高中试卷答案网太原市 2023 年高三年级模拟考试（一）
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题： A C D B A C D C
二、选择题: 9.B C 10.A C D 11.A C 12.A D
2
三、填空题： 13.30 14.1 15. 2 16.
四、解答题：17.解：（1）设{an}的公差为 d ， { Sn }是等差数列， 2 S2 S1 S3 ，
2 2 d 1 3 3d ， d 2， an 2n 1(n N
* )； ………5 分
n(a a )
（2）由（1）得 Sn 1 n n
2
，
2
2
b Sn n 1 (4n
2 1) 1 1 1 1 1
n ( )，………8 分anan 1 (2n 1)(2n 1) 4 (2n 1)(2n 1) 4 8 2n 1 2n 1
n 1 1 1 1 1 1 n2
Tn b b
n
1 2 bn [(1 ) ( ) ( )] . ………10分4 8 3 3 5 2n 1 2n 1 4n 2
2 2 2 3
18.解：（1）选择条件①： sin B sin C sin A( sin B sinC sin A)，
3
sin 2 B sin 2由题意可得 C sin 2 A 2 3 sin Asin B sinC ，
3
2 2
由正弦定理得b c a2 2 3 bc sin A， ………3分
3
2 2
由余弦定理b c a2 2bc cos A 3可得 sin A cos A， tan A 3 ，
3
0 A ， A 60 ； ………6 分
2
选择条件②： cos A cos2 B sin 2 C sin B sinC ，
1 sin 2由题意可得 A 1 sin 2 B sin 2 C sin B sinC，
即 sin 2 B sin 2 C sin 2 A sin B sinC 2 2 2，由正弦定理得b c a bc， ………3 分
2
cos A b c
2 a2 1
由余弦定理得 ，
2bc 2
0 A ， A 60 ； ………6 分
1 2
（2）由（1）得 A 60 ， BD 2CD， AD AB AC，
3 3
2
AD (1 2
2 2
AB AC )2 1 AB 4 4 AC AB AC
3 3 9 9 9
1 c2 4 b2 4 bc cos A 1 c2 4 b2 2 bc 4， ………9 分
9 9 9 9 9 9
36 c2 4b2 2bc 4bc 2bc 6bc， bc 6，
S 1 ABC bc sin A
3 bc 3 3 ，
2 4 2
当且仅当b 3,c 2 3时，△ ABC 3 3的面积取最大值 . ………12 分
2
19 解：（1）取 AD的中点G ，连接 EG,FG ，
F 是 PD的中点， GF // AP，
AP 平面 PAB ， FG 平面 PAB ，
GF //平面 PAB ，
同理可得GE //平面 PAB ， ………3 分
GE GF G，GE 平面GEF ，GF 平面GEF ，
平面GEF//平面 PAB ， EF //平面PAB；………6 分
（2）以点 A为原点， AB， AD所在的直线分别为 x轴， y轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，由题意可得 A(0,0,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，C(2,4,0)，
PA 2，直线 PA 与平面 ABCD的所成角为30 ， 点 P的竖坐标 z 1，
又 PAB 60 ， 点 P的横坐标 x 1，纵坐标 y 2 ， P(1, 2,1)， ………8分
设m (x1, y1, z1)是平面 PAB 的一个法向量，则
m AB ,
m AP，
4x1 0, 令 y1 1，则 z1 2 ， m (0,1, 2)，
x1 2y1 z1 0，
n (x , y n AD ,设 2 2 , z2 )是平面 PAD 的一个法向量，则
n AP，
4y1 0, 令 x1 1，则 z1 1， n (1,0, 1)， ………10 分
x1 2y1 z1 0，
cos m,n m n 2 3 ，
|m || n | 3 2 3
平面 PAB 与平面 PAD 3夹角的余弦值为 . ………12 分
3
20 20 20 20
20.解：（1） xi 60， yi 1200， x 1 xi 3， y 1 yi 60，
i 1 i 1 20 i 1 20 i 1
20
xi yi 20x y
b i 1 4400 20 3 60 20 10， a y b x 60 10 3 30，2
x 2 20x 260 20 3
2
i
i 1
y关于 x的线性经验回归方程为 y 10x 30； ………3分
（2）由（1）得 y 10x 30， 45 10x 30 75， 1.5 x 4.5，
该新药中此药物成份含量 x的取值范围为[1.5,4.5]； ………5 分
（3）（i）设 A “随机抽取一件新药，是设备A生产的”，则 A “随机抽取一件新药，
是设备B生产的”， B “随机抽取一件新药为不合格品”，
P(A) 2 1由题意得 ， P(A) ， P(B | A) 0.009， P(B | A) 0.006，
3 3
P(B) P(A)P(B | A) 2 1 P(A)P(B | A) 0.009 0.006 0.008； ………8分
3 3
（ii）设C “抽到一件不合格的新药，它是设备A生产的”，
P(C) P(A | B) P(AB) P(A)P(B | A) 2 0.009 3则 ， ………10 分
P(B) P(B) 3 0.008 4
X 3设 表示三件不合格新药来自设备A 生产的件数，则 X ～B(3, )，
4
2 3 2 1 3 3 3 27
所求事件的概率为P(X 2) P(X 2) P(X 3) C3 ( ） C3 ( ) . ……12 分4 4 4 32
21.解：（1）由题意可得直线 AB x y的方程为 1，即bx ay ab 0，
a b
AB x2 y 2 12 r ab 2 3 7a 2b2 12(a 2 2直线 与圆 相切， ， b )，
7 a 2 b2 7
2 2 2
c 1 4 7a b 12(a b
2), 2
e a 2 2
a 4,
， b c2 ， a 2 b2 ， 由 4 可得a 2 3 2 2 a b b
2
3, 3
2 2
椭圆C x y的方程为 1； ………4 分
4 3
（2）由题意可设P(x1, y1)，Q(x2 , y2 )，D(x1, y3 )， N (x1, y4 )，
由（1）得 A(2,0) x y x，B(0, 3)，则直线 AB的方程为 1， y 1
2 3 3
3(1 )，
2
直线 AQ的方程为 y y 2 (x 2) y (x ， 1 2)y2 ，
x2 2
4 x2 2
设直线 PQ的方程为 y k(x 2) 3， k 0，
y k(x 2) 3,
由 x2 y2 得 (3 4k
2)x2 8k( 3 2k)x 16(k 2 3k) 0,
1
4 3
x x 8k(2k 3) x x 16(k
2 3k)
1 2 3 4k 2
， 1 2 2 ， ………8 分3 4k
y y (x1 2)y2 (x1 2)y2 (x2 2)y1 3(x1 2)(x2 2)1 4 2y3 y1 3(2 x1) ，x2 2 x2 2
(x1 2)y2 (x2 2)y1 3(x1 2)(x2 2) x1y2 x2y1 2(y1 y2) 3(x1 2)(x2 2)
x1[k(x2 2) 3] x2[k(x1 2) 3] 2(y1 y2) 3(x1 2)(x2 2)
(2k 3)x1x2 (4k 3)(x1 x2) 8k
1
[16(2k 3)(k22 3k) 8k(4k 3)(2k 3) 8k(3 4k
2)] 0，
3 4k
y1 y4 2y3， D是 PN 中点. ………12 分
2
22.解：（1）由题意得 f (x) 1 x ax 1 x a ln x， x 0， f (x) ，
x x
2 2
a 2 f (x) x ax 1 x 2x 1 (x 1)
2
①当 时， 0， f (x)在 (0, )上递增，
x x x
当0 x 1时， f (x) f (1) 0， f (x)在 (0,1)上递减，
当 x 1时， f (x) f (1) 0， f (x)在 (1, )上递增，
f (x)只有一个极值点 x 1，此时不符合题意； ………2 分
a 2 f (x) x
2 ax 1
②当 0 2时，令 ，即 x ax 1 0，
x
m a a
2 4 a a2n 4则 和 是方程 f (x) 0的两个实数解，且0 m 1 n，
2 2
f (x)在 (0,m)和 (n, )上递增，在 (m,n)上递减，且 f (1) 0， ………3 分
f (m) f (1) 0 f (e 2a) e 2a 2a， e 2a2 1 (1 2a 2a2) 2a2 2a 0，
x1 (e
2a ,m)， f (x1) 0， f (x)在 (0,m)上存在唯一零点 x1，
f (n) f (1) 0， f (e2a ) e2a e 2a 2a2 (1 2a 2a2) 1 2a2 2a 0，
x3 (n,e
2a )， f (x3 ) 0， f (x)在 (n, )上存在唯一零点 x3， ………5 分
f (x)在 (0, x1)和 (1, x3)上递减，在 (x1,1)和 (x3, )上递增，记 x2 1，
x1, x2 , x3是 f (x)的三个不同的极值点，且0 x1 x2 1 x3，
综上，实数a的取值范围为 (2， )； ………6 分
（2）由（1）得当a 2时， f (x)有三个不同的极值点 x1, x2 , x3，且0 x1 x2 1 x3，
①要证 x1x2x3 1，只需证 x1x3 1，
f (1 ) 1 x a ln 1 (x 1 a ln x) f (x)，
x x x x
f ( 1 ) f (x ) 0 0 1 1
x 3
， 1， x
x x 1
， x1x3 1. ………8 分
3 3 3
②要证 x1 x2 x3 3(a 1)，只需证 x1 x3 3a 4，
f (x ) x 1 a ln x 0 a ln x x 13 3 x 3
, 3 3 ,
3 x3
1
只需证 ( x3)lnx3 4lnx3 3(x
1
3 ) 0， ………10 分x3 x3
2
令u(x) 1 ( x)ln x 4ln x 3(x 1 )， x 1，则u (x) x 1 [lnx 2(x 1) ]，
x x x2 x 1
v(x) ln x 2(x 1) (x 1)
2
令 ， x 1，则 v (x) 0，
x 1 x(x 1)2
v(x) v(1) 0， u (x) u (1) 0， u(x) u(1) 0，
1
( x3)lnx3 4lnx3 3(x
1
3 ) 0，即 x1 x2 x3 3(a 1). ………12 分x3 x3
注：以上各题其它解法请酌情赋分.4.(1+*+*)1x的展开式中x的系数为
太原市2023年高三年级模拟考试（一）
1.9
B.10
C.24
数学试卷
D:25"4
5,在△ABC中，A=牙BD上AC,D为垂足，若AC=4BD,则coB=
考试时间：下午3：00一5：00)
A罗
B.3
5
注意东项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
c.-2v3
5
D.23
5
图
2,回答第I卷前，考生务必将自己的姓名，考试编号填写在答题卡上。
6.算盘是中国传统的计算工其，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以染，梁上
3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂燥，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠染上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，
4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
在百位档拨一颗下珠，十位档拨一期上珠和两颗下珠，则装示数字170.若在个，十、百、
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各按一颗下珠，则所拨数字大
于200的概率为
千百十个
位位位位
第I卷
1
2
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
c
D.
合题目要求的
1
1.已知华合A={x2<1,B={xlgx1,则AUB=
3+6c+5*-
7.已知函数f(x)=
若函数g(xj=[f(x)下-(m+2)f八x)+2m恰有
2(x+1)
A.（-1,2]
B.(0,1)
>-1,
C,(-,1j
D.(-0,2]
5个零点，则实数m的取值范围为
A.(-1,2)
B.(-,0)
2,设复数x满足(g+)(:-)=1+2(i为虚数单位)，则x=
A.±V2m
B.±2i
c@,
D.(2)
8.已知f”(x),g'(x)分别为定义在R上的函数f(x)和g(x)的导函数，且f(x)-g(x)=1,
C.-1-或1+i
D,-1+或1-i
f(x)+g(2-x)=1,若g(x)是奇函数，则下列结论不正确的是
3.已知等比数列{a,}的前2项和为24,1-a4=6,则4，=
A.函数f(x)的图象关于点(1,1)对称
A.1
B.函数(x)的图象关于直线x=1对称
C.g'(0)=0
D时
D.f(-3)=1
高三数学第1页（共8页）
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