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2023春人教版七下数学期中考试押题卷2（B卷）
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．（2021春·广东汕尾·七年级统考期末）（ ）．
A． B．4 C． D．2
【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义．解题的关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 ．
2．如图，若数轴上的点A，B，C，D分别表示数，1，2，3，则表示数的点应在（ ）
A．点A与点O之间 B．点O与点B之间
C．点B与点C之间 D．点C与点D之间
【答案】B
【分析】先估算出的值，再确定出其位置即可．
【详解】∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，即-4＜＜-3，
∴0＜＜1，
∴表示数的点应在点O与点B之间．
故选：B．
【点睛】本题考查的是实数与数轴．熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，能够正确估算出的值是解答此题的关键．
3．（2022春·广东揭阳·七年级校考期末）如图，已知，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分，若∠1=50°，则∠2等于( )
A．50° B．60° C．65° D．75°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和角平分线性质可求．
【详解】解：∵，
∴∠1+∠BEF=180°，∠2=∠BEG，
∴，
又∵EG平分∠BEF，
∴，
∴∠2=65°．
故选：C．
【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的性质，解题关键在于掌握两直线平行，内错角相等和同旁内角互补这两个性质．
4．（2023春·河北邯郸·七年级统考阶段练习）如图， ，，则图中与互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据，，可得与互余，与互余，与互余．
【详解】解：∵，
∴与互余，
又∵，
∴与互余
∵，
∴，
又∵与互余，与互余
∴与互余，与互余
∴与互余的角有4个，
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是两角互余和为90°．
5．（2022春·河北张家口·七年级统考期末）如图，，平分，若，那么度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的性质即可求得．
【详解】解：
∴，
平分，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握和运用角平分线的定义和平行线的性质是解决本题的关键．
6．（2021春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）下面给出的结论中，①立方根等于算术平方根的是0；②在同一个平面内，经过一点可以画一条直线和已知直线平行；③；④若，则；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角；⑥经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直；⑦若ab，，那么；⑧是的平方根，其中不正确的说法有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】根据立方根与平方根的定义可以判断①③④⑧，根据平行线的性质与垂线的性质可以判断②⑥，根据邻补角与角平分线的定义可以判断⑤，根据平行线的性质可以判断⑦，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做 a的立方根．
【详解】解：①立方根等于算术平方根的是0和1，故①不正确，
②在同一个平面内，经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，故②错误；
③，故②不正确，
④若，则，故③不正确，
⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角，故⑤正确；
⑥同一平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直，⑥不正确，
⑦若ab，，那么，⑦正确
⑧是的平方根，⑧不正确
有6个不正确，
故选C
【点睛】本题考查了立方根与平方根的定义，平行线的性质与垂线的性质，邻补角与角平分线的定义，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．（2022·湖南永州·统考模拟预测）在﹣2、﹣、、、π中，无理数有 _____个．
【答案】3
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【详解】解：-2是整数，不是无理数，﹣是无理数；是分数属于有理数；是无理数，π是无理数；则无理数数有3个．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π、2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001..等有这样规律的数都属于无理数．
8．在平面直角坐标系中有一点A（2–a，2a+3），点A到x轴的距离等于到y轴的距离，则a=__________．
【答案】或﹣5
【分析】根据题意可得，即，分别解方程即可求出a的值．
【详解】解：根据题意，得：，即，
当时，解得：；
当时，解得：；
∴a=或﹣5．
故答案为：或﹣5．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离和简单的一元一次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
9．（2002秋·重庆·七年级重庆市大坪中学校校考阶段练习）对于实数p，q， 我们用符号min｛p， q｝表示p，q两数中较小的数，如min ｛1，2｝=1，若min｛2x+1， 1｝=x， 则x=___.
【答案】x=-1或x=1
【分析】根据题意，对2x＋1和1的大小分类讨论，再根据题意分别列出方程即可求出结论．
【详解】解：当2x+1＜1，即x＜0时，
min｛2x+1， 1｝=2x+1
∴2x+1=x
解得：x=-1；
当2x+1＞1，即x＞0时，
min｛2x+1， 1｝=1
∴x=1；
综上所述：x=-1或x=1
故答案为：x=-1或x=1．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握题意和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
10．（2021·湖北随州·统考中考真题）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数……现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为______．
【答案】
【分析】根据“调日法”的定义，第一次结果为：，近似值大于 ，所以，根据第二次“调日法”进行计算即可.
【详解】解：∵
∴第一次“调日法”，结果为：
∵
∴
∴第二次“调日法”，结果为：
故答案为：
【点睛】本题考查无理数的估算，根据定义，严格按照例题步骤解题是重点．
11．（2022·安徽·模拟预测）对于实数x，规定表示不小于x的最小整数，例如，，；若，则x的取值范围是____．
【答案】﹣3＜x≤﹣2
【分析】根据[x]表示不小于x的最小整数，即可得答案．
【详解】解：∵[x]= 2，
∴﹣3＜x≤﹣2，
故答案为：﹣3＜x≤﹣2．
【点睛】本题考查了新定义最大整数问题，掌握[x]表示不小于x的最大整数的定义，也可以结合数轴来判断．
12．（2022秋·河南许昌·七年级统考期中）若有理数、使得，，，这四个数中的三个数相等，则__________．
【答案】
【分析】根据中分母不为零，得到，从而，分两类讨论：①；②，求出有理数、，代入代数式求解即可得到答案．
【详解】解：中分母不为零，
，
，
分两种情况：
①，即，
两个方程相乘得到，即或者
当时，，不合题意，舍去；
当时，，代入，得到，解得，；
②，即，
两个方程相乘得到，即或者
当时，，不合题意，舍去；
当时，，代入，得到，
解得，；
，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数求值，涉及分数分母不为零、解方程、求绝对值等知识，根据题意求出有理数、是解决问题的关键．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．已知：如图，在中，点D，E，F分别在边上，与相交于点H，且，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据，推出，得到，由此可得结论．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定及性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
14．（2022春·河南安阳·七年级校考期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店，点C表示图书馆．
(1)请画出学校A到书店B的最短路线．
(2)在公路l上找一个路口M，使得的值最小．
(3)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线，并用所学知识描述小路的方向．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据两点之间线段最短求解即可；
（2）根据两点之间线段最短求解即可；
（3）根据点到直线垂线段最短求解即可．
【详解】（1）如图所示，连接，线段即为所求，
（2）如图所示，连接，交l于点M，点M即为所求，
（3）如图所示，过点A作交l于点D，线段即为所要求作的小路，
方向为从A向垂直于l的方向．
【点睛】此题考查了作线段，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短和点到直线垂线段最短．
15．（2023春·河北邯郸·七年级统考阶段练习）如图，已知∠1=52°，∠2=128°，∠C=∠D．求证：∠A=∠F．
【答案】见解析
【分析】由∠1=52°，∠2=128°，可证出BD∥CE；由BD∥CE得出∠C=∠ABD，由∠C=∠D得出∠ABD=∠D，利用“内错角相等，两直线平行”可证出AC∥DF，进而可证出∠A=∠F．
【详解】证明：∵∠1=52°，∠2=128°，
∴∠1+∠2=180°，
∴BD∥CE，
∴∠C=∠ABD，
又∵∠C=∠D，
∴∠ABD=∠D，
∵AC∥DF，
∴∠A=∠F．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
16．（2022春·山西晋中·七年级统考期末）如图，，，若，试求的度数．请补充求解过程，并在括号内填上相应的理由．
解：因为，所以．
又因为，
所以∠______＝∠______．
所以（______）．
所以______（______）．
又因为，所以______．
【答案】BCD；CDE；内错角相等，两直线平行；BDE；两直线平行，同旁内角互补；110°
【分析】根据平行线的判定与性质来进行推理论证即可．
【详解】解：因为，所以．
又因为，所以∠BCD＝∠CDE．
所以（内错角相等，两直线平行）．
所以BDE（两直线平行，同旁内角互补）．
又因为，
所以110°．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题关键是能厘清题中各角之间的位置关系．
17．（2020秋·海南海口·七年级统考期末）如图，，垂足为点，点在上，，垂足为点，.
（1）试说明：
（2）与的位置关系如何？为什么？
（3）若，求的度数（用含的代数式表示）
【答案】（1）说明见解析；（2）见解析；（3）∠C =90°- x°.
【分析】（1）根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”解答即可；
（2）根据平行线的性质求得∠1=∠F，等量代换得∠2=∠F，即可判断其位置关系；
（3）先求∠ADH=90°- x°，再根据平行线的性质求解即可.
【详解】（1）∵ BD⊥AC，EF⊥AC，（ 已知 ）
∴ DB∥FE.（ 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ）
（2）HF与BC的位置关系是：HF∥BC ，理由如下：
∵ DB∥FE
∴ ∠1=∠ F （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵ ∠1=∠2（ 已知 ）
∴ ∠2=∠ F（ 等量代换 ）
∴ HF ∥ BC（ 内错角相等，两直线平行 ）
（3）∵ BD⊥AC
∴ ∠ADB=90°
∴ ∠ADH=∠ADB-∠1=90°- x°
∵ HF∥BC
∴∠C=∠ADH=90°- x°
【点睛】本题考查的是垂直的定义及平行线的性质及判定，掌握平行线的性质及判定定理是关键.
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．（2022春·青海西宁·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，且OF平分，．求和的度数．
【答案】，
【分析】先用平角定义求出∠AOC=40°，再根据垂直定义求出∠AOF=50°，然后利用角平分线定义求∠AOE=２∠AOF=100°即可．
【详解】解：∵直线AB，CD相交于点O ，，
∴，
∴，
∵于点O，
∴（垂直的定义），
∵，，
∴，
∵OF平分，
∴（角平分线定义），
∴，
即，．
【点睛】本题考查垂直的定义，角的计算，解平分线的定义，熟练掌握与我用不着分线有关的角的计算是解题的关键．
19．（2021春·湖北随州·七年级统考期末）如图，是小明所在学校的平面示意图，已知宿舍楼的位置是点．将艺术楼向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为
（1） ； ．
（2）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
（3）分别写出教学楼、实验楼、体育馆的坐标（教学楼用点B表示，实验楼用点C表示，体育馆用点D表示）．
（4）用方向和距离表示艺术楼相对于实验楼的位置时，艺术楼在实验楼的什么方向上？
【答案】（1）5 ，－2；（2）画图见解析；（3），，；（4）西北方向或北偏西45°
【分析】（1）先根据宿舍楼和平移后艺术楼的坐标建立平面直角坐标系，结合坐标系可得答案；
（2）根据宿舍楼和平移后艺术楼的坐标可建立平面直角坐标系；
（3）在坐标系中标出点的坐标即可得；
（4）根据方位角的定义解答即可．
【详解】解：（1）由题意可建立如图所示平面直角坐标系，
则宿舍楼坐标为(3，5)，艺术楼坐标为(－3，2)，
故a=5，b=－2，
故答案为：5，－2；
（2）如（1）图所示；
（3）B(1，1)，C(－1，0)，D(－4，－4)；
（4）由图可知，艺术楼在实验楼的西北方向或北偏西45°．
【点睛】本题主要考查了平移，平面直角坐标系，以及方位角等知识，解题的关键是根据宿舍楼和艺术楼平移后的坐标确定平面直角坐标系．
20．（2023春·河北邯郸·七年级统考阶段练习）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)11．
【分析】（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分；
（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根；
（3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为，
∵，
∴，
∴即，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为，
故答案为：，；
（2）解：∵，a是的整数部分，
∴a=9，
∵，
∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，
∴，
∴
∵9的平方根等于，
∴的平方根等于；
（3）解：∵，
∴即，
∵，其中x是整数，且，
∴x=9，y=，
∴．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．（2019春·北京·七年级校联考期末）在平面直角坐标系中，对于给定的两点，，若存在点，使得的面积等于1，即，则称点为线段的“单位面积点”.
解答下列问题：
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为.
（1）在点，，，中，线段的“单位面积点”是______.
（2）已知点，，点，是线段的两个“单位面积点”，点在的延长线上，若，直接写出点纵坐标的取值范围.
【答案】（1）A，C；（2）yN 1 或yN 1+；yN 3 或yN 3+.
【分析】(1)根据“单位面积点”的定义和点的坐标即可得结果；
(2)根据“单位面积点”的定义，可得点M、N的横坐标，再根据，即可求得点N的坐标的取值范围．
【详解】(1)∵点P的坐标为(1,0)，点O的坐标为(0,0)，
∴线段OP的“单位面积点”的纵坐标为2或 2，
∵点A(1,2)，B( 1,1)，C( 1, 2)，D(2, 4)，
∴线段OP的“单位面积点”是A. C．
故答案为A，C；
(2)∵点Q(1, 2)，点P的坐标为(1,0)，点M ，N是线段PQ的两个“单位面积点”，
∴点M，点N的横坐标为0或2，
∵点M在HQ的延长线上，
∴点M的横坐标为2，
当x=0时，设点N的坐标为(0,yN)，
∵，
∴×2×| 1 yN| ，
解得yN 1 或yN 1+；
当x=2时，设点N的坐标为(2,yN)，
∵，
∴×2×| 3 yN| ，
解得yN 3 或yN 3+
【点睛】此题考查三角形的面积，坐标与图形的性质，解题关键在于注意“单位面积点”的定义和分类讨论思想的应用．
22．问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，．
(1)在图1中，，求的度数；
(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由；
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)；
(2)定值为；理由见详解；
(3)；
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质解答；
（2）过点作，由此可得，进而可得出结论；
（3）根据平分，可知，过点作，则，根据，，可知，，则，进而可知，则．
【详解】（1）解：如图标出，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：定值为：，理由如下：
过点作，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵平分，
∴，
过点作，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，平行线的性质，掌握连续性的性质定理是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23．（2023秋·四川成都·七年级校考期末）已知关于x的方程是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，c满足．
(1)直接写出a，b，c的值；
(2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)存在；或
(3)存在；，，，8
【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得，即可求出b，根据绝对值、平方的非负性即可求解a、c，问题得解；
（2）根据运动特点可得，，再根据M为的中点，N为中点，可得，，依据，可得方程，解方程即可求解；
（3）分类讨论：与第一次重合中，由P到C的时间为7段，即时，表示出点，，，．①点P表示的数比点F表示的数大1，即，②点Q表示的数比点E表示的数大1，即；与第二次重合中，P到C返回时，即，同理表示出，，③点Q表示的数比E表示的数大1时，即，④点P表示的数比F表示的数大1时，即，解方程即可求解．
【详解】（1）∵是一元一次方程，
∴，解得：，
∵，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
即，，；
（2）∵，，，
∴根据运动特点可得，，
∵M为的中点，N为中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（3）存在．或者或者或者8．理由如下：
∵，
∴，
与第一次重合中，由P到C的时间为7段，即时，
点，，，．
①点P表示的数比点F表示的数大1，
即，
解得：．
②点Q表示的数比点E表示的数大1，
即，
解得：．
与第二次重合中，P到C返回时，即
，
③点Q表示的数比E表示的数大1时，
即，
解得：．
④点P表示的数比F表示的数大1时，
即，
解得：．
故：，，，8．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，一次方程的应用，利用平方根解方程等知识，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数．
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2023春人教版七下数学期中考试押题卷2（B卷）
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．（2021春·广东汕尾·七年级统考期末）（ ）．
A． B．4 C． D．2
2．如图，若数轴上的点A，B，C，D分别表示数，1，2，3，则表示数的点应在（ ）
A．点A与点O之间 B．点O与点B之间
C．点B与点C之间 D．点C与点D之间
3．（2022春·广东揭阳·七年级校考期末）如图，已知，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分，若∠1=50°，则∠2等于( )
A．50° B．60° C．65° D．75°
4．（2023春·河北邯郸·七年级统考阶段练习）如图， ，，则图中与互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022春·河北张家口·七年级统考期末）如图，，平分，若，那么度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）下面给出的结论中，①立方根等于算术平方根的是0；②在同一个平面内，经过一点可以画一条直线和已知直线平行；③；④若，则；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角；⑥经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直；⑦若ab，，那么；⑧是的平方根，其中不正确的说法有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．（2022·湖南永州·统考模拟预测）在﹣2、﹣、、、π中，无理数有 _____个．
8．在平面直角坐标系中有一点A（2–a，2a+3），点A到x轴的距离等于到y轴的距离，则a=__________．
9．（2002秋·重庆·七年级重庆市大坪中学校校考阶段练习）对于实数p，q， 我们用符号min｛p， q｝表示p，q两数中较小的数，如min ｛1，2｝=1，若min｛2x+1， 1｝=x， 则x=___.
10．（2021·湖北随州·统考中考真题）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数……现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为______．
11．（2022·安徽·模拟预测）对于实数x，规定表示不小于x的最小整数，例如，，；若，则x的取值范围是____．
12．（2022秋·河南许昌·七年级统考期中）若有理数、使得，，，这四个数中的三个数相等，则__________．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．已知：如图，在中，点D，E，F分别在边上，与相交于点H，且，．求证：．
14．（2022春·河南安阳·七年级校考期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店，点C表示图书馆．
(1)请画出学校A到书店B的最短路线．
(2)在公路l上找一个路口M，使得的值最小．
(3)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线，并用所学知识描述小路的方向．
15．（2023春·河北邯郸·七年级统考阶段练习）如图，已知∠1=52°，∠2=128°，∠C=∠D．求证：∠A=∠F．
16．（2022春·山西晋中·七年级统考期末）如图，，，若，试求的度数．请补充求解过程，并在括号内填上相应的理由．
解：因为，所以．
又因为，
所以∠______＝∠______．
所以（______）．
所以______（______）．
又因为，所以______．
17．（2020秋·海南海口·七年级统考期末）如图，，垂足为点，点在上，，垂足为点，.
（1）试说明：
（2）与的位置关系如何？为什么？
（3）若，求的度数（用含的代数式表示）
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．（2022春·青海西宁·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，且OF平分，．求和的度数．
19．（2021春·湖北随州·七年级统考期末）如图，是小明所在学校的平面示意图，已知宿舍楼的位置是点．将艺术楼向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为
（1） ； ．
（2）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
（3）分别写出教学楼、实验楼、体育馆的坐标（教学楼用点B表示，实验楼用点C表示，体育馆用点D表示）．
（4）用方向和距离表示艺术楼相对于实验楼的位置时，艺术楼在实验楼的什么方向上？
20．（2023春·河北邯郸·七年级统考阶段练习）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．（2019春·北京·七年级校联考期末）在平面直角坐标系中，对于给定的两点，，若存在点，使得的面积等于1，即，则称点为线段的“单位面积点”.
解答下列问题：
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为.
（1）在点，，，中，线段的“单位面积点”是______.
（2）已知点，，点，是线段的两个“单位面积点”，点在的延长线上，若，直接写出点纵坐标的取值范围.
22．问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，．
(1)在图1中，，求的度数；
(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由；
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系．
六、解答题（本大题共12分）
23．（2023秋·四川成都·七年级校考期末）已知关于x的方程是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，c满足．
(1)直接写出a，b，c的值；
(2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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