高中试卷答案网上海市普陀区2023届高三数学二模试卷
一、填空题
1．设全集，若集合，则 ．
2．函数的最小正周期为 ．
3．现有一组数1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，则该组数的第25百分位数为 ．
4．设（i为虚数单位）是关于x的方程的根，则 ．
5．函数的定义域为 ．
6．若且，则 ．
7．现有一个底面半径为、高为的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为 （损耗忽略不计）．
8．设的三边a，b，c满足，且，则此三角形最长的边长为 ．
9．“民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量y（单位）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：
气温x 18 13 10
用电量y 24 34 38 64
若上表中的数据可用回归方程来预测，则当气温为时该小区相应的用电量约为 ．
10．设为双曲线：左、右焦点，且的离心率为，若点M在的右支上，直线与的左支相交于点N，且，则 ．
11．设且，若在平面直角坐标系xOy中，函数与的图像于直线l对称，则l与这两个函数图象的公共点的坐标为 ．
12．设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ．
二、单选题
13．设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（ ）
A． B． C． D．
14．设a，b表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：
（1）若且，则
（2）若且，则
（3）若且，则
（4）若且，则
其中不正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．设P为曲线C：上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集和，给出如下结论：
①任意，中总有2个元素；②存在，使得．
其中正确的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立
C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立
16．设，若在区间上存在a，b且，使得，则下列所给的值中只可能是（ ）
A． B． C．2 D．
三、解答题
17．如图，在直三棱柱中，，，．
（1）求证：；
（2）设与底面ABC所成角的大小为，求三梭雉的体积．
18．已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为．
（1）设且，求x的取值范围；
（2）设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．
19．现有3个盒子，其中第一个盒子中装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．
（1）求取到的白球数不少于2个的概率；
（2）设X为所取到的白球数，求取到的白球数的期望．
20．在xOy平面上．设椭圆：，梯形的四个项点均在上，且．设直线的方程为
（1）若为的长轴，梯形的高为，且在上的射影为的焦点，求的值；
（2）设，直线经过点，求的取值范围；
（3）设，，与的延长线相交于点，当变化时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21．已知，设函数的表达式为（其中）
（1）设，，当时，求x的取值范围；
（2）设，，集合，记，若在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s，t，均有成立，求c的取值范围；
（3）当，，时，记，其中n为正整数．求证：．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】由题设或，又，
所以.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合补集的运算法则得出集合A在全集U中的补集。
2．【答案】π
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】 因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式得出余弦型函数，再结合余弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期。
3．【答案】2
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】由题设，数据集（从小到大排列）中共有10个数据，则，
所以该组数的第25百分位数为第三个数.
故答案为：2
【分析】利用已知条件结合百分位数求解方法得出该组数的第25百分位数。
4．【答案】9
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】由题设，即，
所以.
故答案为：9
【分析】利用已知条件结合一元二次方程求根的方法，再利用代入法和复数的乘法运算法则和复数相等的判断方法，进而得出实数m的值。
5．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】，
，或
所以定义域为：.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法，从而得出函数的定义域。
6．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为且，所以，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合角的取值范围和同角三角函数基本关系式，从而得出角的正切值，再利用两角差的正切公式得出的值。
7．【答案】36
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设球的半径为，
则，解得，
所以该工件的表面积为.
故答案为：36.
【分析】利用已知条件结合圆柱的体积公式和球的体积公式，进而得出球的半径长，再结合球的表面积公式得出该工件的表面积。
8．【答案】14
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由，得出边最长，
不妨设，
则，
又，所以，
则，解得，
所以三角形最长的边长为.
故答案为：14.
【分析】由，得出边最长，不妨设，再利用余弦定理和三角形中角A的取值范围以及同角三角函数基本关系式得出角A的正弦值，再结合三角形的面积公式和已知条件得出x的值，从而得出a的值，进而得出三角形最长的边长。
9．【答案】68
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】，
则，解得，
所以，
当时，，
即当气温为时该小区相应的用电量约为．
故答案为：68.
【分析】利用已知条件结合平均数公式和回归直线方程恒过中心点的性质，进而得出b的值，从而得出线性回归方程，再结合代入法得出当气温为时该小区相应的用电量。
10．【答案】3
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由的离心率为，
得，解得，
由点M在的右支上，得，
又因，
所以，即.
故答案为：3.
【分析】利用已知条件结合双曲线的离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出a的值，再利用点M在的右支上结合双曲线的定义和，进而得出的值。
11．【答案】
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】，
因为函数与的底数互为倒数，
而底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称，
函数与的图像于直线l对称，
所以函数与的图像于轴对称，
即直线l为轴，
所以，所以，
则两个函数分别为，，
令，得，解得，此时，
所以l与这两个函数图象的公共点的坐标为.
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则和函数与的底数互为倒数，而底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称，再利用函数与的图像于直线l对称，所以函数与的图像于轴对称，所以直线l为轴，进而结合函数的图象的对称性得出实数a的值，进而得出两个函数，令，再结合指数式与对数式的互化公式得出x的值，从而结合代入法得出此时的y的值，进而得出直线l与这两个函数图象的公共点的坐标。
12．【答案】
【知识点】三点共线；点到直线的距离公式
【解析】【解答】由，又向量与互相平行，
所以，故，
令，，则，
所以，将按向量平移至，
所以是直线上的动点，如下图示，
所以，故，
由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，
故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1.
故答案为：
【分析】由，再利用向量与互相平行结合向量共线的坐标表示得出的值，再结合向量的坐标表示和向量的坐标运算，所以，将按向量平移至，所以是直线上的动点，所以，故，由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，故最小值为原点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式得出 的最小值。
13．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由，则，可得，可推出，反向推不出，满足；
由，则，推不出，反向可推出，不满足；
由，则或或，推不出，反向可推出，不满足；
由，则，推不出，反向可推出，不满足；
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而找出 “”的一个充分不必要条件 。
14．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】若且，则或，故命题错误；
若且，则或为异面直线，故命题错误；
若且，则或，故命题错误；
若且，则或相交或异面，故命题错误.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线面平行的判定定理，进而找出不正确的结论的个数。
15．【答案】B
【知识点】轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】曲线C：的焦点，
则，
由得，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
的圆心，
当点在原点处时，，此时，
此时点的轨迹方程为，
因为，所以点在圆外，
则存在，使得两圆相离，即，
故①错误，②正确.
故答案为：B.
【分析】利用曲线C：得出焦点F的坐标，再利用已知条件和抛物线的定义，则，由结合圆的定义得出点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，再利用圆的标准方程得出的圆心N的坐标，当点在原点处时，，进而得出此时，从而得出此时点的轨迹方程为，再利用点与圆的位置关系判断方法，从而判断出点在圆外，则存在，使得两圆相离，即，从而找出正确的选项。
16．【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由题意知：且，则，，
又且，则，即，，
所以且，
(或n为其它大于1的整数)不满足；时；时，
所以满足要求，其它不符合.
故答案为：D
【分析】由题意知：且，再利用三角函数的定义和且，则，，所以且，再利用分类讨论的方法得出的取值范围，进而找出可能的取值。
17．【答案】（1）证明：，，，
，
，
又直三棱柱中，平面，
平面，，
又，平面，
平面，
平面，.
（2）解：平面，
在平面上的射影为，即为与底面ABC所成角，
，，
.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用 ，，结合勾股定理得出，在直三棱柱中，平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出成立。
（2）利用 平面，所以在平面上的射影为，即为与底面ABC所成角，进而得出的值，再利用正切函数的定义得出的长，再结合三棱锥的体积公式和等体积法得出三棱雉的体积。
18．【答案】（1）解：由题设，又且都不为1的正实数，
所以，而，故.
（2）解：由，，
而数列前100项中有，其中属于数列有，
所以数列前100项是的前103项去掉三个元素，
则.
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；数列的求和
【解析】【分析】(1) 由题设，再利用且都不为1的正实数，所以，再结合和指数函数的单调性，进而得出实数x的取值范围。
（2） 利用已知条件结合对数的运算法则得出数列和数列的通项公式，再结合数列前100项中有，其中属于数列有，所以数列前100项是的前103项去掉三个元素，再结合等差数列前n项和公式得出 的值。
19．【答案】（1）解：设取到的白球数为X，则X的可能值为：0，1，2，3.
取到2个白球的概率，则
取到3个白球的概率，，
则取到的白球数不少于2个的概率：.
（2）解：，
，
，
，
所以取到的白球数的期望：
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用已知条件得出随机变量X的可能的取值，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出取到的白球数不少于2个的概率。
（2）利用已知条件结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出取到的白球数的期望。
20．【答案】（1）解：因为梯形为的长轴，的高为，
所以点的纵坐标为，代入椭圆方程得，
可得，又因为在上的射影为的焦点，
，解得，
，.
（2）解：由题意，椭圆：，直线的方程为，
设，则，
化简得，
，得，
，
，
，所以
所以的取值范围为
（3）解：设直线的方程为，，
，联立，
化简得，
，
，
，
联立，化简得
，
，
，所以，
化简得，即.
又的高为，
所以
将代入化简得，.
故的面积为定值.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用梯形为的长轴，的高为，所以点的纵坐标为，代入椭圆方程得出点C的横坐标，再利用点在上的射影为的焦点结合椭圆中a，b，c三者的关系式和已知条件以及m的取值范围，从而得出m的值。
（2） 由题意，椭圆：，直线的方程为，设，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法得出k的取值范围，再结合韦达定理得出，再利用数量积的坐标表示和韦达定理以及k的取值范围和不等式的基本性质，进而得出的取值范围。
（3） 设直线的方程为，，，联立结合判别式法和韦达定理得出和
，再利用弦长公式得出，联立结合韦达定理得出，再利用弦长公式得出，再结合，进而得出，再利用点到直线的距离公式得出三角形的高为，再结合三角形的面积公式得出，将代入化简得出三角形的面积为定值。
21．【答案】（1）解：由题设，则，即，故，
又，则，所以.
（2）解：由题设，要使D上的任意两个变量s，t均有成立，
所以在上成立，
又在D上为严格增函数，即，
同时在上恒成立，
由解析式知：在上递减，只需，故，
由且，，即在上递减，
所以，故，可得.
综上，；
（3）证明：由题设，则且，，故，
所以，
而，
，
所以，
又，且，当且仅当时等号成立，
所以，同理，.......，且均在时等号成立，
所以，
综上，，即成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式在最值问题中的应用；二项式定理
【解析】【分析】 （1）由题设得出函数的解析式，则，故，再利用，则，从而解一元二次不等式得出x的取值范围。
（2） 由题设，要使D上的任意两个变量s，t均有成立，所以在上成立，再利用函数的单调性得出函数的最值，即，同时在上恒成立，由解析式知：在上递减，只需，进而得出实数c的取值范围，由且，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数c的取值范围，再利用交集的运算法则得出实数c的取值范围。
（3） 由题设，则且，，故，所以，再利用二项式定理得出，再利用均值不等式求最值的方法和，所以，同理，.......，且均在时等号成立，所以，从而证出成立。
上海市普陀区2023届高三数学二模试卷
一、填空题
1．设全集，若集合，则 ．
【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】由题设或，又，
所以.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合补集的运算法则得出集合A在全集U中的补集。
2．函数的最小正周期为 ．
【答案】π
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】 因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式得出余弦型函数，再结合余弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期。
3．现有一组数1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，则该组数的第25百分位数为 ．
【答案】2
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】由题设，数据集（从小到大排列）中共有10个数据，则，
所以该组数的第25百分位数为第三个数.
故答案为：2
【分析】利用已知条件结合百分位数求解方法得出该组数的第25百分位数。
4．设（i为虚数单位）是关于x的方程的根，则 ．
【答案】9
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】由题设，即，
所以.
故答案为：9
【分析】利用已知条件结合一元二次方程求根的方法，再利用代入法和复数的乘法运算法则和复数相等的判断方法，进而得出实数m的值。
5．函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】，
，或
所以定义域为：.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法，从而得出函数的定义域。
6．若且，则 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为且，所以，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合角的取值范围和同角三角函数基本关系式，从而得出角的正切值，再利用两角差的正切公式得出的值。
7．现有一个底面半径为、高为的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为 （损耗忽略不计）．
【答案】36
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设球的半径为，
则，解得，
所以该工件的表面积为.
故答案为：36.
【分析】利用已知条件结合圆柱的体积公式和球的体积公式，进而得出球的半径长，再结合球的表面积公式得出该工件的表面积。
8．设的三边a，b，c满足，且，则此三角形最长的边长为 ．
【答案】14
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由，得出边最长，
不妨设，
则，
又，所以，
则，解得，
所以三角形最长的边长为.
故答案为：14.
【分析】由，得出边最长，不妨设，再利用余弦定理和三角形中角A的取值范围以及同角三角函数基本关系式得出角A的正弦值，再结合三角形的面积公式和已知条件得出x的值，从而得出a的值，进而得出三角形最长的边长。
9．“民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量y（单位）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：
气温x 18 13 10
用电量y 24 34 38 64
若上表中的数据可用回归方程来预测，则当气温为时该小区相应的用电量约为 ．
【答案】68
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】，
则，解得，
所以，
当时，，
即当气温为时该小区相应的用电量约为．
故答案为：68.
【分析】利用已知条件结合平均数公式和回归直线方程恒过中心点的性质，进而得出b的值，从而得出线性回归方程，再结合代入法得出当气温为时该小区相应的用电量。
10．设为双曲线：左、右焦点，且的离心率为，若点M在的右支上，直线与的左支相交于点N，且，则 ．
【答案】3
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由的离心率为，
得，解得，
由点M在的右支上，得，
又因，
所以，即.
故答案为：3.
【分析】利用已知条件结合双曲线的离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出a的值，再利用点M在的右支上结合双曲线的定义和，进而得出的值。
11．设且，若在平面直角坐标系xOy中，函数与的图像于直线l对称，则l与这两个函数图象的公共点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】，
因为函数与的底数互为倒数，
而底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称，
函数与的图像于直线l对称，
所以函数与的图像于轴对称，
即直线l为轴，
所以，所以，
则两个函数分别为，，
令，得，解得，此时，
所以l与这两个函数图象的公共点的坐标为.
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则和函数与的底数互为倒数，而底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称，再利用函数与的图像于直线l对称，所以函数与的图像于轴对称，所以直线l为轴，进而结合函数的图象的对称性得出实数a的值，进而得出两个函数，令，再结合指数式与对数式的互化公式得出x的值，从而结合代入法得出此时的y的值，进而得出直线l与这两个函数图象的公共点的坐标。
12．设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三点共线；点到直线的距离公式
【解析】【解答】由，又向量与互相平行，
所以，故，
令，，则，
所以，将按向量平移至，
所以是直线上的动点，如下图示，
所以，故，
由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，
故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1.
故答案为：
【分析】由，再利用向量与互相平行结合向量共线的坐标表示得出的值，再结合向量的坐标表示和向量的坐标运算，所以，将按向量平移至，所以是直线上的动点，所以，故，由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，故最小值为原点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式得出 的最小值。
二、单选题
13．设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由，则，可得，可推出，反向推不出，满足；
由，则，推不出，反向可推出，不满足；
由，则或或，推不出，反向可推出，不满足；
由，则，推不出，反向可推出，不满足；
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而找出 “”的一个充分不必要条件 。
14．设a，b表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：
（1）若且，则
（2）若且，则
（3）若且，则
（4）若且，则
其中不正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】若且，则或，故命题错误；
若且，则或为异面直线，故命题错误；
若且，则或，故命题错误；
若且，则或相交或异面，故命题错误.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线面平行的判定定理，进而找出不正确的结论的个数。
15．设P为曲线C：上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集和，给出如下结论：
①任意，中总有2个元素；②存在，使得．
其中正确的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立
C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立
【答案】B
【知识点】轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】曲线C：的焦点，
则，
由得，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
的圆心，
当点在原点处时，，此时，
此时点的轨迹方程为，
因为，所以点在圆外，
则存在，使得两圆相离，即，
故①错误，②正确.
故答案为：B.
【分析】利用曲线C：得出焦点F的坐标，再利用已知条件和抛物线的定义，则，由结合圆的定义得出点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，再利用圆的标准方程得出的圆心N的坐标，当点在原点处时，，进而得出此时，从而得出此时点的轨迹方程为，再利用点与圆的位置关系判断方法，从而判断出点在圆外，则存在，使得两圆相离，即，从而找出正确的选项。
16．设，若在区间上存在a，b且，使得，则下列所给的值中只可能是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由题意知：且，则，，
又且，则，即，，
所以且，
(或n为其它大于1的整数)不满足；时；时，
所以满足要求，其它不符合.
故答案为：D
【分析】由题意知：且，再利用三角函数的定义和且，则，，所以且，再利用分类讨论的方法得出的取值范围，进而找出可能的取值。
三、解答题
17．如图，在直三棱柱中，，，．
（1）求证：；
（2）设与底面ABC所成角的大小为，求三梭雉的体积．
【答案】（1）证明：，，，
，
，
又直三棱柱中，平面，
平面，，
又，平面，
平面，
平面，.
（2）解：平面，
在平面上的射影为，即为与底面ABC所成角，
，，
.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用 ，，结合勾股定理得出，在直三棱柱中，平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出成立。
（2）利用 平面，所以在平面上的射影为，即为与底面ABC所成角，进而得出的值，再利用正切函数的定义得出的长，再结合三棱锥的体积公式和等体积法得出三棱雉的体积。
18．已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为．
（1）设且，求x的取值范围；
（2）设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．
【答案】（1）解：由题设，又且都不为1的正实数，
所以，而，故.
（2）解：由，，
而数列前100项中有，其中属于数列有，
所以数列前100项是的前103项去掉三个元素，
则.
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；数列的求和
【解析】【分析】(1) 由题设，再利用且都不为1的正实数，所以，再结合和指数函数的单调性，进而得出实数x的取值范围。
（2） 利用已知条件结合对数的运算法则得出数列和数列的通项公式，再结合数列前100项中有，其中属于数列有，所以数列前100项是的前103项去掉三个元素，再结合等差数列前n项和公式得出 的值。
19．现有3个盒子，其中第一个盒子中装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．
（1）求取到的白球数不少于2个的概率；
（2）设X为所取到的白球数，求取到的白球数的期望．
【答案】（1）解：设取到的白球数为X，则X的可能值为：0，1，2，3.
取到2个白球的概率，则
取到3个白球的概率，，
则取到的白球数不少于2个的概率：.
（2）解：，
，
，
，
所以取到的白球数的期望：
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用已知条件得出随机变量X的可能的取值，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出取到的白球数不少于2个的概率。
（2）利用已知条件结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出取到的白球数的期望。
20．在xOy平面上．设椭圆：，梯形的四个项点均在上，且．设直线的方程为
（1）若为的长轴，梯形的高为，且在上的射影为的焦点，求的值；
（2）设，直线经过点，求的取值范围；
（3）设，，与的延长线相交于点，当变化时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：因为梯形为的长轴，的高为，
所以点的纵坐标为，代入椭圆方程得，
可得，又因为在上的射影为的焦点，
，解得，
，.
（2）解：由题意，椭圆：，直线的方程为，
设，则，
化简得，
，得，
，
，
，所以
所以的取值范围为
（3）解：设直线的方程为，，
，联立，
化简得，
，
，
，
联立，化简得
，
，
，所以，
化简得，即.
又的高为，
所以
将代入化简得，.
故的面积为定值.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用梯形为的长轴，的高为，所以点的纵坐标为，代入椭圆方程得出点C的横坐标，再利用点在上的射影为的焦点结合椭圆中a，b，c三者的关系式和已知条件以及m的取值范围，从而得出m的值。
（2） 由题意，椭圆：，直线的方程为，设，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法得出k的取值范围，再结合韦达定理得出，再利用数量积的坐标表示和韦达定理以及k的取值范围和不等式的基本性质，进而得出的取值范围。
（3） 设直线的方程为，，，联立结合判别式法和韦达定理得出和
，再利用弦长公式得出，联立结合韦达定理得出，再利用弦长公式得出，再结合，进而得出，再利用点到直线的距离公式得出三角形的高为，再结合三角形的面积公式得出，将代入化简得出三角形的面积为定值。
21．已知，设函数的表达式为（其中）
（1）设，，当时，求x的取值范围；
（2）设，，集合，记，若在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s，t，均有成立，求c的取值范围；
（3）当，，时，记，其中n为正整数．求证：．
【答案】（1）解：由题设，则，即，故，
又，则，所以.
（2）解：由题设，要使D上的任意两个变量s，t均有成立，
所以在上成立，
又在D上为严格增函数，即，
同时在上恒成立，
由解析式知：在上递减，只需，故，
由且，，即在上递减，
所以，故，可得.
综上，；
（3）证明：由题设，则且，，故，
所以，
而，
，
所以，
又，且，当且仅当时等号成立，
所以，同理，.......，且均在时等号成立，
所以，
综上，，即成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式在最值问题中的应用；二项式定理
【解析】【分析】 （1）由题设得出函数的解析式，则，故，再利用，则，从而解一元二次不等式得出x的取值范围。
（2） 由题设，要使D上的任意两个变量s，t均有成立，所以在上成立，再利用函数的单调性得出函数的最值，即，同时在上恒成立，由解析式知：在上递减，只需，进而得出实数c的取值范围，由且，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数c的取值范围，再利用交集的运算法则得出实数c的取值范围。
（3） 由题设，则且，，故，所以，再利用二项式定理得出，再利用均值不等式求最值的方法和，所以，同理，.......，且均在时等号成立，所以，从而证出成立。
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