高中试卷答案网2023年湖北省新高考协作体高二3月联考
高二数学试卷
一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1. 数列，，，，的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由数列的前几项归纳出数列的一个通项公式即可.
【详解】解：数列，，，，，
所以第项为，所以通项公式为，故A、B、C错误，D正确.
故选：D
2. 已知抛物线上一点到其焦点F的距离等于4，则直线MF的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用焦半径公式求抛物线方程，即可求点的坐标，再求直线的斜率，即可求解.
【详解】依题意可知，∴，，
由条件可知，，
∴，即，，，
∴倾斜角．
故选：C
3. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递增
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数处取得极大值
D. 函数在处取得极大值
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断C、D的结论．
【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；
在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误；
当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误，
故选：A.
4. 在等比数列中，是函数的极值点，则a5＝（ ）
A. 或 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知：是方程的两根，利用韦达定理和等比数列的性质即可求解.
【详解】因为，所以.
又因为是函数的极值点，
即是方程的两根，则有，
由为等比数列可知：，因为，且，所以，则有，所以，
故选：.
5. 正方形的面积及周长都随着边长的变化而变化，则当正方形的边长为3cm时，面积关于周长的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先求出面积y与周长x的函数关系式，然后利用导数的概念即可求解.
【详解】易得正方形的面积y与周长x的函数关系为，
求导得，边长为3，即，故．
故选：B.
6. 正项数列的前n项和为，且，，若直线与圆相切，则（ ）
A. 90 B. 70 C. 120 D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的方程确定圆心与半径，由直线与圆相切可得，即可判断数列为等差数列，根据等差数列的前项和性质即可求得的值.
【详解】圆C的圆心为，半径，由直线与圆相切得：
圆心到直线的距离，整理得，即，
所以为等差数列．
在等差数列中，，，成等差数列，
所以，则，即．
故选：C.
7. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A. 2023 B. 4046 C. 2022 D. 4044
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒序相加法，结合等比数列的下标性质进行求解即可.
【详解】根据等比数列的下标性质由，
∵函数，∴，
令，则，
∴，∴．
故选：B
8. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论错误的是（ ）
A. 点到直线CQ的距离是
B.
C. 平面ECG与平面的夹角余弦值为
D. 异面直线CQ与BD所成角的正切值为
【答案】A
【解析】
【分析】通过空间向量的基底运算可得B的正误，利用空间向量的坐标运算可得A,C,D的正误.
【详解】，所以选项B正确；
如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，
，,
对于A,，，设，则点到直线CQ的距离，所以选项A错误；
对于B, ,；
设平面ECG的法向量的一个法向量为，则，
令可得为，同理可求平面的法向量为，，所以选项C正确；
对于D，因为，，
所以，所以，所以选项D正确．
故选：A.
二、多选题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据求导法则以及基本初等函数的求导公式即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A, ,故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C正确，
对于D，，故D错误，
故选：BC
10. 已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（ ）
A. C的实轴长为4
B. C的离心率为
C. C的焦点到渐近线的距离为
D. 过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条
【答案】AC
【解析】
【分析】根据等比数列求出双曲线的方程，结合选项逐一判断，A,B通过方程可得正误，C通过点线距可得正误，通过最短弦长和对称性可得D的正误.
【详解】因为p，q，r依次成公比为2的等比数列，所以，，即，．
所以C的方程可化为，则，，即，．
对于A，C的实轴长为4，故A正确；
对于B，离心率为，故B错误；
对于C，不妨设焦点坐标为，一条渐近线的方程为，则焦点到渐近线的距离为，故C正确；
对于D，交于同一支时弦长最小值为，交于两支时弦长最小值为．
根据对称性可知过焦点与C相交所得弦长为4的直线有5条，故D错误．
故选：AC.
11. 已知等差数列，其前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 当时最大
C. 使的n的最大值为16
D. 数列中的最小项为第9项
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等差数列的通项性质与前项和性质逐项判断即可.
【详解】∵等差数列，，∴，
又∵，∴，，∴，A正确；
∵，，∴当，，，，所以当时最大，B正确；
∵，∴，，使的n的最大值为15，C错误；
∵当时，，时，；当，，，
∴当时，，当时，，且递减，且递减，
∴最小，故D正确．
故选：ABD.
12. 已知函数的定义域为，导函数为，满足，（e为自然对数的底数），且，则（ ）
A. B.
C. 在处取得极小值 D. 无最大值
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意，构造函数，利用导数可得新函数的单调性，解得函数的解析式，根据导数求得该函数的单调性，可得答案.
【详解】解：设，则，
可设，则，解得，故，即，
令，则，故在上单调递增，
∴，即，则，A正确；
∵，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，
∴，在处取得极小值，无最大值，B、C均错误，D正确．
故选：AD.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13. 已知，，，，若四点共面，则＝_______．
【答案】8
【解析】
【分析】四点共面，则存在唯一的λ、μ使得，据此即可求出x.
【详解】∵，，，，
∴，，，
∵四点共面，则有，即
解得．
故答案为：8.
14. 已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间是__________．
【答案】######
【解析】
【详解】对函数进行求导，
则，因为，
当，，故的单调递增区间是．
故答案为：.
15. 已知双曲线右焦点为，点P，Q在双曲线上，且关于原点O对称．若，且的面积为4，则双曲线的离心率___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件得到和，从而得到，结合对称性得到，利用双曲线定义得到，求出离心率.
【详解】因为双曲线的右焦点，设其左焦点为，
因为，P，Q关于原点O对称，所以，
由的面积为4，所以，得，
又，
故，
所以．
又由双曲线的对称性可得，
由双曲线的定义可得，
所以，
故离心率.
故答案为：.
16. 在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复n次，可得到如图2所示的优美图形（图有多个正三角形），这个过程称之为迭代，也叫递推．在边长为3的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后递推得到如图3所示的图形（图中共有n个正三角形），则图中至少__________个正三角形的面积之和超过．
【答案】7
【解析】
【分析】根据题意，设第n个正三角形的边长为，面积为，第个正三角形的边长为，面积为，然后结合等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设第n个正三角形的边长为，面积为，第个正三角形的边长为，面积为，
易得，由条件可知：，，
又由图形可知：，所以，，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
的前n项和为．
由，解得，所以n最小值为7．
故答案为：7
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，在正方体中，为的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用中位线定理证得，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出与平面的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【小问1详解】
连接直线BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO，如图，
因为在正方体中，底面是正方形，所以O为BD中点，
又因为E为的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以直线平面．
【小问2详解】
根据题意，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，
不妨设正方体的棱长为2，则，，，，
故，，，
设平面的法向量，则，即，
令，则，，故，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角正弦值为．
18. 已知数列的前n项和为，且，___________．请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．.
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】首先由，可得为首项为，公差为1的等差数列.
对于（1），当选①②时，代入，可得数列通项公式，若选③，
由可得数列的通项公式；
对于（2），由（1）可知，则，后利用错位相减法可得答案.
【小问1详解】
，所以，即，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列．
若选①：由，得，即，
解得．所以，即数列的通项公式为，．
若选②：由成等比数列，得，
解得，所以，．
若选③：因为，解得，
所以，．
【小问2详解】
，则，
则，，
两式相减得：，
故，．
19. 已知函数，且．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用可构造方程求得的值，结合可求得切线方程；
（2）利用导数可求得函数的单调性，结合区间端点值和极值可求得在区间上取值情况，进而求出实数的取值范围．
【小问1详解】
∵，∴，解得：，
∴，则，
∴在点处的切线方程为：，
即．
【小问2详解】
由（1）知：，则，
∴当时，；
当时，；
∴在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
∴，，
由，有，即函数与的图像有三个交点，
则有实数m的取值范围为．
20. 已知椭圆的离心率为，焦距为．
（1）求C的方程；
（2）若斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），O为坐标原点，记直线OP，OQ的斜率分别为，；线段PQ的长度为，已知，，依次成等比数列，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据椭圆离心率公式、焦距的定义进行求解即可；
（2）设出直线l的方程代入椭圆方程中，根据一元二次方程根与系数关系、根的差别式，结合直线斜率的公式、等比数列的性质、椭圆弦长公式进行求解即可.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
又，所以椭圆方程；
【小问2详解】
设直线l的方程为，，，
由，消去y，得．
则，且，，
得到m的范围为．
则．
弦长，
，
解得，∵m的范围为，∴，
故直线l的方程为，即．
【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式是解题的关键.
21. 已知正项数列的前项和为，且.
（1）证明：是等差数列.
（2）设数列的前项和为，若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用题意得到，继而得到，两式相减可得即可证明；
（2）由（1）可得，，所以，然后利用裂项相消法可求出，继而分析的单调性即可求解
【小问1详解】
由可得，
当时，
两式相减可得
，
又由可得解得
是以为首项，为公差的等差数列，
【小问2详解】
由（1）可得，，
所以，
所以
因为在内单调递增，所以，单调递增，
因为，，所以满足不等式的正整数的个数为3，的取值范围为
22. 已知函数
（1）若，求的极小值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，恒成立，求的最大整数值．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求导得，然后即可得到的极小值；
（2）由题意得到，令，然后由的正负即可判断函数的单调性；
（3）根据题意可得存在使得，从而得到函数的最小值，从而得到结果.
【小问1详解】
当时，，的定义域为，，
所以在区间，，递减；在区间，，递增．
所以当时，取得极小值．
【小问2详解】
的定义域为，．
令，，
当时，恒成立，所以即在上递增．
当时，在区间，，即递减；
在区间，，即递增．
【小问3详解】
当时，，，
由（2）知，在上递增，，，
所以存在使得，即．
在区间，，递减；在区间，，递增．
所以当时，取得极小值也即是最小值为，
∵，∴，所以．
由恒成立，得，故的最大整数值为．2023年湖北省新高考协作体高二3月联考
高二数学试卷
一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1. 数列，，，，的通项公式为（ ）
A. B.
C D.
2. 已知抛物线上一点到其焦点F的距离等于4，则直线MF的倾斜角为（ ）
A B. C. D.
3. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递增
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极大值
4. 在等比数列中，是函数极值点，则a5＝（ ）
A. 或 B. C. D.
5. 正方形的面积及周长都随着边长的变化而变化，则当正方形的边长为3cm时，面积关于周长的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
6. 正项数列的前n项和为，且，，若直线与圆相切，则（ ）
A. 90 B. 70 C. 120 D. 100
7. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A. 2023 B. 4046 C. 2022 D. 4044
8. 布达佩斯伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论错误的是（ ）
A. 点到直线CQ距离是
B.
C. 平面ECG与平面的夹角余弦值为
D. 异面直线CQ与BD所成角的正切值为
二、多选题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（ ）
A. C的实轴长为4
B. C的离心率为
C. C的焦点到渐近线的距离为
D. 过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条
11. 已知等差数列，其前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 当时最大
C. 使的n的最大值为16
D. 数列中的最小项为第9项
12. 已知函数的定义域为，导函数为，满足，（e为自然对数的底数），且，则（ ）
A. B.
C. 在处取得极小值 D. 无最大值
三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13. 已知，，，，若四点共面，则＝_______．
14. 已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间是__________．
15. 已知双曲线右焦点为，点P，Q在双曲线上，且关于原点O对称．若，且的面积为4，则双曲线的离心率___________．
16. 在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复n次，可得到如图2所示的优美图形（图有多个正三角形），这个过程称之为迭代，也叫递推．在边长为3的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后递推得到如图3所示的图形（图中共有n个正三角形），则图中至少__________个正三角形的面积之和超过．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，在正方体中，为的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知数列的前n项和为，且，___________．请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．.
19. 已知函数，且．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围．
20. 已知椭圆的离心率为，焦距为．
（1）求C的方程；
（2）若斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），O为坐标原点，记直线OP，OQ的斜率分别为，；线段PQ的长度为，已知，，依次成等比数列，求直线l的方程．
21. 已知正项数列的前项和为，且.
（1）证明：是等差数列.
（2）设数列的前项和为，若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围.
22. 已知函数
（1）若，求的极小值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，恒成立，求的最大整数值．