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专题分类集训二 乘法公式的几何背景的探究及应用
(教材93页目标与评定第8题)
分别准备若干张如图所示的正方形和长方形卡片，用这些卡片拼出新的最小正方形，并用不同的方法计算它的面积，验证乘法公式(画出示意图)．
【提炼方法】运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式作出几何解释．
图(a)是一个边长为(m＋n)的正方形，小颖将图(a)中的阴影部分拼成图(b)的形状，由图能验证的式子是( )
A．(m＋n)2－(m－n)2＝4mn
B．(m＋n)2－(m2＋n2)＝2mn
C．(m－n)2＋2mn＝m2＋n2
D．(m＋n)(m－n)＝m2－n2
有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b(b＞a)的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，则拼成的正方形的边长最长可以为( )
A．a＋b B．2a＋b
C．3a＋b D．a＋2b
如图所示，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( )
A．a2＋4 B．2a2＋4
C．3a2－4a－4 D．4a2－a－2
如图(a)所示，在边长为3a＋2b的大正方形纸片中，剪掉边长为2a＋b的小正方形，得到图(b)，把图(b)阴影部分剪下，按照图(c)拼成一个长方形纸片．
(1)求出拼成的长方形纸片的长和宽；
(2)把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a＋6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a＋3b，求它的宽．
一天，小明在玩纸片拼图游戏时，发现利用图(a)中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如：图(b)可以解释为等式：(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2.
(1)则图(c)可以解释为等式：___；
(2)如图(d)，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a，b的小正方形及两个长方形，试比较两个小正方形的面积之和S1与两个长方形面积之和S2的大小；
(3)小明取其中的若干张拼成一个面积为a2＋nab＋2b2的长方形，则n可取的正整数值为多少？并在图(e)位置画出拼成的图形．
2016·宁波如图是一个由5张纸片拼成的四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( )
A．4S1 B．4S2
C．4S2＋S3 D．3S1＋4S3
把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，如图1，可得等式：(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2.
(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a＋b＋c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来；
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，求a2＋b2＋c2的值；
(3)如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连结BD和BF.若这两个正方形的边长满足a＋b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．
专题分类集训二 乘法公式的几何背景的探究及应用答案
(教材93页目标与评定第8题)
分别准备若干张如图所示的正方形和长方形卡片，用这些卡片拼出新的最小正方形，并用不同的方法计算它的面积，验证乘法公式(画出示意图)．
解：如答图所示：所拼的正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2. 所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
【提炼方法】运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式作出几何解释．
图(a)是一个边长为(m＋n)的正方形，小颖将图(a)中的阴影部分拼成图(b)的形状，由图能验证的式子是( B )
A．(m＋n)2－(m－n)2＝4mn
B．(m＋n)2－(m2＋n2)＝2mn
C．(m－n)2＋2mn＝m2＋n2
D．(m＋n)(m－n)＝m2－n2
有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b(b＞a)的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，则拼成的正方形的边长最长可以为( D )
A．a＋b B．2a＋b
C．3a＋b D．a＋2b
如图所示，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( C )
A．a2＋4 B．2a2＋4
C．3a2－4a－4 D．4a2－a－2
如图(a)所示，在边长为3a＋2b的大正方形纸片中，剪掉边长为2a＋b的小正方形，得到图(b)，把图(b)阴影部分剪下，按照图(c)拼成一个长方形纸片．
(1)求出拼成的长方形纸片的长和宽；
(2)把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a＋6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a＋3b，求它的宽．
解：(1)长方形的长为3a＋2b＋2a＋b＝5a＋3b.
长方形的宽为(3a＋2b)－(2a＋b)＝3a＋2b－2a－b＝a＋b.
(2)另一个长方形的宽为[(5a＋3b)(a＋b)＋10a＋6b]÷(5a＋3b)＝a＋b＋2.
一天，小明在玩纸片拼图游戏时，发现利用图(a)中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如：图(b)可以解释为等式：(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2.
(1)则图(c)可以解释为等式：__(a＋2b)(2a＋b)＝2a2＋2b2＋5ab__；
(2)如图(d)，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a，b的小正方形及两个长方形，试比较两个小正方形的面积之和S1与两个长方形面积之和S2的大小；
(3)小明取其中的若干张拼成一个面积为a2＋nab＋2b2的长方形，则n可取的正整数值为多少？并在图(e)位置画出拼成的图形．
解：(2)S1＝a2＋b2；S2＝2ab，S1－S2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2＞0(a≠b)，所以可得S1＞S2.
(3)n可取3.当n取3时，a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)，拼图如答图所示．
2016·宁波如图是一个由5张纸片拼成的四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( A )
A．4S1 B．4S2
C．4S2＋S3 D．3S1＋4S3
把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，如图1，可得等式：(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2.
(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a＋b＋c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来；
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，求a2＋b2＋c2的值；
(3)如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连结BD和BF.若这两个正方形的边长满足a＋b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．
解：(1)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.
(2)∵a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，
∴a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋ac＋bc)＝121－76＝45.
(3)∵a＋b＝10，ab＝20，
∴S阴影＝a2＋b2－(a＋b)·b－a2＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－ab＝×102－×20＝50－30＝20.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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