高中试卷答案网东华松山湖高级中学2022-2023学年高一下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．设命题命题则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知角终边在第四象限,且,则（ ）
A． B．3 C． D．2
5．△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且，，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则 B．若，则为等腰三角形
C．若，则是钝角三角形
D．若，则符合条件的有两个
10．记函数，其中．若，则（ ）
A． B． C．为奇函数 D．为奇函数
11．若，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，.则下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知A，B，C三点共线，若，则______．
14．已知函数（且）的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则_______．
15．第二次古树名木资源普查结果显示，我国现有树龄一千年以上的古树10745株，其中树龄五千年以上的古树有5株．对于测算树龄较大的古树，最常用的方法是利用碳－14测定法测定树木样品中碳－14衰变的程度鉴定树木年龄．已知树木样本中碳－14含量与树龄之间的函数关系式为，其中为树木最初生长时的碳－14含量，n为树龄（单位：年），通过测定发现某古树样品中碳－14含量为，则该古树的树龄约为________万年．（精确到0.01）（附：）．
16．已知函数，
（1）当方程有三个不同的实根，______.
（2）当方程有四个不同的实根，且，，，，满足，则的值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量，且与的夹角为．
(1)求； (2)若与垂直，求实数的值．
18．在中，内角的对边分别为，已知.
(1)求角A的大小； (2)若，求的面积.
19．已知函数，其中.且.
(1)求函数的定义域；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)若，求使成立的的集合.
20．已知函数，．
(1)当时，求的最值；
(2)若的最小值为，求实数的值．
21．在①；②；③.三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.
在中，内角A B C的对边分别为a b c，的面积为S，且满足___________
(1)求A的大小；
(2)设的面积为，点D在边上，且，求的最小值.
22．本市某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在其水平截面图为矩形，它的宽为2.4米，车厢的左侧直线与中间车道的分界线相交于、，记．
(1)若大卡车在里侧车道转弯的某一刻，恰好，且、也都在中间车道的直线上，直线也恰好过路口边界，求此大卡车的车长．
(2)若大卡车在里侧车道转弯时对任意，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值．
(3)若某研究性学习小组记录了这两个车道在这一路段的平均道路通行密度（辆/km），统计如下：
时间 7:00 7:15 7:30 7:45 8:00
里侧车道通行密度 110 120 110 100 110
外侧车道通行密度 110 117.5 125 117.5 110
现给出两种函数模型：① ②;
请你根据上表中的数据，分别对两车道选择最合适的一种函数来描述早七点以后的平均道路通行密度（单位：辆/km）与时间（单位：分）的关系（其中为7:00后所经过的时间，例如7:30即分），注意两个车道不用同一种模型，并根据表中数据求出相应函数的解析式．
东华松山湖高级中学2022-2023学年高一下学期3月月考
数学答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A A B D D C A AC BD BC BCD
填空题
13.； 14. ; 15. ； 16. 0或2； 12
三、解答题
17．解：（1）因为，且与的夹角为，
所以. 3分
因为，故，解得或（舍）． 5分
所以，则． 7分
（2）因为，与垂直，
所以，即，解得． 10分
18．解：（1）因为，
所以由得， 2分
则，即， 3分
又，所以，则， 4分
又，故.（不写A范围，扣1分） 6分
（2）因为，所以， 8分
所以，解得， 10分
所以的面积. 12分
19．解：（1）要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为； 2分
是奇函数， 3分
理由如下：函数的定义域关于原点对称， 4分
，是奇函数. 6分
（3）若，解得：， 8分
9分
若，则，， 11分
故不等式的解集为. 12分
解：（1）时
关于对称，
当时，单调递减，当时，单调递增． 2分
，，
∴． 4分
（2），
对称轴为，函数图象开口向上， 5分
①当时，在上单调递增，
所以，即，∴； 7分
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，无解； 9分
③当时，在上单调递减，
所以，即，∴， 11分
综上，当时，或． 12分
21．解：（1）选①，由，由正弦定理得， 1分
中，∴， 3分
，则， 4分
所以，，可得，则， 5分
因此，； 6分
选②，， 3分
，则， 4分
∴，得； 6分
选③，，由正弦定理和切化弦得
，中， 2分
∴ 3分
中，， 5分
∴ 6分
（2）由，有， 7分
由，有， 8分
∴， 10分
等号成立时即， 11分
∴的最小值为. 12分
22．解：（1）作，垂足为，作，垂足为，
因为，所以，
在中，，在中，，
在中，，在中，，
所以 2分
（2）因为，所以，，，，
所以
4分
令，则，
所以，， 5分
所以， 6分
设，则，所以，
易知在单调递增，且，
所以在单调递减，
所以，当，即时，取最小值，
所以，若大卡车在里侧车道转弯时对任意，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值为. 8分
（3）由表可得，里侧车道通行密度有最大值和最小值，适用模型，
易得，所以，又,，
所以； 10分
而外侧车道通行密度关于对称，左侧递增，右侧递减，适用模型，
易知，代入，得，
所以. 12分