高中试卷答案网必修第二册 4.3 指数函数与对数函数的关系
一、选择题（共18小题）
1. 下列四个函数中，图象关于 轴对称的两个函数是
（）；（）；
（）；（）．
A. （）和（），（）和（） B. （）和（），（）和（）
C. （）和（），（）和（） D. 没有关于 轴对称的
2. 函数 的图象大致为
A. B.
C. D.
3. 函数 的图象可能是
A. B.
C. D.
4. 若 ，则 的取值范围是
A. B. 或
C. D. 或
5. 设函数 ，则满足 的 的取值范围是
A. B. C. D.
6. 若函数 在区间 上的最大值是最小值的 倍，则 等于
A. B. C. D.
7. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若 ，则下列结论错误的是
A. B. C. D.
8. 若点 在 图象上，，则下列点中也在此图象上的是
A. B. C. D.
9. 已知 ，若 （），则 的取值范围是
A. B. C. D.
10. 设 ，，若 ，，，则下列关系式中正确的是
A. B. C. D.
11. 已知实数 ， 满足等式 ，关于 ， 的大小有下列五个关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中，不可能成立的关系式有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12. 已知指数函数 是减函数，若 ，，，则 ，， 的大小关系是
A. B. C. D.
13. 设集合 ，集合 ．若 ，则实数 的取值组成的集合是
A. B. C. D.
14. 已知 ，当 时，有 ，则必有
A. ，， B. ，，
C. D.
15. 若 ，，则函数 的图象不经过
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
16. 已知 ，其中 ，则下列各式中正确的是
A. B.
C. D.
17. 已知 ，，，则 ，， 的大小关系为
A. B. C. D.
18. 下表是某次测量中两个变量 ， 的一组数据，若将 表示为关于 的函数，则最可能的函数模型是
A. 一次函数模型 B. 二次函数模型 C. 指数函数模型 D. 对数函数模型
二、填空题（共7小题）
19. 设 ，则二次函数 的最大值为 ．
20. 函数 的定义域是 ．
21. 若函数 在 上是严格增函数，则实数 的取值范围是 ．
22. 当 时，，则实数 的取值范围是 ．
23. 已知指数函数 （其中 ）在闭区间 上的最大值比最小值大 ，则实数 ．
24. 若函数 在区间 上的最大值是最小值的 倍，则 ．
25. 若函数 ，若 ， 且 ，则 的取值范围是 ．
三、解答题（共5小题）
26. 求证： 在定义域上是增函数．
27. 已知 ，．
（1）若设 ，试用 表示 ；
（2）根据 的取值讨论 ， 的大小关系．
28. 若函数 是指数函数．
（1）求 ， 的值；
（2）解不等式 ．
29. 设 （ 且 ），函数 的反函数 的图象与直线 的两个交点的横坐标分别为 ，．
（1）求函数 的解析式；
（2）当点 在 图象上运动时，点 在函数 上图象上运动，求函数 的解析式；
（3）在（）的条件下，当 时，求 的取值范围（其中 是常数，且 ）．
30. 已知 ．
（1）求 的表达式，并判断它的单调性．
（2）若 ，，求证：．
答案
1. C
2. C
【解析】函数的定义域为 ，且函数在定义域上单调递减，故选C．
3. C
【解析】令 ，得 ，即函数图象必过定点 ，符合条件的只有选项C．
4. C
5. A
6. B
7. D
8. D
9. B
【解析】函数 ．若 （），
不妨设 ；
①当 时，由 ，可得 ，
即 ，不成立，
②当 时，由 ，可得 ，
即 ，不成立，
②当 时，由 ，可得 ，
那么 ．
所以 ．（当且仅当 取等号）
所以 ，
所以 ．
故选B．
10. C
【解析】由题意得 ，，，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
11. B
【解析】提示：如图，画出 和 的大致图象，
经观察可得③④不可能成立．
12. B
【解析】因为 是减函数，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故 ．
13. C
【解析】本题考查已知两集合的关系求参数．
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以集合 ．
若 ，则 ．
若 ，则 ，由 ，得 或 ，
所以 或 ．
14. D
【解析】根据题意画出函数图象，
A．三个不可能都小于 ，因为都为负数时，函数单调递减即 时，得不到 ；
B． 的符号不一定为正，还可以为负；
C．因为 ，所以 ，故错误；
D．根据函数图象可知：，，所以 ， 且 ，所以 ．
15. A
【解析】函数 是减函数，
图象过定点 ，在 轴上方，过第一、二象限，
因为 ，
所以函数 的图象可看成由函数 的图象向下平移 个单位得到，
所以函数 的图象与 轴交于负半轴，
如图，函数 的图象过第二、三、四象限，不经过第一象限．
16. B
17. A
【解析】因为 在 上单增，
所以 ，
所以 ，
因为 在 上单增，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ．
18. D
19.
20.
21.
22.
【解析】如图，
画函数 与 的大致图象，并分析可得．
23.
24.
25.
26. ．
27. （1） ．
（2） 时，；
时，；
时，．
28. （1） ，．
（2） ．
29. （1） ．
（2） 设 ，，则 ，，
因为点 在 图象上运动，
所以 ，所以 ．
（3） 因为 ，所以 ，
所以 且 ，
所以当 时，；当 时 ．
30. （1） ， 在 上是增函数．
（2） 因为 ，利用 ，并相加即得．
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