__________．
四、解答题（共70分）
17．（10分）（Ⅰ）在复数范围内解方程：；
（Ⅱ）若为（Ⅰ）中方程的一个解，,求实数a,b的值。
18．（12分）在中，内角，，的对边分别是，，，且，的面积是，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，回答下列问题：
（Ⅰ）求角；（Ⅱ）求.
条件① 条件②
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（12分）如图所示，正三棱柱，，分别为，的中点。
（I）证明：平面；
（II）求三棱锥的体积。
20．（12分）如图，在中，点D为边的中点，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求的值．
21．（12分）如图，在棱长为的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是被DD1，AB的中点．
（Ⅰ）若平面PQC与直线AA1交于R点，求的值；
（Ⅱ）若M为棱CC1上一点且CM＝CC1，若BM∥平面PQC，
求的值．
22．（12分）已知点是锐角的外心，分别为角的对边，，
（I）求角；
（II）若，求面积的最大值；
（III）若，求x的取值范围。
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