北京市八一名校2023届高三下学期3月月考数学试题（解析版）

2023
2023届北京市八一名校高三下学期3月月考
数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的最小值与最小正周期分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年 1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你预测它在本世纪回归的年份（ ）
A．2042 B．2062 C．2082 D．2092
6．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知p：，，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知是数列的前n项和，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．设、为单位向量，非零向量，，若、的夹角为，则的最大值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
10．已知正方形纸片的边长为2，现将沿对角线旋转，记旋转过程中点 的位置为点，中点分别为，则在旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．直线不可能垂直
B．最大值为
C．旋转形成的几何体是半球
D．存在与平面BOP成角为60°的位置
二、填空题
11．若的展开式中项的系数是，则实数的值是__________．
12．已知角终边经过点，且，则的值为_________．
13．若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为_______．
三、双空题
14．已知函数，．
（1）写出一个的值________，使得函数在上恰有两个零点；
（2）若，，使得，则实数的取值范围是________．
四、填空题
15．设等差数列的各项均为整数，首项，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则关于此数列公差的论述中，正确的序号有__________________.
①公差可以为；
②公差可以不为；
③符合题意的公差有有限个；
④符合题意的公差有无限多个．
五、解答题
16．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题．
(1)若，求的面积;
(2)求的取值范围．
条件①；条件 ②．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
17．如图所示，在多面体中，四边形，，均为边长为的正方形，为的中点，过的平面交于点．
(1)证明：．
(2)求平面与平面成角的余弦值．
(3)直接写出三棱锥的体积．
18．根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示：
受教育程度性别 未上学 小学 初中 高中 大学专科 大学本科 硕士研究生 博士研究生
男 0.00 0.03 0.14 0.11 0.07 0.11 0.03 0.01
女 0.01 0.04 0.11 0.11 0.08 0.12 0.03 0.00
合计 0.01 0.07 0.25 0.22 0.15 0.23 0.06 0.01
(1)已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；
(2)从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为年和年，依据表中的数据直接写出与的大小关系.（结论不要求证明）
19．已知椭圆的一个顶点为，半短轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线，交椭圆于两点（不与重合），若直线的斜率之积为，求的值．
20．已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)证明：任意，.
21．已知无穷数列的各项均为正数，当时，；当时，，其中表示这个数中最大的数．
(1)若数列的前项为1，4，3，8，写出的值；
(2)是否存在，使，且？请说明理由；
(3)设，证明：．
2023届北京市八一名校高三下学期3月月考
数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的特征，将集合中的两个函数联立，解之即可求解.
【详解】因为集合，
联立方程组，解得或，
所以，
故选：.
2．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数运算可求得，根据虚部定义可得到结果.
【详解】由得：，的虚部为.
故选：C.
3．已知，则的最小值与最小正周期分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】利用二倍角公式化简，由正弦型函数最值和最小正周期的求法可求得结果.
【详解】，，最小正周期.
故选：A.
4．已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】根据平行与垂直关系相关定理依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，若，，则可能平行、相交或异面，A错误；
对于B，若，，则与可能平行或相交，B错误；
对于C，由线面垂直性质可知：若，，则，C正确；
对于D，若，，则或，D错误.
故选：C.
5．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年 1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你预测它在本世纪回归的年份（ ）
A．2042 B．2062 C．2082 D．2092
【答案】B
【分析】构造等差数列求出其通项公式，给n赋值即可.
【详解】由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列，
则等差数列的通项公式为，
∴，.
∴可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年.
故选：B.
6．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据反射光线经过圆心和关于轴对称的点，可利用两点式整理得到所求直线方程.
【详解】由圆的方程得：圆心为，
反射光线恰好平分圆的圆周，反射光线经过点；
关于轴对称的点为，反射光线所在直线经过点，
反射光线所在直线方程为，即.
故选：A.
7．已知p：，，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】作差得到，从而得到或且时，满足，从而得到p是q的必要不充分条件.
【详解】，
当时，，故；
当且时，也满足，
故p是q的必要不充分条件.
故选：C
8．已知是数列的前n项和，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得数列的偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，奇数项从开始，是以4为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】因为，，则，，，，，所以数列的偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，奇数项从开始，是以4为首项，以2为公差的等差数列，
所以
，
，
所以，
故选：.
9．设、为单位向量，非零向量，，若、的夹角为，则的最大值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】由已知可得.则当时，有，根据二次函数的性质，即可得出答案.
【详解】.
当时，的值为0，
当时，有
，
当时，有最小值，此时有最大值为.
故选：B.
10．已知正方形纸片的边长为2，现将沿对角线旋转，记旋转过程中点 的位置为点，中点分别为，则在旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．直线不可能垂直
B．最大值为
C．旋转形成的几何体是半球
D．存在与平面BOP成角为60°的位置
【答案】D
【分析】根据题意，结合正方形的相关性质，直线与平面所成的角的定义以及基本不等式逐项进行检验即可判断.
【详解】对于选项，由图可知：旋转过程中点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆面，由正方形的性质可知：平面，因为平面，所以，故选项错误；
对于选项，由圆的性质可得，所以，则当且仅当取等，
所以，则，所以最大值为，故选项错误；
对于，由图可知：旋转形成的几何体是两个等底的半圆锥，故选项错误；
对于，如图所示，当点与点重合时，因为始终有平面，点与点重合，过点作，连接，则即为所求的线面角，此时，且，，随着点的旋转， 逐渐增大，由线面角的定义可知：，所以存在与平面BOP成角为60°的位置，故选项正确，
故选：.
二、填空题
11．若的展开式中项的系数是，则实数的值是__________．
【答案】
【详解】求出展开式的通项，令的系数为可得项的系数，列方程求解即可.
展开式的通项为
令，
可得系数为，
可得．故答案为.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
12．已知角终边经过点，且，则的值为_________．
【答案】##
【分析】根据终边所过点和任意角三角函数定义直接求解即可.
【详解】，，.
故答案为：.
13．若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为_______．
【答案】
【分析】根据双曲线和渐近线方程可得，由可求得离心率.
【详解】由双曲线方程知：实半轴长，渐近线方程为，，
双曲线的离心率.
故答案为：.
三、双空题
14．已知函数，．
（1）写出一个的值________，使得函数在上恰有两个零点；
（2）若，，使得，则实数的取值范围是________．
【答案】 （答案不唯一，只需满足即可）
【分析】（1）分别求得在、和上的单调性和值域，由零点个数可构造不等式组求得的范围，由此可得可能的的取值；
（2）根据能成立的思想可知与的值域交集不为空集，根据正弦型函数和对数函数的值域求法可求得两函数值域，可求得交集为空集时的的取值范围，取补集即可得到结果.
【详解】（1）当时，单调递增，；
当时，单调递减，；
当时，单调递增，；
若在上恰有两个零点，只需或，
解得：或；的一个可能值为（答案不唯一）；
（2）设在上的值域为，在上的值域为，
，，使得，；
当时，，；
当时，，；
若，则或，解得：或，
当时，.
故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）；.
四、填空题
15．设等差数列的各项均为整数，首项，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则关于此数列公差的论述中，正确的序号有__________________.
①公差可以为；
②公差可以不为；
③符合题意的公差有有限个；
④符合题意的公差有无限多个．
【答案】①②③
【分析】取，可利用正整数表示出，利用等差数列求和公式可整理得到，根据各项为正数可确定，由此可讨论得到的值，从而判断出正确结果.
【详解】取，则存在正整数，使得，
则，，又，，解得：；
记，则，
，的各项均为整数，为整数，
又，，，
对任意正整数，总存在正整数，使得，则必有，
即，或或，或或，
公差可以为，可以不为，符合题意的公差有有限个.
故答案为：①②③.
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中的恒能成立问题，解题关键是能够将公差表示为关于正整数的形式，通过各项均为整数的条件，将恒能成立问题转化为公差为整数的问题，从而讨论变量的取值求得结果.
五、解答题
16．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题．
(1)若，求的面积;
(2)求的取值范围．
条件①；条件 ②．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选条件①，则用 “边化角”求解出角，若选条件②，则用 “角化边”求解出角.再利用余弦定理解得，然后代入的面积公式即可得的面积；
（2）由正弦定理用与表示出、，借助辅助角公式结合的内角和化简即可.
【详解】（1）选条件①，，，又，
，而，故；
选条件②，，，
即，，
又，故.
在中，当，，时，
由余弦定理得：，
即，，
所以.
（2）由题设及小问1可知：，，故由正弦定理得：
，，故(当且仅当时等号成立)，
即.
17．如图所示，在多面体中，四边形，，均为边长为的正方形，为的中点，过的平面交于点．
(1)证明：．
(2)求平面与平面成角的余弦值．
(3)直接写出三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）易证得，由线面平行判定知平面，根据线面平行性质可证得结论；
（2）连接，且，可证得，知四点共面，结合二面角平面角定义可知所求面面角为，由长度关系可求得结果；
（3）利用体积桥，结合棱锥体积公式可求得结果.
【详解】（1），，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面，
平面，平面平面，.
（2）连接，且，连接，
四边形为正方形，为中点；
由（1）知：，又为中点，为中点，
，，四边形为平行四边形，
，，四边形为平行四边形，，
四点共面，平面平面；
四边形为正方形，，，
又，平面，平面，
又平面，，
即为平面与平面成角，
，，，，
，即平面与平面成角的余弦值为.
（3）为中点，点到平面的距离为点到平面距离的一半，
又点到平面距离等于点到平面的距离，
点到平面的距离，又，
.
18．根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示：
受教育程度性别 未上学 小学 初中 高中 大学专科 大学本科 硕士研究生 博士研究生
男 0.00 0.03 0.14 0.11 0.07 0.11 0.03 0.01
女 0.01 0.04 0.11 0.11 0.08 0.12 0.03 0.00
合计 0.01 0.07 0.25 0.22 0.15 0.23 0.06 0.01
(1)已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；
(2)从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为年和年，依据表中的数据直接写出与的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】(1);
(2)答案见解析；
(3)
【分析】（1）结合概率乘法的计算公式即可求出结果；
（2）求出X的可能取值，进而求出对应的概率，即可求出结果；
（3）根据平均数的概念即可得出结论.
【详解】（1）因为在该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为硕士研究生的人口所占比例为0.06，
则估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率85％；
（2）该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为大学本科及以上的人口所占比例为0.23+0.06+0.01=0.3，
X的可能取值为0，1，2，
则,
,
,
故X的分布列为
0 1 2
0.49 0.42 0.09
,
（3）由题意，男性平均受教育年限为，
女性平均受教育年限为，
则.
19．已知椭圆的一个顶点为，半短轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线，交椭圆于两点（不与重合），若直线的斜率之积为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据顶点坐标和半短轴长可直接得到椭圆方程；
（2）设，与椭圆方程联立可求得点坐标，根据斜率关系可用替换，得到点坐标，利用两点连线斜率公式可用表示出，从而构造方程求得和的值.
【详解】（1）的一个顶点为，半短轴长为，，，
椭圆的方程为.
（2）由题意知：直线斜率存在且不为，
设，，，
由得：，，则，
即，
直线的斜率之积为，
用替换可得：；
共线，，
整理可得：，即，
故，
.
20．已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)证明：任意，.
【答案】(1)
(2)单调递减区间为，单调递增区间为
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；
（2）求导后，根据的正负即可得到的单调区间；
（3）利用导数可求得的单调性，从而求得，根据最值不同时取得可得到结论.
【详解】（1），，又，
在点处的切线方程为.
（2），
当时，；当时，；
的单调递减区间为，单调递增区间为.
（3）由（2）得：当时，，；
，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
又与不同时取得，当时，.
21．已知无穷数列的各项均为正数，当时，；当时，，其中表示这个数中最大的数．
(1)若数列的前项为1，4，3，8，写出的值；
(2)是否存在，使，且？请说明理由；
(3)设，证明：．
【答案】(1)，，，.
(2)存在，见解析.
(3)见解析.
【分析】（1）根据题意直接写出的值即可；
（2）由题意知，当时，；当时，分析存在，使得，然后将或分拆，写成数列中某两项的和，再结合条件进行推理即可；
（3）要证，则对其通过作差变形，结合题意进行化简即可得证.
【详解】（1）由题意知：，，，.
（2）存在，理由如下：
因为，故存在，使得.
若或，则将或继续分拆，可写成数列中某两项的和，如.依次类推，进行有限次操作后，存在，使得，从而存在，使得，所以.
（3），
由得：
，
.
【点睛】本题考查了数列新定义解问题，证明不等式，等式问题，综合性较强，是难题.

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