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数学试题 2023.3
一、单选题（本大题共 8小题，共 40分）
1.如图所示，D 是 ABC的边 AB 上的中点，
记BC a ，BA c ，则向量CD ( )
1 1 1 1
A. a c B. a c C. a c D. a c
2 2 2 2
1 tan15
2.计算
1 tan15
3 3
A. 3 B. 3 C. D.
3 3
3.已知 ABC是边长为 2 的等边三角形，则CA AB
A. 2 B. 2 3 C. 2 D. 2 3
4.已知 a 4, b 3,(2a 3b) (2a b) 13，求a与b 的夹角 .
2
A. B. C. D.
6 4 3 3
1
5.已知 sin x ，则sin 2x
6 3 6
4 2 2 7 2
A. B. C. D.
9 9 9 9
6.若平面向量 a,b,c两两的夹角相等，且 a 2, b 2, c 3，则 a b 2c
A. 2 B.10 C.5或2 D.10或4
7.已知 ABC的外接圆圆心为 O,且2AO AB AC, OA AB ,则向量CA在向量
BC上的投影向量为（ ）
1 3 1 3
A. BC B. BC C. BC D. BC
4 4 4 4
8．如图，已知扇形 AOB的半径为 2 ，其圆心角为 ，四边形PQRS
4
是该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为 ( )
2 3 3
A. 2 1 B. 2 2 2 C. D.
3 6
二、多选题（本大题共 4小题，共 20分）
9.下列关于向量的命题正确的是( )
a
A．对任一非零向量 a ， 是一个单位向量
| a |
B.对任意向量 a,b ， | a b | || a | | b || 恒成立
C.若 a b 且 c b ，则 a c
3 2
D.在 OAB 中，C 为边 AB 上一点，且 AC : CB 3: 2，则OC OA OB
5 5
10.已知 A 2,3 ，B 4, 3 ，点 P 在直线 AB 上，且 AP 2 PB ，求点 P 的坐标．( )
10
A. 6, 9 B. , 1 C. 8, 15 D. 5, 6
3
11.已知函数 f (x) 2sin2 x 3 sin 2x 1，则( )
A. f (x) 在[0, ]内有 2 个零点
B. f (x) 在 (0, ) 上单调递增
8
C. f (x) 的图象可由 y 2sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到
6
D. f (x) 在[ ,0]上的最大值为1
2
12.已知函数 f (x) 2sin( x )( 0,0 | | ), x 为函数的一条对称轴，且
2 2
3 3
f ( ) 3.若 f (x) 在 ( , )上单调，则 的取值可以是( )
8 8 4
4 8 16 20
A. B. C. D.
3 3 3 3
三、填空题（本大题共 4小题，共 20分）
13 若 a (2,3)与b (2x, 6)共线，则 x
14.已知函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0,| | ) 的部分图象如图所示，点
2
3 7
(0, ) ， ( ,0)， ( ,0) 在图象上求 f ( ) .
2 3 3
15.求 sin160 3 3 tan50 .
16.已知 ABC的外接圆圆心为 O, H 为 ABC的重心且 AB 4, AC 6 则
OA HB HC .
四、解答题（本大题共 6小题，共 70分，17题为 10分，18至 22题为 12分）
17．已知 | a | 1,| b | 1，且向量 a 与b 不共线.
(1)若 a 与b 的夹角为120 ，求 (3a b) (a b)；
(2)若 a 与b 的夹角为 60 且向量 a kb 与 ka 2b 的夹角为锐角，求实数 k 取值范围.
1 1 2
18．已知函数 f (x) sin x sin x+ 的最小正周期为 ；
6 2 2 3 2
(1) 求函数 f (x) 的解析式；
(2) 求函数 f (x) 的单调递增区间.
19．已知a 2cos x,cos x ,b ( 3 sin x, 2cos x)函数 f (x) a b m 1在区间
0, 上的最大值为 5，
2
（1）求常数m的值；
（2）当 x R 时，求使 f x 4成立的 x 的取值集合.
20.如图，一个半径为 4m 的筒车按逆时针方向每分转 2 圈，
筒车的轴心O距离水面的高度为 2m.设筒车上的某个盛水筒P
到水面的距离为 d（单位：m）（在水面下则 d 为负数），若以
盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间.
（1）求 d 与时间 t（单位：s）之间函数关系
d Asin( t ) K A 0, 0,
2 2
（2）在（1）的条件下令 f (x) Asin x ， f (x)的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标
30
1
变缩小为原来的 得到函数 g(x)，画出 g(x)在 0, 上的图像
4
1 1
21.在 OPQ 中，OA OP，OB OQ，QA 与 PB 相交
2 4
于点 C，设OP a ，OQ b.
(1)用 a ，b 表示OC ；
(2)过 C 点作直线 l 分别与线段 OQ，OP 交于点 M，N，设OM O Q ，ON OP ，
求 3 的最小值.
22．已知函数 f (x) sin 2x+ 2msin x 2m；
4
（1）当m 1时，求函数 f (x) 的值域；
（2）当 x , 时 f (x) 0恒成立，求m的取值范围；
4 4 高一年级 3月份质量检测
数学试题参考答案 2023.3
一、 单选题
1-8CDAC CDDB
二、多选题
9.AC 10.AB 11.ABD 12.AD
三、填空题
3 3 26
13 2 14. 15. 3 16.
2 3
四、解答题
17．解： (1) a 与b 的夹角为120 ，
-1 -1
a b | a || b | cos120 1 1 .
2 2
2 2 1 (3a b) (a b) 3a 2a b b 3 2 1 1
2
(2) 向量 a kb 与 ka 2b 的夹角为锐角，
(a kb) (ka 2b) 0 ，且不能同向共线，
k 2 2
(a kb) (ka 2b) 3k 0 ， k 2
2
解得3 7 k 2或 2 k 3 7.
实数 k 的取值范围是 (3 7, 2) ( 2,3 7).
1 1
18．解：（1） f (x) sin + x sin x
6 2
2 6 2
1 1
sin x cos x
2 6 2 6
1 1 5
2 sin x 2 sin x ，
2 6 4 2 12
2
8
因为最小正周期为 ，所以 2
2
2
5
所以 f x 2 sin 4x
12
5 k 11 k
由 2k 4x 2k ,k Z ，得 x ,k Z ，
2 12 2 2 48 2 48
k 11 k
∴单调递增区间为 , ,k Z .
2 48 2 48
19．解： f (x) a b m 1
f (x) 3 sin 2x 2cos2 x m 1 3sin 2x 1 cos2x m 1
2sin 2x m， x 0, 2
，
6
7 1
2x , ， sin 2x 1， 6 6 6 2 6
所以函数 f (x) 的最大值为2 m，
2 m 5 ，m 3，
（2）由（1）得 f (x) 2sin 2x 3 ，
6
1
由 f x 4得 sin(2x )
6 2
5
2k 2x 2k ， (k Z) ．
6 6 6
解得： k x k ． (k Z)
3
f (x) 成立的 x的取值集合是 x | k x k ,k Z ．
3
20.（1）d Asin( x ) K 振幅A 即为半径，即 A 4；
2 2
因为逆时针方向每分转 1.5 圈，所以 ；
60 15
d d 4 2 (2 4)
K max min 2；
2 2
1
t 0,d 0 0 4sin 2 sin ， =-
2 6
d 4sin( t- ) 2 A 0, 0,
15 6 2 2
（2） g(x) sin 2x 列表如下
6
3 13
2x 2
6 6 2 2 6
5 2 11
x 0
6 12 3 12
1 1
f (x) 1 0 1 0
2 2
描点连线，图象如图.
21.解： (1) A，C，Q 三点共线，设 AC=k AQ ，
即OC OA k(OQ OA)，
(1-k)
OC=k OQ+(1-k) OA=kb+ a.
2
同理由 P，C，B 三点共线可得：
(1-t)
OC=t OP+(1-t) OB=ta+ b ，其中 k,t R ，
4
1 k
t 2 1 3
根据平面向量基本定理知： ，解得得 k= ， t=
1 t 7 7k
4
3 1
OC= a + b .
7 7
(2)由 N，C，M 三点共线，
OC x OM (1 x) ON
x b (1 x) a.
3 1
又由 (1)知OC= a + b ，
7 7
1
x 7
所以
3 1 x
7
3 1
故 + =1.
7 7
3 1 6 9 6 9 12 2 6
3 + = + 2 当且仅当 ,
7 7 7 7 7 7 49 7 7 7
12
故 3 的最小值为 .
7
22.解：（1）当m 1时，
f (x) sin 2x+ 2 sin x 2 2sin xcos x sin x cos x 2
4
2 t 1
t sin x cos x 2 sin x , t 2, 2 ,sin xcos x
4 2
y t2 1 t 2 t2 t 3
1 13
t 时 ymin ， t 2 时 ymax 2 1
2 4
13
f (x) 的值域为 , 2 1 .
4
（2） f (x) sin 2x+ 2msin x 2m 2sin xcos x m sin x cos x 2m 0
4
2sin xcos x
m
x , ，令 t sin x cos x 2 sin x
0, 2
2- sin x cos x 4 4 4
t 2
2
1 2 t 4 2 t 3 3
m 2 t 4
2 t 2 t 2 t
3 3
2 t 4 2 3 4当且仅当 2 t t 2 3 0, 2
2 t 2 t
故m 2 3 4 .