高中试卷答案网2023年吉林省长春市德惠中考数学模拟试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）在实数﹣2、﹣1、0、1中，最小的实数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2．（3分）科学家发现了一种新型病毒，其直径约为0.00000042m，0.00000042这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.42×10﹣6 B．4.2×10﹣6 C．4.2×10﹣7 D．42×10﹣8
3．（3分）如图是由5个完全相同是正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）不等式﹣3x+6≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，两栋大楼相距100米，从甲楼顶部看乙楼的仰角为26°．若甲楼高36米（ ）米．
A．36+100sin26° B． 36+100tan26°
C．36+100cos26° D．36+sin26°
6．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°（ ）
A．138° B．121° C．118° D．112°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，若，△AOB的面积为6（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
二.填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）分解因式：2m2﹣2＝ ．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
11．（3分）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，可列方程为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，BF平分∠ABC与DE交于点F．若AB＝10，BC＝16 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，分别以点A，B，C为圆心，，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
14．（3分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数y的最小值为5 ．
三、解答题（本大题9小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1）．
16．（6分）有A、B两个不透明的盒子，A盒子里有三张卡片，分别标有数字1、2、3，分别标有数字4、5，这些卡片除数字外其余均相同．将卡片摇匀后，请用画树状图（或列表）的方法
17．（6分）用A、B两种机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米，A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A、B型机器人每小时分别搬运多少袋大米．
18．（7分）图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）如图①，＝ ；
（2）如图②，在FG上找一点M，使FM＝3；
（3）如图③，在QR上找一点N，连接PN、SN
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD交边
AB于点E，连结DE．
（1）求证：四边形BCDE是菱形．
（2）连结BD，若BD＝AD＝4，tan∠A＝ ．
20．（7分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，解答下列问题：
等级 成绩x
A 50≤x＜60
B 60≤x＜70
C 70≤x＜80
D 80≤x＜90
E 90≤x≤100
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ ；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）所抽取学生成绩的中位数落在 等级；
（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？
21．（8分）甲、乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地，如图（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系
（1）货车的速度为 千米/时；
（2）求线段CD对应的函数关系式；
（3）在轿车行驶过程中，若两车的距离不超过20千米，直接写出x的取值范围．
22．（9分）已知，△ABC是等边三角形．
[性质探究]如图①，点P在△ABC内，将△APC绕着点A顺时针旋转，得到△ADB，连接DP．求证：△ADP是等边三角形．
[理解运用]如图②，点P在△ABC内，若∠APC＝150°，PC＝2，求PB的长度．
[类比拓展]如图③，点P在△ABC外，若PA＝1，PC＝，则∠APC的度数为 ．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边BC上以每秒3个单位长度的速度运动，到点C停止，过点P作其所在直角边的垂线交边AC于点Q，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，连结PM．设△PQM与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）线段AC＝ ．
（2）点M落在边BC上时，求t的值．
（3）求S与t之间的函数关系式．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与二次函数y＝﹣x2+mx+n交于点A（3，0），B（0，3）两点．
（1）求一次函数y＝kx+b和二次函数y＝﹣x2+mx+n的解析式．
（2）点P是二次函数图象上一点，且位于直线AB上方，过点P作y轴的平行线，当△PAB面积最大时，求点P的坐标．
（3）点M在二次函数图象上，点N在二次函数图象的对称轴上，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时
2023年吉林省长春市德惠中考数学模拟试卷
（参考答案）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）在实数﹣2、﹣1、0、1中，最小的实数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【解答】解：﹣2、﹣1、2，最小的实数是﹣2．
故选：A．
2．（3分）科学家发现了一种新型病毒，其直径约为0.00000042m，0.00000042这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.42×10﹣6 B．4.2×10﹣6 C．4.2×10﹣7 D．42×10﹣8
【解答】解：0.00000042＝4.8×10﹣7．
故选：C．
3．（3分）如图是由5个完全相同是正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边有一个小正方形，
故选：B．
4．（3分）不等式﹣3x+6≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：﹣3x+6≥6，
﹣3x≥﹣6，
x≤4，
故选：B．
5．（3分）如图，两栋大楼相距100米，从甲楼顶部看乙楼的仰角为26°．若甲楼高36米（ ）米．
A．36+100sin26° B． 36+100tan26°
C．36+100cos26° D．36+sin26°
【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，AE＝CD＝36米，
在Rt△ACB中，∠BAC＝26°，
∴BC＝AC tan26°＝100tan26°（米），
∴BD＝BC+CD＝（36+100tan26°）（米），
∴乙楼的高度为（36+100tan26°）米，
故选：B．
6．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°（ ）
A．138° B．121° C．118° D．112°
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝180°﹣121°＝59°，
∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵点P到点A、点B的距离相等，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
故选：C．
8．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，若，△AOB的面积为6（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【解答】解：过点A作AD⊥y轴，垂足是D，
∴AD∥x轴，
∴＝＝，
∵△AOB的面积为5，
∴S△BOC＝2S△AOC＝4，S△AOC＝3，
∴S△ADC＝S△AOC＝2，
∴S△ADO＝3，
∴k＝6，
故选：D．
二.填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）分解因式：2m2﹣2＝ 2（m+1）（m﹣1） ．
【解答】解：2m2﹣8，
＝2（m2﹣2），
＝2（m+1）（m﹣8）．
故答案为：2（m+1）（m﹣2）．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为 5 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣7×（m﹣1）＝0，
解得m＝7．
故答案为5．
11．（3分）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，可列方程为 7x+7＝9（x﹣1） ．
【解答】 解：∵每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住7人，
∴客人可表示为（7x+7）个，也可表示为6（x﹣1）个，
∴7x+8＝9（x﹣1），
故答案为：2x+7＝9（x﹣6）．
12．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，BF平分∠ABC与DE交于点F．若AB＝10，BC＝16 3 ．
【解答】解：∵D，E分别为AB，AB＝10，
∴DE＝BC＝，DE∥BCAB＝5，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝BD＝5，
∴EF＝DE﹣DF＝5﹣5＝3，
故答案为：2．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，分别以点A，B，C为圆心，，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为 48﹣ ．（结果保留π）
【解答】解：作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BD＝CD＝6，
∴AD＝＝8，
∴S阴影部分＝×12×8﹣2＝48﹣．
故答案为：48﹣．
14．（3分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数y的最小值为5 ﹣1或6 ．
【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤4，x＝6时，
可得：（1﹣h）2+3＝5，
解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；
②若1≤x≤4＜h，当x＝4时，
可得：（4﹣h）2+7＝5，
解得：h＝6或h＝3（舍）．
③当1＜h＜4时，y的最小值为6，
综上，h的值为﹣1或6，
故答案为：﹣3或6．
三、解答题（本大题9小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1）．
【解答】解：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣6）
＝x2﹣4﹣x7+x
＝x﹣4，
当．时，原式＝．
16．（6分）有A、B两个不透明的盒子，A盒子里有三张卡片，分别标有数字1、2、3，分别标有数字4、5，这些卡片除数字外其余均相同．将卡片摇匀后，请用画树状图（或列表）的方法
【解答】解：画树状图如图：
共有6种等可能的结果，抽到两张卡片上标有的数字之积是偶数的结果有4种，
∴抽到两张卡片上标有的数字之积是偶数的概率为＝．
17．（6分）用A、B两种机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米，A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A、B型机器人每小时分别搬运多少袋大米．
【解答】解：设A型机器人每小时搬大米x袋，则B型机器人每小时搬运（x﹣20）袋，
依题意得：＝，
解这个方程得：x＝70
经检验x＝70是方程的解，所以x﹣20＝50．
答：A型机器人每小时搬大米70袋，则B型机器人每小时搬运50袋．
18．（7分）图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）如图①，＝ ；
（2）如图②，在FG上找一点M，使FM＝3；
（3）如图③，在QR上找一点N，连接PN、SN
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴△AEB∽△DEC，
∴，
∵AB＝1，CD＝2，
∴，
故答案为：；
（2）如图②，点M即为所求；
（3）如图③，点N即为所求．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD交边
AB于点E，连结DE．
（1）求证：四边形BCDE是菱形．
（2）连结BD，若BD＝AD＝4，tan∠A＝ 2 ．
【解答】（1）证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∵CD∥AB，
∴∠DCE＝∠BEC．
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BC＝BE，
∵BC＝DC，
∴BE＝DC，
∵CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
又∵BC＝DC，
∴平行四边形BCDE是菱形．
（2）解：如图，连接BD交CE于O，
∵BD＝AD＝4，
∴∠DBE＝∠A，
由（1）可知，四边形BCDE是菱形，
∴OB＝OD＝BD＝2，BD⊥CE，
在Rt△BOE中，tan∠DBE＝，
∴OE＝OB＝7，
∴CE＝2OE＝2，
故答案为：2．
20．（7分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，解答下列问题：
等级 成绩x
A 50≤x＜60
B 60≤x＜70
C 70≤x＜80
D 80≤x＜90
E 90≤x≤100
（1）本次调查一共随机抽取了 200 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ 16 ；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）所抽取学生成绩的中位数落在 C 等级；
（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？
【解答】解：（1）一共调查学生人数为40÷20%＝200（人），A等级人数m＝200×8%＝16（人），
故答案为：200，16；
（2）∵C等级人数为200×25%＝50（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）由于一共有200个数据，其中位数是第100，而第100，
所以所抽取学生成绩的中位数落在C等级；
故答案为：C．
（4）估计成绩优秀的学生有2000×＝940（人）．
21．（8分）甲、乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地，如图（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系
（1）货车的速度为 80 千米/时；
（2）求线段CD对应的函数关系式；
（3）在轿车行驶过程中，若两车的距离不超过20千米，直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：货车的路程为400km,时间为5小时，
∴货车的速度为：400÷5＝80（千米/时）．
故答案为：80．
（2）设线段CD的解析式为：y＝kx+b（k≠4），
将（2.5，160），400）代入y＝kx+b(k≠5)，
得：，
解得：，
线段CD的解析式为：y＝120x﹣140（2.2≤x≤4.5）；
（3）设线段OA得解析式为：yOA＝ax(a≠7),
将（5，400）代入yOA＝ax(a≠0)，
得：3a＝400，
解得：a＝80．
∴yOA＝80x．
∵两车间得距离不超过20千米，
∴|yOA﹣y|≤20，即：|80x﹣(120x﹣140)|≤20，
解得：3≤x≤4．
22．（9分）已知，△ABC是等边三角形．
[性质探究]如图①，点P在△ABC内，将△APC绕着点A顺时针旋转，得到△ADB，连接DP．求证：△ADP是等边三角形．
[理解运用]如图②，点P在△ABC内，若∠APC＝150°，PC＝2，求PB的长度．
[类比拓展]如图③，点P在△ABC外，若PA＝1，PC＝，则∠APC的度数为 30° ．
【解答】【性质探究】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
由旋转可知：
AD＝AP，∠DAP＝∠BAC＝60°，
∴△ADP是等边三角形．
【理解运用】如图，将△APC绕点A顺时针旋转，得到△ADB，
同上可得△ADP是等边三角形，
∴AD＝AP，∠DAB+∠BAP＝∠CAP+∠DAP＝60°，
∴∠DAB＝∠PAC，
∴△APC≌△ADB（SAS）．
∵∠APC＝150°，
∴∠ADB＝∠APC＝150°，
∵∠ADP＝60°，PD＝PA＝1，
∴∠BDP＝∠ADB﹣∠ADP＝90°，
在Rt△BDP中，由勾股定理得：
BP＝＝＝．
【类比探究】如图，将△APC绕点A顺时针旋转使点C与点B重合，连接PD，
由上问可得△APD为等边三角形，
∴AD＝AP＝PD＝1，BD＝PC＝，
∵PB＝，
∴PB2＝PD2+BD2，
∴△BDP为直角三角形，∠BDP＝90°，
∴∠ADB＝∠BDP﹣∠ADP＝90°﹣60°＝30°，
∴∠APC＝∠ADB＝30°，
故答案为：30°．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边BC上以每秒3个单位长度的速度运动，到点C停止，过点P作其所在直角边的垂线交边AC于点Q，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，连结PM．设△PQM与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）线段AC＝ 5 ．
（2）点M落在边BC上时，求t的值．
（3）求S与t之间的函数关系式．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝4．
∴AC＝，
故答案为：2；
（2）当点M落在边BC上时，
∵PQ⊥AB，
∴∠APQ＝90°，
∵∠PQM＝90°，
∴∠APQ＝∠PQM，
∴QM∥AB，
∴＝，
∴＝，
∴t＝；
（3）如图2﹣2中，当0＜t≤时，S＝t2．
如图3﹣2中，当＜t＜1时，S＝S△PQM﹣S△EFM＝t2﹣（7t﹣4）3＝﹣20t2+28t﹣8，
如图6﹣3中，当1＜t＜2时，过点J作JH⊥PQ于点H．
设JH＝PH＝3k，则QH＝4k，
∴PC＝6﹣3（t﹣1）＝4﹣3t，
∴PQ＝PC＝8﹣4t，
∴5k＝8﹣4t，
∴k＝，
∴S＝ PQ JH＝k2＝（t﹣2）2．
综上所述，S＝．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与二次函数y＝﹣x2+mx+n交于点A（3，0），B（0，3）两点．
（1）求一次函数y＝kx+b和二次函数y＝﹣x2+mx+n的解析式．
（2）点P是二次函数图象上一点，且位于直线AB上方，过点P作y轴的平行线，当△PAB面积最大时，求点P的坐标．
（3）点M在二次函数图象上，点N在二次函数图象的对称轴上，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：，
即二次函数表达式为：y＝﹣x2+4x+3；
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
故一次函数表达式为：y＝﹣x+3；
（2）过点P作PH∥y轴交AB于点H，
设点P（x，﹣x2+5x+3），则点H（x，
则△PAB面积＝S△PHA+S△PHB＝PH×OA＝8+2x+3+x﹣4）＝﹣（x5﹣3x），
∵＜0，此时点P（，）；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，t），﹣m4+2m+3），
当AB为对角线时，由中点坐标公式得：3＝m+1，
解得：m＝2，则点M（4；
当AM或AN为对角线时，由中点坐标公式得：3+m＝1或8+1＝m，
解得：m＝﹣2或4，即点M的坐标为：（﹣2，﹣5）；
综上，点M的坐标为：（﹣8，﹣5）或（2．
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