高中试卷答案网湖南省高一年级阶段性诊断考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至第二册第七章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式化简集合A，B，再利用并集的定义求解作答.
【详解】依题意，，，所以.
故选：C
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. －1 B. 6 C. －6 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，和向量共线的坐标表示，求解参数.
【详解】向量，，则，
由，得，解得.
故选：B
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的四则运算可得，进而可求模长.
【详解】∵，则，
∴.
故选：A.
4. 若函数的最大值为4，则函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦函数的值域和的最大值求得，再由余弦型函数的周期公式求的最小正周期.
【详解】由，函数的最大值为4，则，
函数的最小正周期为.
故选：D
5. 从O地到A地的距离为1.5km，从A地到B地的距离为2km，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】由题意可得：，
∵，
故.
故选：B.
6. 在中，角的对边分别是.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦定理得到，再根据余弦定理得到，设，代入计算得到答案.
【详解】，即，故，
，
设，则，解得或（舍去）.
故选：A
7. 设钝角满足，则（ ）
A. B. C. 7 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简求出，再利用同角公式及和角的正切公式求解作答.
【详解】因为，则，
解得，而为钝角，则，，
所以.
故选：D
8. 泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为50m，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD为（ ）
A. 75m B. m C. m D. 80m
【答案】A
【解析】
【分析】中边角关系解出，中由正弦定理解得，中由边角关系解得.
【详解】由已知得为等腰直角三角形，，，
，，则有，
A处测C处的仰角为15°，则，∴，
中，由正弦定理，，即，解得，
中，.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知复数，满足，，则，（ ）
A. B. 在复平面内对应的点位于第三象限
C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出复数，，再逐一计算判断各个选项作答.
【详解】因为，，则，，
解得，A正确；
复数在复平面内对应的点位于第三象限，B正确；
，则为实数，C错误；
，所以的共轭复数为，D正确.
故选：ABD
10. 如图，I，J分别为CD，CE的中点，四边形，，均为正方形，则（ ）
A. B. 在上的投影向量为
C. D. 在上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据可判断；对于B，根据投影向量的定义可判断；对于C，根据与的夹角为可判断；对于D，根据投影向量的定义可判断.
详解】
对于A，由图可知，则，所以，A正确；
对于B，如图，设M，N分别为AB，HG的中点，连接IM，CN，
在上的投影向量为，B正确；
对于C，因为与的夹角为，所以，C错误；
对于D，在上的投影向量为，D正确．
故选：ABD
11. 若，，分别是定义在上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义逐项判断即可.
【详解】若，，分别是定义在上的偶函数、奇函数、偶函数，
则，，
对于函数，则，
则为奇函数；
对于函数，则，
则偶函数；
对于函数，则，
则为偶函数；
对于函数，则，
则为偶函数.
故选：BCD.
12. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，B的角平分线交AC于D，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件及角平分线的定义，利用三角形的面积公式、三角形的内角和定理及锐角三角形限制角的范围，结合正弦定理的边角化及两角差的正弦公式，再利用二倍角的正弦余弦公式及三角函数的性质即可求解.
【详解】因为是角的平分线，
所以.
由题意可知， ,即,
所以，即，
因为为锐角三角形，
所以,
所以，
所以，
所以，即，
所以，即,故A错误；
在中，,即，
因为为锐角三角形，
所以，解得，故B正确；
由正弦定理得,即,
因为，
所以，即，
所以，故C正确；
由正弦定理，
所以
所以
，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】解决此题的关键是利用等面积法及锐角三角形限制角的范围，结合正弦定理的边角化及三角恒等变换，再利用三角函数的性质即可.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知正数a b，，则的最小值为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据题意，结合基本不等式得到，进而可求出结果.
【详解】因为，
所以（当且仅当，即，时取等号），
故的最小值为，
故答案为：
14. 若复数z的虚部小于0，且，则______________．
【答案】
【解析】
【分析】设且，根据，求出，再根据复数的出发运算即可得解.
【详解】设且，
则，
所以，则或（舍去），
所以（舍去）或，
所以，
则.
故答案为：.
15. 已知函数，若在区间内恰好存在两个不同的，使得，则ω的最小值为______________．
【答案】
【解析】
【分析】时有，依题意有，可求ω的最小值.
【详解】函数， 由，则，
时，，
依题意有，解得，
所以ω的最小值为.
故答案为：
16. 已知向量，满足，，且，为任意向量，则的最小值为______________．
【答案】##-2.5
【解析】
【分析】由已知可得向量，夹角为，可取取，，设，利用配方法求的最小值.
【详解】由，，且，设向量，夹角为，
则，由，得，
取，，满足，，且，
设，则，，
，
所以当时，有最小值.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在4×4正方形网格中，向量，满足，，且．
（1）在图中，以A为起点作出向量，使得；
（2）在（1）的条件下，求．
【答案】（1）作图见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）由向量线性运算的几何表示作出向量；
（2）利用向量，为基底，求.
【小问1详解】
，以A为起点作出向量，如图所示，
【小问2详解】
由图中网格可得：，
由，，且
则有
18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）证明：．
（2）若D为BC的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证；
（2）三种情况，在中，利用余弦定理证明即可.
【小问1详解】
已知，由余弦定理可得，
即，又由正弦定理，得，
角A，B为△ABC中内角，所以.
【小问2详解】
△ABC中, ，D为BC的中点，如图所示，
①②③
已知，，求证.
证明：，中，，
解得.
①③②
已知，，求证.
证明：，所以中，.
②③①
已知，，求证：
证明：，在中，由余弦定理，
，所以
19. 已知函数（，且）的定义域和值域都是．
（1）求的值；
（2）求不等式解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对分类讨论，根据函数的单调性可得关于的等式，求解得答案；
（2）由（1）得解析式确定函数单调性，列不等式求解即可.
【小问1详解】
当时，函数在上单调递减，所以，无解；
当时，函数在上单调递增，所以，解得或（舍）；
综上，;
【小问2详解】
由（1）得，，则函数上单调递增，
又，则，解得，
所以不等式得解集为.
20. 如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，，BC⊥CD，E为AD的中点，AC与BE相交于点F．
（1）求△ACD的面积；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）在中用余弦定理求出，再利用诱导公式及三角形面积公式求解作答.
（2）利用余弦定理求出，由正弦定理求出，然后利用和差角及二倍角的三角函数公式求解作答..
【小问1详解】
在中，由余弦定理得：，
由得：，
所以的面积.
【小问2详解】
在中，由（1）知，
由余弦定理得，
由正弦定理，得，
而，即是锐角，则，
在中，，
，
因此，
在中，，即，
，而是锐角，解得，
，在中，，
所以
.
21. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）若方程在上恰有三个不相等的实数根，求的取值范围和的值.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由函数图象可得，，求得，将点代入的解析式，求得，即可求得函数的解析式；.
（2）将问题转化为函数与的图象在上有三个不同的交点，结合图象以及对称性求解即可.
【小问1详解】
解：由函数的图象可得，且，解得，
所以，即，
将点代入的解析式，可得，
解得，
因为，可得，所以.
【小问2详解】
方程在上恰有三个不相等的实数根，
则函数与的图象在上有三个不同的交点，
设交点的横坐标分别为.
函数在上的图象如下图所示：
由图可知，.
由对称性可知，.
故
22. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）若，求的值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理分别求出，再根据三角形内角和定理将用表示，再将所求化简即可得解；
（2）利用余弦定理结合可得，结合基本不等式求出的范围，计算可得，令，再根据二次函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
则；
【小问2详解】
由，
得，
因为，所以，
所以，当且仅当时，取等号，
，
，
令，则，
则，
因为，所以，
所以的最小值为．湖南省高一年级阶段性诊断考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至第二册第七章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. －1 B. 6 C. －6 D. 2
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若函数的最大值为4，则函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
5. 从O地到A地的距离为1.5km，从A地到B地的距离为2km，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，角的对边分别是.已知，则（ ）
A B. C. D.
7. 设钝角满足，则（ ）
A B. C. 7 D.
8. 泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为50m，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD为（ ）
A. 75m B. m C. m D. 80m
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知复数，满足，，则，（ ）
A. B. 在复平面内对应的点位于第三象限
C. 为纯虚数 D. 共轭复数为
10. 如图，I，J分别为CD，CE的中点，四边形，，均为正方形，则（ ）
A. B. 在上的投影向量为
C. D. 在上的投影向量为
11. 若，，分别是定义在上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，B的角平分线交AC于D，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知正数a b，，则最小值为__________．
14. 若复数z的虚部小于0，且，则______________．
15. 已知函数，若在区间内恰好存在两个不同的，使得，则ω的最小值为______________．
16. 已知向量，满足，，且，为任意向量，则的最小值为______________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在4×4正方形网格中，向量，满足，，且．
（1）在图中，以A为起点作出向量，使得；
（2）在（1）的条件下，求．
18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）证明：．
（2）若D为BC的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19. 已知函数（，且）定义域和值域都是．
（1）求的值；
（2）求不等式的解集．
20. 如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，，BC⊥CD，E为AD的中点，AC与BE相交于点F．
（1）求△ACD的面积；
（2）求的值．
21. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）若方程在上恰有三个不相等的实数根，求的取值范围和的值.
22. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）若，求的值；
（2）求的最小值．