高中试卷答案网2023
2023届四川省绵阳市南山名校高三下学期3月月考
数学（理）试题
一、单选题
1．若，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ）
A． B． C． D．
4．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．估计这批产品该项质量指标的众数为45
C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5
5．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活.小明对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺），则至少要买油毡纸（ ）
A．0.99π B．0.9π
C．0.66π D．0.81π
7．2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司openAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．72 B．74 C．76 D．78
8．如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．函数是（ ）
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
11．若函数满足对一切实数恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在三棱锥中，平面，，，M为中点，H为线段上一点（除的中点外），且.当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知向量，，且，则t=____.
14．已知等差数列的前n项和为，若，，则___________
15．已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是______．
16．已知抛物线，其焦点为点，点是拋物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________.
三、解答题
17．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：
分数段 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
人数 1 2 2 8 3 3 1
我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.
（I）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？
（II）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与期望.
18．在①，②，③的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．
(1)求角A；
(2)若，的内切圆半径为，求的面积．
19．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
20．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
21．椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．
22．选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）
23．已知正实数满足．
(1)求的最小值；
(2)当取得最小值时，的值满足不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
2023届四川省绵阳市南山名校高三下学期3月月考
数学（理）试题
一、单选题
1．若，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】求出复数的代数形式，进而可得其对应的点所在象限.
【详解】由得，
复数所对应的点为，位于第一象限
故选：A
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算，，再计算交集得到答案.
【详解】，，
故.
故选：B
3．等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，利用“”法求解.
【详解】因为S3 = a2 +10a1，
所以a2 +a3= a2 +10a1，
即a3= 9a1，即= 9a1，
解得= 9，
又因为a5 = 9，
所以= 9，
解得，
故选：C.
4．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．估计这批产品该项质量指标的众数为45
C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5
【答案】C
【分析】利用各组的频率之和为1，求得的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估计概率值，从而判定D.
【详解】，解得，故A正确；
频率最大的一组为第二组，中间值为，所以众数为45，故B正确；
质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，所以60不是中位数，故C错误；
由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故D正确.
故选:
5．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
6．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活.小明对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺），则至少要买油毡纸（ ）
A．0.99π B．0.9π
C．0.66π D．0.81π
【答案】D
【分析】根据题意可知：该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体.要求该几何体的表面积（除去底面面积），利用圆锥和圆柱的侧面积公式即可求解.
【详解】由题三视图可知该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体.
其中圆锥的母线长为，
则圆锥的侧面积，
圆柱的侧面积，
故总面积为，
所以至少要买油毡纸，
故选：.
7．2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司openAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．72 B．74 C．76 D．78
【答案】B
【分析】由题意得出该指数衰减的学习率模型，根据题意列出不等式，求解即可．
【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为，
当时，，代入得，，解得，
由学习率衰减到以下（不含），得
，
，
，
，
因为，
所以，故G取74，
故选：B．
8．如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．
【详解】，不妨令，，，
，，
又由双曲线的定义得：，，
，
，．
在中，，
又，，
双曲线的离心率．
故选;C
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，可得，可得出，利用展开式通项可知当为奇数时，，当为偶数时，，然后令可得出的值.
【详解】令，可得，则，
二项式的展开式通项为，则.
当为奇数时，，当为偶数时，，
因此，.
故选：A.
【点睛】结论点睛：一般地，若.
（1）；
（2）展开式各项系数和为；
（3）奇数项系数之和为；
（4）偶数项系数之和为.
10．函数是（ ）
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】C
【分析】由奇偶函数的定义，即可判断出为奇函数，再根据的正负判断单调性，求出的最大值，即可求得答案．
【详解】因为定义域为R，且，
所以为奇函数，
又，
令，得或，
即或，
所以当时，，
即时，为增函数，
当时，，
即时，为减函数，
所以，
所以为奇函数，最大值为，故选项C正确，
故选：C．
11．若函数满足对一切实数恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分析出关于点对称，进而求出不等式的解集.
【详解】由，
对上式求导可得，
即，所以关于对称，
因为，
所以图像的开口向上，对称轴为，
由，
得，
解得.
故选：C.
12．如图，在三棱锥中，平面，，，M为中点，H为线段上一点（除的中点外），且.当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用线面垂直的判定定理和性质，可以证明平面，利用三棱锥的等积性，结合基本不等式，这样可以求出，过点C作，取，的中点T，N，连接，，过点T作的平行线交于点O.利用线面垂直的性质和判定定理可以证明出O为三棱锥的外接球的球心，运用正切函数的定义，球的表面积公式进行求解即可.
【详解】在中，因为M为中点，故，且，因为，，所以平面，故，又因为，所以平面，因此，故平面，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，即只需底面面积最大即可.因为，则，故，当且仅当时取等号.在中，，故，过点C作，取，的中点T，N，连接，，过点T作的平行线交于点O.由平面知平面.又平面，故平面.因此O为三棱锥的外接球的球心，由，因为，所以，故，即三棱锥的外接球表面积为.
故选：B
【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积问题，考查了基本不等式的应用，考查了线面垂直的判定定理和性质，考查了数学运算能力.
二、填空题
13．已知向量，，且，则t=____.
【答案】
【分析】由可得：，进而计算求解.
【详解】因为，所以，则有，
又，，所以，解得：，
故答案为：.
14．已知等差数列的前n项和为，若，，则___________
【答案】
【分析】由等差数列片段和的性质知成等差数列，再由等差中项的性质求结果.
【详解】由题设成等差数列，
所以，则，
所以.
故答案为：
15．已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】令，进而原题等价于在单调递增，从而转化为，在上恒成立，参变分离即可求出结果.
【详解】由得，
令，∴
∴在单调递增，
又∵
∴，在上恒成立，即
令，则
∴在单调递减，又因为，
∴．
故答案为：.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
16．已知抛物线，其焦点为点，点是拋物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________.
【答案】##
【分析】通过确定直线过定点M，得到Q在以FM为直径的圆上，将P到Q的距离转化为到圆心的距离的问题，再利用抛物线的定义就可得到最小值.
【详解】将已知直线化为，当时，可确定直线过定点，记为M点.
∵过点F做直线的垂线，垂足为Q，
∴直线，即，
故Q点的轨迹是以FM为直径的圆，半径，其圆心为FM的中点，记为点H，∴，
∵P在抛物线上，其准线为，
∴等于P到准线的距离.
过P作准线的垂线，垂足为R.要使取到最小，即最小，
此时R、P、Q三点共线，且三点连线后直线RQ过圆心H.如图所示，
此时.
故答案为：
三、解答题
17．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：
分数段 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
人数 1 2 2 8 3 3 1
我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.
（I）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？
（II）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与期望.
【答案】（1）；（2）分布列见详解；.
【分析】（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.
（2）由题意可得，再利用二项分布的概率计算公式列出分布列，从而求出数学期望.
【详解】（1）记恰好2名学生都是优秀的事件为，
则.
（2）抽到一名优秀学生的概率为，
X的取值为，
,
,
,
故X的分布列为：
18．在①，②，③的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．
(1)求角A；
(2)若，的内切圆半径为，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
选②，根据已知条件及三角形的内角和定理，再利用两角和的正切公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
选③，根据已知条件及三角形的面积公式，再利用余弦定理的推论及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）若选①，由及正弦定理，得，
即，
即，
所以，
因为,所以，
所以，又,
所以．
若选②，由，得
，
∴，
因为,所以，当时，不存在，
所以，又,
所以．
若选③，因为的面积为，
所以，
即，
所以，又,
所以．
（2）由（1）知，，
∵内切圆半径为，
∴，即
，
由余弦定理，得，即，
所以，
联立，得，解得，
所以．
19．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点是线段的中点
【分析】（1）作出辅助线，得到，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性质得到线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值，确定点位置.
【详解】（1）证明：连接，取线段的中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
在中，
，
又平面，
平面，
又平面
∴平面平面，
在中，，
∵平面平面平面，
平面.
（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以点是线段的中点.
20．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）对函数求导，分和两种情况分别得出函数的单调性；
（2）在上恒成立，可得，即在上恒成立，令，求导研究函数的单调性与极值，利用导函数为零得出，代入不等式，并构造出，利用导数得出的范围，进而求出实数的取值范围．
【详解】（1）根据题意可知的定义域为，
，令，得．
当时，时，，时；
当时，时，，时．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）依题意，，即在上恒成立，
令，则．
对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为，
则两个零点一正一负，设其正零点为，
则，即，
且在上单调递减，在上单调递增，
故，即．
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，故，
显然函数在上是关于的单调递增函数，
则，
所以实数的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数研究函数的单调性和极值以及最值，导数在恒成立问题中的应用，解决本题的关键点是利用导函数为零得出参数与极值点的关系，进而通过构造函数并求导得出函数的值域，进而得出参数的范围，考查学生逻辑思维能力与计算能力，属于中档题．
21．椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）由离心率为可得，又面积的最大值为，联立方程求解即可得答案；
（2）设直线BC方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理可得，又，，当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得，即，根据韦达定理化简可得，从而即可求解.
【详解】（1）解：由题意，设椭圆半焦距为c，则，即，得，
设，由，所以的最大值为，
将代入，有，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）解：设，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，则直线BC不与x轴重合，
设直线BC方程为，与椭圆方程联立得，
，可得，
由韦达定理可得，
直线BA的方程为，令得点M纵坐标，
同理可得点N纵坐标，
当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得，即，
，
由，故，解得．
22．选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）
【答案】（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1） 先根据同角三角函数关系cos2t＋sin2t=1消参数得普通方程：（x－4）2＋（y－5）2＝25 ，再根据将普通方程化为极坐标方程：（2）将代入得得，也可利用直角坐标方程求交点，再转化为极坐标
试题解析： （1）∵C1的参数方程为
∴（x－4）2＋（y－5）2＝25（cos2t＋sin2t）＝25，
即C1的直角坐标方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25，
把代入（x－4）2＋（y－5）2＝25，
化简得：.
（2）C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，C1的直角坐标方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25，
∴C1与C2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.
∴C1与C2交点的极坐标为.
【解析】参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程
23．已知正实数满足．
(1)求的最小值；
(2)当取得最小值时，的值满足不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)9
(2)
【分析】（1）化简，由基本不等式即可求得的最小值
（2）利用绝对值三角不等式即可化简，进而求出实数的取值范围
【详解】（1）由题意
∵，
∴，
∴，
当且仅当，即b＝2a时，a＋b有最小值9，
由4a＋b＝ab，
可求得此时
a＝3，b＝6．
（2）由题意及（1）得
．
∵满足不等式对任意的恒成立，
所以，
解得
∴实数的取值范围为．