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浙教版2022-2023学年七下数学期中综合复习卷1（第一至四章）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．
【答案】A
【解析】 ， ，所以 x=-2 .
故答案为：A
2．已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值范围有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵二次三项式x2-kx-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，
∴-15＝-1×15＝1×（-15）＝-3×5＝3×（-5），
∴-k＝14，-14，2，-2，
∴k＝-14，14，-2，2.
故答案为：D．
3．若 ， ，则 的值是（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．±3
【答案】C
【解析】由题意得（a2+b2）2=5+a2b2，
因为ab=2，所以a2+b2= =3．
故答案为：C．
4．小江去商店购买签字笔和笔记本(签字笔的单价相同，笔记本的单价相同)．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则( )
A．他身上的钱会不足95元 B．他身上的钱会剩下95元
C．他身上的钱会不足105元 D．他身上的钱会剩下105元
【答案】B
【解析】解设签字笔单价为a ,笔记本的单价为b,他身上带的钱为m, 则m=20a+15b-25, m=19a+13b+15;
20a+15b-25=19a+13b+15, 得a+2b=40, 则17a+9b=19a+13b-2a-4b=m-15-2(a+2b)=m-15-80=m-95;
故答案为：B
5．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和若知道下列条件，仍不能求值的是( )
A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积
C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差
【答案】D
【解析】【解答】如图，
设矩形的两边长分别是、；阴影部分的长分别为下、；
则，即：，
，；
；
矩形的面积是，矩形的周长是；
故A、是正确的；
又因为的面积是的面积是；
；
故正确
故答案为：D.
6．如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将①号、②号、③号正方形按图2方式叠放入④号正方形内部，若需求出阴影部分的周长和，只需知道下列哪个正方形的边长（ ）
A．①号 B．②号 C．③号 D．④号
【答案】A
【解析】设①号正方形边长为x，②号正方形边长为y，则③号正方形边长为 x+y ，④号正方形边长为 2x+y ，⑤号长方形长为 3x+y ，宽为 y-x ．
左上角阴影部分长为2x+y-y=2x ，宽为2x+y-(x+y)=x
右下角阴影是一个边长为x的正方形，所以两个阴影周长和为10x，跟①号周长有关．
故答案为：A.
7．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】把 变为,
由题意得,
∴,
故答案为：D.
8．已知整数k使得关于x、y的二元一次方程组 的解为正整数，且关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，则所有满足条件的k的和为（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【解析】解方程组 得 ，
∵方程组的解为正整数，且k为整数，k-3为9的正因数，
∴ ，
∴k＝4，6；
解不等式组 得， ，
∵不等式组 有且仅有四个整数解，
∴ ，
∴3＜k≤6，
∴k＝4，5，6，
∴所有满足条件的k的和＝4+6＝10，
故答案为：C.
9．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
则原式＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝ [（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]
＝ [（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
＝ ×[1+4+1]
＝3，
故答案为：C．
10．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（ ）
A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ
C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180°
【答案】B
【解析】如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴γ=∠1+∠2①，
又∵入射角与折射角的度数比为3：2，
∴∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），
∴γ=（90°-α）+（90°-β）=（180°-α-β），
∴γ=120°-（α+β），即（α+β）=120°-γ.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．习总书记提出“生态兴则文明兴”、“守住绿水青山，就是守住金山银山”，人人都有爱护环境的义务．某时刻在无锡监测点监测到PM 2.5的含量为65微克/米3，即0.000065克/米3，将0.000065用科学记数法表示为 ．
【答案】6.5×10-5
【解析】0.000065=
故答案为：6.5×10-5．
12．已知 x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0（ ），则 = ．
【答案】
【解析】由题意得： ，
①×2-②得y=11z，
代入①得x=-19z，
原式= ．
故答案为： ．
13．已知a＋b＝2，ab＝3，代数式a2b＋ab2＋a＋b的值为 ．
【答案】8
【解析】当a+b＝2，ab＝3时，
原式＝ab（a+b）+（a+b）＝（a+b）（ab+1）＝2×4＝8，
故答案为8
14．如图，把五个长为b，宽为a（b>a)的小长方形，按图一和图二两种方式放在一个长比宽大 的大长方形上，设图一中两块阴影部分的周长和为 ，图2中阴影部分的周长和为 ，则 的值为 .
【答案】12
【解析】∵大长方形的长=b+2a，大长方形的长比宽大（6-a），
∴大长方形的宽=b+2a-（6-a）=b+3a-6，
∴C1=2（b+b-6）+2[2a+(3a-6)]=4b-12+10a-12=4b+10a-24，
C2=2[（b+2a）+(3a-6)]+2b=4b+10a-12，
∴C2-C1=4b+10a-12-（4b+10a-24）=12.
故答案为：12.
15．如图是婴儿车的平面示意图，其中 ， ， ，那么 的度数为 .
【答案】80°
【解析】【解答】∵AB∥CD，
∴∠A=∠3=40 ，
∵∠1=120 ，
∴∠2=∠1 ∠A=80 ，
故答案为：80°.
16．已知 ， ， ，则代数式 的值是 .
【答案】6
【解析】∵ ， ， ,
∴a-b=-1,b-c=-1,c-a=2,c-b=1,
∴2（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=
= ,
故答案为6.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解方程组：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：，
②﹣①×2得：13y＝65，
解得：y＝5，
把y＝5代入①得：2x﹣25＝﹣21，
解得：x＝2，
则方程组的解为
（2）解：方程组整理得：，
①×3+②×2得：13x＝32，
解得：x，
把x代入②得：3y＝13，
解得：y，
则方程组的解为
18．因式分解：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式.
19．
（1）若 ，求 ， 的值；
（2）若 ， ，求 ， .
【答案】（1）解：因为x+ =2，
所以（x+ ）2=22
即x2+ +2=4，
所以x2+ =2．
因为x2+ =2
所以（x2+ ）2=4
即x4+ +2=4，
所以x4+ =2．
（2）解： =3×6=18，
， ，
= ÷ =33÷62=0.75.
20．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等.
①分组分解法：
例如：.
②拆项法：
例如：.
仿照以上方法分解因式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
（2）解：
21．一天，小明和小红玩纸片拼图游戏．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）图③可以解释为等式： ．
（2）图④中阴影部分的面积为 ．观察图④请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ．
（3）如图⑤，小明利用7个长为b，宽为a的长方形拼成如图所示的大长方形；
①若AB＝4，若长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，试计算S的值（用含a，b的代数式表示）
②若AB为任意值，且①中的S的值为定值，求a与b的关系．
【答案】（1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2
（2）（a﹣b）2；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
（3）解：①∵AB＝4，长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，
∴大长方形的面积＝（3a+b）（4+b）＝7ab+4×3a+4×3a﹣S，
∴S＝4ab﹣4b+12a﹣b2；
②设AB＝m，
∴大长方形的面积＝（3a+b）（m+b）＝7ab+3ma+3ma﹣S，
∴S＝4ab﹣b2+m（3a﹣b），
∵若AB为任意值，且①中的S的值为定值，
∴3a＝b.
【解析】【解答】解：（1）根据图可知长方形面积有（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2；
故答案为（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2；
（ 2 ）④图中阴影部分面积是（a﹣b）2，
根据阴影部分面积可以是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为（a﹣b）2，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
22．（探究活动）
如图1:已知直线a与b平行，直线c与直线a、b分别相交于点A.B，直线d与直线a、b分别相交于点C.D，点P在直线c上移动，连接PC、PD.探究∠CPD、∠PCA、∠PDB之间的数量关系.
（探究过程）
（1）当点P在点A.B之间移动时，如图2，写出∠CPD、∠PCA、∠PDB之间的关系，并说明理由.
（2）当点P在A.B两点外移动时，如图3，写出∠CPD、∠PCA、∠PDB之间的关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∠CPD=∠PCA+∠PDB.
理由：如图2,过P点作PE∥AC交CD于E点，
∵AC∥BD
∴PE∥BD，
∴∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，
∴∠CPD=∠CPE+∠DPE=∠PCA+∠PDB；
（2）解：∠CPD=∠PDB ∠PCA;
理由：如图3,过P点作PE∥BD交CD于E点，
∵AC∥BD，
∴PE∥AC，
∴∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，
∴∠CPD=∠DPE ∠CPE=∠PDB ∠PCA
23．某公园的门票价格如下表所示：
购票人数 1～50人 51～100人 100人以上
每人门票价 20元 17元 14元
某校初一（1）（2）两个班去游览公园，其中（1）班人数较少，不足50人，（2）班人数较多，超过50人，但是不超过100人．如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1912元；如果两个班联合起来，作为个团体购票，则只需付1456元
（1）列方程或方程组求出两个班各有多少学生？
（2）若（1）班全员参加，（2）班有20人不参加此次活动，请你设计一种最省钱方式来帮他们买票，并说明理由．
（3）你认为是否存在这样的可能：51到100人之间买票的钱数与100人以上买票的钱数相等？如果有，是多少人与多少人买票钱数相等？（直接写结果）
【答案】（1）解：如果初一（1）（2）两个班的人数之和不大于100，
则1456÷17=85（人） （元），不符合题意，
∴初一（1）（2）两个班的人数之和大于100．
设初一（1）班有x人，初一（2）班有y人，
依题意，得： ，
解得： ；
答：初一（1）班有48人，初一（2）班有56人
（2）解：48+（56﹣20）=84（人）．
两个班合起来买84张门票所需钱数为：84×17=1428（元），
两个班合起来买101张门票所需钱数为：101×14=1414（元），
∵1414＜1428，
∴两个班合起来买101张门票最省钱
（3）84人和102人或98人和119人买票钱数相等
【解析】【解答】（3）设m人与n人买票钱数相等（51≤m≤100，n≥101），
依题意，得：17m=14n，
∴m为14的整数倍，n为17的整数倍，
∴ 或 ．
答：84人和102人或98人和119人买票钱数相等．
24．如图①， ， 被直线 所截，点D是线段 上的点，过点D作 ，连结 ， .
（1）请说明
（2）将线段 沿着直线 平移得到线段 ，连结 .
a.如图②，当 时，则 的度数为 ；
b.在整个运动中，当 时， .
【答案】（1）证明：∵ ，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴；
（2）30°；20°或120°
【解析】 a .解：(2)如图2，作DF∥BC交AB于点F，
∵PQ∥AE，
∵DF∥PQ，
∴DF∥PQ，
∵∠E=60°，
∴∠EDF=120°，
∵∠EDQ=90°，
∴∠FDQ=360°-∠EDF-∠EDQ=360°-120°-90°=150°，
∴∠Q=180°-∠FDQ=180°-150°=30°，
故答案为：30°；
b. 如图所示：当点P在线段的AD上时，过点D作DF ∥AE交AB于点F，
作FD∥BC交AB于F点，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF=180°-∠Q，
∵∠Q=2∠EDQ，即∠EDQ=∠Q，
∵∠E=60°，
∴∠EDF=180°-∠E=120°，
∴∠QDF=∠EDF+∠EDQ=120°+∠Q=180°-∠Q，
解得：∠Q=40°；
当点P在线段的DA的延长线上时，过点D作DFIlAE交AB于点F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF=180°-∠Q，
∵∠Q=2∠EDQ，即∠EDQ=∠Q，
∵∠E=60°，
∴∠EDF=180°-∠E=120°，
∴∠QDF=∠EDF-∠EDQ=120°-∠Q=180°-∠Q，
解得：∠Q=120°.
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浙教版2022-2023学年七下数学期中综合复习卷1（第一至四章）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．
2．已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值范围有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若 ， ，则 的值是（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．±3
4．小江去商店购买签字笔和笔记本(签字笔的单价相同，笔记本的单价相同)．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则( )
A．他身上的钱会不足95元 B．他身上的钱会剩下95元
C．他身上的钱会不足105元 D．他身上的钱会剩下105元
5．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和若知道下列条件，仍不能求值的是( )
A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积
C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差
6．如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将①号、②号、③号正方形按图2方式叠放入④号正方形内部，若需求出阴影部分的周长和，只需知道下列哪个正方形的边长（ ）
A．①号 B．②号 C．③号 D．④号
7．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
8．已知整数k使得关于x、y的二元一次方程组 的解为正整数，且关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，则所有满足条件的k的和为（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
9．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（ ）
A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ
C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180°
（第10题） （第14题） （第15题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．习总书记提出“生态兴则文明兴”、“守住绿水青山，就是守住金山银山”，人人都有爱护环境的义务．某时刻在无锡监测点监测到PM 2.5的含量为65微克/米3，即0.000065克/米3，将0.000065用科学记数法表示为 ．
12．已知 x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0（ ），则 = ．
13．已知a＋b＝2，ab＝3，代数式a2b＋ab2＋a＋b的值为 ．
14．如图，把五个长为b，宽为a（b>a)的小长方形，按图一和图二两种方式放在一个长比宽大 的大长方形上，设图一中两块阴影部分的周长和为 ，图2中阴影部分的周长和为 ，则 的值为 .
15．如图是婴儿车的平面示意图，其中 ， ， ，那么 的度数为 .
16．已知 ， ， ，则代数式 的值是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解方程组：
（1）． （2）．
18．因式分解：
（1）； （2）.
19．
（1）若 ，求 ， 的值；
（2）若 ， ，求 ， .
20．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等.
①分组分解法：
例如：.
②拆项法：
例如：.
仿照以上方法分解因式：
（1）；
（2）.
21．一天，小明和小红玩纸片拼图游戏．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）图③可以解释为等式： ．
（2）图④中阴影部分的面积为 ．观察图④请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ．
（3）如图⑤，小明利用7个长为b，宽为a的长方形拼成如图所示的大长方形；
①若AB＝4，若长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，试计算S的值（用含a，b的代数式表示）
②若AB为任意值，且①中的S的值为定值，求a与b的关系．
22．（探究活动）
如图1:已知直线a与b平行，直线c与直线a、b分别相交于点A.B，直线d与直线a、b分别相交于点C.D，点P在直线c上移动，连接PC、PD.探究∠CPD、∠PCA、∠PDB之间的数量关系.
（探究过程）
（1）当点P在点A.B之间移动时，如图2，写出∠CPD、∠PCA、∠PDB之间的关系，并说明理由.
（2）当点P在A.B两点外移动时，如图3，写出∠CPD、∠PCA、∠PDB之间的关系，并说明理由.
23．某公园的门票价格如下表所示：
购票人数 1～50人 51～100人 100人以上
每人门票价 20元 17元 14元
某校初一（1）（2）两个班去游览公园，其中（1）班人数较少，不足50人，（2）班人数较多，超过50人，但是不超过100人．如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1912元；如果两个班联合起来，作为个团体购票，则只需付1456元
（1）列方程或方程组求出两个班各有多少学生？
（2）若（1）班全员参加，（2）班有20人不参加此次活动，请你设计一种最省钱方式来帮他们买票，并说明理由．
（3）你认为是否存在这样的可能：51到100人之间买票的钱数与100人以上买票的钱数相等？如果有，是多少人与多少人买票钱数相等？（直接写结果）
24．如图①， ， 被直线 所截，点D是线段 上的点，过点D作 ，连结 ， .
（1）请说明
（2）将线段 沿着直线 平移得到线段 ，连结 .
a.如图②，当 时，求 的度数；
b.在整个运动中，当 时， 求 的度数.
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