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2022-2023 学年度下学期泉州市高中适应性练习
2023.05
高 一 数 学
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷
上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设 为复数，则“ = ”是“ = | |2”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3 1+ 2 9
2. 已知 ∈ ( , )，若 = ，则 2 的值是
2 1+ 2 2
3 3 4 4
A. B. C. D.
4 4 3 3
3. 在△ 中，已知| | = √ 2，| | = 1，∠ = 45°，若 = + ，且
+ 2 = 2，则 在 上的投影向量为 ( 为与 同向的单位向量)，则 的取值范围是
A. √ 2[ , 1] B.
√ 2 √ 2 √ 2
[ , 1] C. ( , 1] D. ( , 1]
2 2 2 2
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4. 如图，半径为1的半圆 与等边三角形 夹在两平行线 1, 2之间， 1// 2， 与半圆相交
于 、 两点，与三角形 两边相交于点 、 ，设弧 的长为 (0 < < )， = + +
，若 从 1平行移动到 2，则函数 = ( )的图像大致是
A. B.
C. D.
5. 在平行四边形 中， = ， = 2 ，连接 、 相交于点 ，若 = +
，则实数 与 的乘积为
1 3 3 4
A. B. C. D.
4 8 4 3
6. 中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台
是西周初年在阳城建立的周公测景(影)台.“圭”就是放在地面上
的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便
在“圭”上成影.到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八
尺长(1尺= 10寸).用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断
季节的变化，也能用于丈量土地.同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就
相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”.记“表”的顶部为 ，太阳光线通过顶部 投影到
5
“圭”上的点为 .同一日内，甲地日影长是乙地日影长的 ，记甲地中直线 与地面所成的
6
4
角为 ，且 = 则甲、乙两地之间的距离约为
5
A. 8千里 B. 10千里 C. 12千里 D. 14千里
7. 已知锐角△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 cos cos2 = ，且△
2
外接圆半径为2，则 的取值范围是
+
A. [2√ 3, 4) B. [2√ 3, 6) C. [√ 3, 2) D. [√ 3, 4)
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5
8. 若函数 ( ) = 2 ( ) 1在区间[0, ]上的三个零点为 1， 2， 3，且 1 < 2 < 6 2 3
7
且 1 + 2 2 + 3 = ，则下列结论： 3
① ( )的最小正周期为 ；
5
② ( )在区间[0, ]有3个极值点；
2
③ ( )在区间[0, ]上单调递增； 2
5
④( , 1)为函数 ( )离原点最近的对称中心．
12
其中正确结论的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知点 在△ 所在的平面内，则下列命题正确的是
A. 若 为△ 的垂心， = 2，则 = 2
B. 若△ 为边长为2的正三角形，则 ( + )的最小值为 1
C. 若△ 为锐角三角形且外心为 ， = + 且 + 2 = 1，则 =
1 1 1 1D. 若 = ( + ) + ( + )
| | 2 |
，则动点 的轨迹经过△ 的外心
| 2
10. 下列命题为真命题的是
2 A.函数 = ( ) + 2 + 2 经过点(1,0)的充要条件是 = + ( ∈ )；
4
B.二次函数 = ( )2 + 2 + 2 经过点(1,0)的充要条件是 = + ( ∈ )；
4
C.若已知二次函数 = ( )2 + 2 + 2 ，则 经过点(1,0)的充要条件是 = +
4
( ∈ )；
4
D. “ < 0”是“二次函数 = 2 + + ( , , ∈ )有两个异号零点 的必要不充分条件2 ” .
11. 在三角形 中，记 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 > √ 2 > √ 2 ，则下列选项
中一定正确的是
A. sin( + 2 ) > sin( + 2 ) B. > > >
C. + > + D. sin( ) > sin( )
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12. 中， 分别是内角 , , 的对边， 为其重心， 分别是边 , , 上的高
.若 ，则下列结论正确的是
A. : : = 4: 3: 2 B.
C. D. 是钝角三角形
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 2 = ，点 在边 上，
∠ = ，若 = 2 ，则 ∠ =
14. 已知点 为正△ 所在平面上一点，且满足 + γ + (1 + γ) = 0, 点 为
正△ 所在平面上一点,若△ 的面积与△ 的面积比值为 1：4，且3γ + 9γ +
12γ = 0,则△ 的面积与△ 的面积的比值为
15. √ 3 10° 10° =
10° 10°
1
16. 已知 ( )是定义在 上的奇函数，且 (1 ) = ( )，若对任意的 1, 2 ∈ [0, ]， 2
( ) ( ) 3 3
当 1 ≠ 2时，都有
1 2 > ，则关于 的不等式 ( ) ≤ sin 在区间[ , ]上的解集为
1 2 2 2
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10分)
已知关于 的方程 2 2 + = 0一个根为1 + √ 3 . ( ∈ )
(1)求方程的另一个根及实数 的值；
(2)若 + ≥ 2 3 + 6 在 ∈ (0,+∞)上恒成立，试求实数 的取值范围．
18. (本小题12分)
已知 = (2√ 3 , ), = ( , 2 ), ( ) = 2 + 2 1．
(1)求 ( )关于 的表达式；
(2)若 ∈ [0, ]时， ( )的最小值是3，求 的值；
2
(3)若对于 ∈ [0, ]都有 ( ) ≤ 6，求 的取值范围．
2
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19. (本小题12分)
已知函数 ( ) = sin( + ) 1( > 0,0 < < )的图像两相邻对称轴之间的距离是 ，若
2
将 ( )的图像上每个点先向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数 ( )为
12
偶函数．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若对任意 ∈ [0, ]，[ ( )]2 (2 + ) ( ) + 2 + ≤ 0恒成立，求实数 的取值范围；
3
(3)若函数 ( ) = 2 ( ) + 3的图像在区间[ , ]( ， ∈ 且 < )上至少含有30个零点，在所
有满足条件的区间[ , ]上，求 的最小值．
20. (本小题12分)
如图，在平行四边形 中 ⊥ ， 为 三等分点， 为 三等分点, 为 四等分点，
且 : 恰为2：5，若以 A为原点，AC为 x轴，AD为 y轴， , 为基底
(1)求 坐标；
(2)求 坐标．
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21. (本小题12分)
如图， ， 分别是矩形 的边 和 的中点， 与 交于点 ．
(1)设 = ， = ，试用 ， 表示 ；
(2)若 = 2， = 1， 是线段 上的一动点，求 的最大值．
22. (本小题12分)
某市民公园改造规划平面示意图如图，经规划调研测定，该市民公园占地区域是半径为 的
圆面，该圆面的内接四边形 是绿化用地，经测量得边界 = 1百米， = = 2百米，
= 3百米．
(1)求原绿化用地 的面积和市民公园的占地面积；
(2)为提高绿化覆盖率，在保留边界 ， 不动的基础上，对边界 ， 进行调整，在圆
2
弧 上新设一点 ′，使改造后新的绿地 ′的面积最大，设∠ ′ = (0 < < )，
3
将 ′的面积用 表示并求出求最大面积．
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2022-2023 学年度下学期泉州市高中适应性练习 高一数学参考答案
1~8
9~12
7 3
13. 14. 4: 3 15. 4 16. [ 1,0] ∪ [1, ]
12 2
17. 解：(1)关于 的方程 2 2 + = 0的一个根为1 + √ 3 ( ∈ )，
所以有(1 + √ 3 )2 2(1 + √ 3 ) + = 0
所以 = 4，
方程的另一个根为：1 √ 3 ．
(2)由 + ≥ 2 3 + 6 在 ∈ (0,+∞)上恒成立，
( + )最小值≥ 2 3 + 6； 4 ≥ 2 3 + 6
∴ 2 3 + 2 ≤ 0
∴ 1 ≤ ≤ 2，
试求实数 的取值范围[1,2]．
18. 解：(1)已知 = (2√ 3 , ), = ( , 2 ), ( ) = 2 + 2 1，
则 ( ) = 4√ 3 + 4 2 + 2 1 = 2√ 3 2 + 2 2 + 2 + 1 = 4 (2 + ) +
6
2 + 1，
即 ( ) = 4 (2 + ) + 2 + 1；
6
(2) ∵ ∈ [0, ]，
2
7
∴ 2 + ∈ [ , ]，
6 6 6
7
则当2 + = ，
6 6
1
即 = 时， ( )取最小值4 × ( ) + 2 + 1 = 2 1，
2 2
又∵ ( )的最小值是3，
∴ 2 1 = 3，
∴ = 2，
即 的值为2；
(3)由(2)可得：当 ∈ [0, ]时， ( )的最大值是4 × 1 + 2 + 1 = 2 + 5，
2
又∵当 ∈ [0, ]时， ( ) ≤ 6恒成立，
2
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∴ 2 + 5 ≤ 6，
1
∴ ≤ ，
2
1
即 的取值范围为( ∞, ]．
2
2
19. 解：(1)由 = 2 × ，得 = 2，则 ( ) = sin(2 + ) 1
2
则 ( ) = sin[2( + ) + ] 1 + 1 = sin(2 + + )为偶函数，所以| (0)| = 1，
12 6
又0 < < ，所以 = ，故 ( ) = sin(2 + ) 1；
3 3
(2)因为 ∈ [0, ]，所以2 + ∈ [ , ]，sin(2 + ) ∈ [0,1]，
3 3 3 3
故 1 ≤ ( ) ≤ 0， 2 ≤ ( ) 1 ≤ 1，
而[ ( )]2 (2 + ) ( ) + 2 + ≤ 0恒成立，
即[ ( )]2 2 ( ) + 2 ≤ [ ( ) 1] ，
1
整理可得 ≤ + ( ) 1，令 = ( ) 1， ∈ [ 2, 1]，
( ) 1
1
设 ( ) = + ， ∈ [ 2, 1]，
设 1， 2 ∈ [ 2, 1]且 1 < 2，
1 1 1
则 ( 1) ( ) = +
1 2
2 1 2
= ( 1 2) ，
1 2 1 2
由于 1 2 < 0， 1 2 > 1，则 ( 1) ( 2) < 0，所以 ( 1) < ( 2)，
1 5
即 ( ) = + 在区间[ 2, 1]上单调递增，故 ( ) = ( 2) = ， 2
5 5
故 ≤ ，即实数 的取值范围是( ∞, ]；
2 2
(3)由题意知 ( ) = 2 ( ) + 3 = 2 (2 + ) + 1，
3
1
由 ( ) = 0得sin(2 + ) = ，
3 2
7 11
故2 + = + 2 或2 + = 2 + ， ∈ ，
3 6 3 6
5 3
解得 = + 或 = + ， ∈ ，
12 4
5 3
故 ( )的零点为 = + 或 = + ， ∈ ，
12 4
2
所以相邻两个零点之间的距离为 或 ，
3 3
若 最小，则 和 都是零点，
此时在区间[ , + ]，[ , 2 + ]，…，[ , + ]，( ∈ )，
高一数学参考答案 第 2 页 (共 4 页)
分别恰有3，5，…，2 + 1个零点，
所以在区间[ , 14 + ]上恰有29个零点，
从而在区间(14 + , ]上至少有一个零点，
所以 14 ≥
5 5
，另一方面，在区间[ , 14 + + ]上恰有30个零点，
3 12 3 12
43
所以 的最小值为14 + = ．
3 3
1 2
20. 解：(1) ∵ = +
3 3
1 3 2
∴ = +
3 4 3
又 D、H、F 三点共线
1 3 2
∴ + = 1
3 4 3
9 8 9 8
∴ = + = ( ， )
11 11 11 11
(2) ∵ =
5 2 67 18 67 18
∴ = + = + = ( ， )
7 7 77 77 77 77
21. 解：(1) ∵ ， 分别是矩形 的边 和 的中点，
∴
1 1= ( + )， = ( + )，
2 2
又 = + ，
2 2
所以3 = 2 + 2 = + ．
3 3
(2)以 为原点， ， 分别为 ， 轴，建立直角坐标系，
1
则 (0,0)， (2,0)， (1,1)， (2, )，直线 的方程为： + 2 3 = 0，
2
1
设 (3 2 , )( ≤ ≤ 1)，
2
则 = (3 2 , )， = ( 1 + 2 , )，
所以
60 64 1 4
= (3 2 )( 1 + 2 ) 2 = 5 2 + 8 3 ≤ = ，当 = 时等号成立．
4 ( 5) 5 5
故
1
的最大值为 ．
5
22. 解：(1)因为四边形 内接于圆，则∠ + ∠ = ．
所以cos∠ + cos∠ = 0．
在△ 中， 2 = 2 + 2 2 · · cos∠
= 1 + 4 2 × 2 × 1 × cos∠ = 5 4 ∠ ，
在△ 中， 2 = 2 + 2 2 · · cos∠
高一数学参考答案 第 3 页 (共 4 页)
= 13 12 ∠ = 13 + 12 ∠ ，
1
由5 4 ∠ = 13 + 12 ∠ ，得cos∠ = ，
2
2
因为∠ ∈ (0, )，所以∠ = ，
3
所以∠ = ，所以 2 = 7，
3
所以 1 1 √ 3 √ 3 △ = · · sin∠ = × 1 × 2 × = ， 2 2 2 2
1 1 √3 3√3
△ = · · ∠ = × 2 × 3 × = ， 2 2 2 2
所以 四边形 = △ + △ = 2√ 3，
√ 7 2√ 21
由正弦定理得2 = = =sin∠ √ 3 3 ，
2
7
所以外接圆面积 = 2 = ．
3
2 2
(2)因为∠ ′ = ，(0 < < )，由∠ ′ = 得∠ ′ = ．
3 3 3
△ ′ 2√ 21 2√ 21 2 在 中，由正弦定理知 ′ = 2 ∠ ′ = sin ， ′ = 2 ∠ ′ = sin(
3 3 3
)，
所以 1 7√ 3 2 △ ′ = ′ · ′ · sin∠ ′ = ( ) 2 3 3
7√ 3 √ 3 1 7 7√ 3
= ( + ) = + 2
3 2 2 2 6
7√ 3 √ 3 1 7√ 3
= ( 2 2 ) +
6 2 2 12
7√ 3 7√ 3
= sin(2 ) + ，
6 6 12
2 7
因为0 < < ，所以2 ∈ ( , )，
3 6 6 6
1
sin(2 ) ∈ ( , 1]，
6 2
当2 = ，即 = 时， △ ′ 的最大值为
7√ 3．
6 2 3 4
√ 3 7√ 3 9√ 3
此时 四边形 = △ + △ ′ = + = ． 2 4 4
答：改造后，当△ ′ 为正三角形时，新的绿地 ′的面积最大，为9√ 3平方百米．
4
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