高中试卷答案网2023届高考数学三轮冲刺卷：利用导数研究函数的最值
一、选择题（共20小题；）
1. 函数 的最大值是
A. B. C. D.
2. 若方程 在 上有解，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
3. 函数 （ 为自然对数的底数）在区间 上的最大值是
A. B. C. D.
4. 函数 的最大值是
A. B. C. D.
5. 函数 ，若对于区间 上的任意 ，，都有 ，则实数 的最小值是
A. B. C. D.
6. 已知函数 ，则
A. 是 的极大值也是最大值
B. 是 的极大值但不是最大值
C. 是 的极小值也是最小值
D. 没有最大值也没有最小值
7. 设直线 与函数 的图象分别交于点 ，则当 达到最小时 的值为
A. B. C. D.
8. 函数 ， 的最大值是
A. B. C. D.
9. 函数 在区间 上的值域为
A. B. C. D.
10. 已知 ，对任意的 ，给出以下四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中正确的是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
11. 函数 的最大值为
A. B. C. D.
12. 若函数 在区间 上的最大值为 ，则其最小值为
A. B. C. D.
13. 把长为 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是
A. B. C. D.
14. 函数 的最大值是
A. B. C. D.
15. 函数 的最小值是
A. B. C. D.
16. 已知函数 与函数 的图象上至少存在一对关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
17. 已知函数 ， 是函数 的导数，且函数 的图象关于直线 对称，若 在 上恒成立，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
18. 若函数 在区间 上存在最小值，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
19. 在区间 上的最大值是
A. B. C. D.
20. 若对任意的正实数 ，不等式 恒成立，则正整数 的最大值为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；）
21. 在 上的最大值是 ．
22. 如果对于函数 定义域内任意的 ，都有 （ 为常数），称 为 的下界，下界 中的最大值叫做 的下确界．定义在 上的函数 的下确界 ．
23. 若函数 在 内有最小值，则实数 的取值范围为 ．
24. 设直线 与函数 ， 的图象分别交于点 ，，则当 达到最小时 的值为 ．
25. 已知函数 （， 为自然对数的底数），若对任意正数 ，，当 时都有 成立，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 已知函数 ，其中 是自然对数的底数，．
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，求函数 的最小值．
27. 已知函数 ，其中 为常数，且 ．
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的值；
（2）若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的值．
28. 证明：．
29. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 上的最小值是 ，求 的值．
30. 已知函数 ，，且函数 与 的图象至多有一个公共点．
（1）证明：当 时，；
（2）若不等式 对题设条件中的 ， 总成立，求 的最小值．
答案
1. A 【解析】，令 ，解得 ，
在 上单增，在 单减，．
2. A 【解析】令 ，则 ．因为当 时，，当 时，，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且图象是连续的．又因为 ，所以方程 在 上有解，只需 且 ，得 ．
3. D
4. A
5. A
【解析】因为 ，令 ，得 ，且 ，所以在区间 上 ，由题意知，在 上，，所以 ，则实数 的最小值为 ．
6. A 【解析】由题意得 ，当 时，，函数 单调递增；当 或 时，，函数 单调递减，所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，又 ，，当 时，，当 时，，所以 无最小值，有最大值，且 是 的极大值，也是最大值．
7. D 【解析】由题可得 ，不妨令 ，则 ，令 解得 ．
因为当 时，，当 时，，
所以当 时， 达到最小，即 ．
8. D 【解析】函数 的导数为 ，
由 ，可得 （ 舍去），
在 递增， 递减，
可得 在 处取得极大值，且为最大值 ．
9. A 【解析】，
当 时，，
所以 是 上的增函数．
所以 的最大值在 处取得，，
的最小值在 处取得，．
所以函数值域为 ．
10. D
【解析】由已知 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 在 ，是减函数，
所以 ；故 ②④ 正确．
11. A 【解析】令 ，，
当 时，；
当 时，，，
在定义域内只有一个极值，
所以 ．
12. B 【解析】．
由 ，得 或 ．又 ，
，
，．
由 ，得 ，
所以 ．
13. D 【解析】设一个三角形的边长为 ，则另一个三角形的边长为 ，两个三角形的面积之和为
．
令 ，则 ，
所以 ．
14. A 【解析】，
令 ，则 （舍去）或 ，
，，
，
所以 在 上的最大值为 ．
15. D
【解析】 的定义域为 ， 的导数 ．
令 ，解得 ；令 ，解得 ．
从而 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以，当 时， 取得最小值 ．
16. D 【解析】由题意知方程 在 上有解，等价于 ．
令 ，则 ．
令 ，得 ，则由 ，，，比较大小知 ，．
所以实数 的取值范围是 ．
17. C 【解析】依题意可得 ，
因为 的图象关于直线 对称，
所以 ，解得 ，
故 ，
因为 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
因为函数 在 上单调递减，
所以函数 在 上的最大值为 ，
所以 ，
故实数 的取值范围为 ．
18. C 【解析】由题意，得 ，
故 在 ， 上是增函数，在 上是减函数，
作出其图象如图所示，
令 得， 或 ，
则结合图象可知，
解得 ．
19. C
20. B
【解析】当 时，有 ，所以正整数 的可能取值为 ，．
当 时，不等式为 ，即 对任意的 恒成立．
记 ，则 ，
显然 ，所以当 时，，函数 单调递减；
当 ，，函数 单调递增．
所以 ，所以当 时，对任意的正实数 ，不等式 恒成立，
所以正整数 的最大值为 ．
21.
22.
【解析】根据下确界的定义，满足函数的最小值大于 ，函数 在定义 上单调递增， 时，函数有最小值 ，即函数的下确界为 ．
23.
【解析】，
由于 在 内有最小值，故 且 的解为 ，，同时 ，
所以 ．
24.
【解析】当 时，，，
所以 ．
所以 ．
当 时，；
当 时，．
所以 在 时有最小值．
25.
【解析】依题意得，对于任意的整数 ，，当 时，都有 ，
因此函数 在区间 上是增函数，
于是当 时，，即 恒成立．
记 ，，则有
在区间 上是增函数， 的值域是 ，
因此 ，．
故所求实数 的取值范围是 ．
26. （1） 因为 ，，
所以 ．
令 ，得 ．
当 变化时， 和 的变化情况如下：
故 的单调减区间为 ；单调增区间为 ．
（2） 由（1），得 的单调减区间为 ；单调增区间为 ．
所以当 ，即 时， 在 上单调递增，故 在 上的最小值为 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增，故 在 上的最小值为 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，故 在 上的最小值为 ．
所以函数 在 上的最小值为
27. （1） ，
因为曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
所以 ，即 ，解得 ．
（2） （ⅰ）当 时， 在 上恒成立，这时 在 上为增函数，
，不合题意，舍去．
（ⅱ）当 时，由 得，，
时有 ， 在 上为减函数；
时有 ， 在 上为增函数．
．
令 ，得 ，满足题意．
（ⅲ）当 时， 在 上恒成立，这时 在 上为减函数，
，不合题意，舍去．
综上所述，．
28. 设 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上是增函数，
又 ，，
所以在 上存在 使 ，即 ，
所以在 上 单调递减，在 上 单调递增，
所以 在 处有极小值，也是最小值，
所以 ，
故 ，即 ．
29. （1） 易得函数 的定义域为 ，
．
因为 ，，
所以 ．
故函数在其定义域 上单调递增．
（2） 当 时，分如下情况讨论：
①当 时，，则函数 在 上单调递增，其最小值为 ，与函数在 上的最小值是 矛盾，舍去；
②当 时，函数 在 上单调递增，其最小值为 ，同样与已知矛盾，舍去；
③当 时，函数 在 上有 ，在 上有 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以，函数 的极小值，也是最小值为 ，由 ，得 ．
④当 时，函数 在 上有 ，此时 单调递减，其最小值为 ，与已知矛盾，舍去；
⑤当 时，显然函数 在 上单调递减，其最小值为 ，与已知矛盾，舍去．
综上所述， 的值为 ．
30. （1） 由题意得 恒成立．
所以 ，
所以 ，
所以 ，．
又 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，，
所以当 时，．
（2） 由（1）得，．
当 时，，
令 ，则 ，．
而函数 的值域是 ．
因此，当 时， 的取值集合为
当 时，由（1）知，，．
此时 或 ，．
从而 恒成立．
综上所述， 的最小值为
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