高中试卷答案网张掖市名校2022-2023学年高三下学期3月月考
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共4页，总分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C．3 D．5
3．数列表示第天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第天的日增长率．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量随时间的变化规律，对这种细菌在实际条件下日增长率的规律描述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象如图所示，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，为圆上的两个动点，为弦的中点．若，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．若椭圆上存在点，满足（为坐标原点），则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数在区间上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知双曲线的右焦点为，以（为坐标原点）为直径的圆与的渐近线分别交于，两点（异于点）．若，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
10．某校计划举办冬季运动会，并在全校师生中征集此次运动会的会徽．某学生设计的《冬日雪花》脱颖而出，它的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑．已知其中一块矩形材料如图①所示，将沿折叠，折叠后交于点，，．现需要对会徽的六个直角三角形（图②阴影部分）上色，则上色部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．若直线与曲线相切，则（ ）
A．1 B．2 C．e D．
12．已知正方体的棱长为1，是空间中任意一点，下列命题正确的个数是（ ）
①若为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为；
②若在线段上运动，则的最小值为；
③若在半圆弧上运动，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为；
④若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为．
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设向量，，若，的方向相反，则______．
14．已知样本数据的平均数与方差满足如下关系式：．若已知15个数的平均数为6，方差为9，现从原15个数中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数的方差为______．
15．已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，其侧面展开图是一个面积为的半圆环，则该圆台的高为______．
16．若对于，不等式恒成立，则的最大值为______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
自《“健康中国2030”规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入到绿色运动“健步走”行列，以提高自身的健康水平与身体素质．某调查小组为了解本市不同年龄段的市民在一周内健步走的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，部分结果如下表所示，其中一周内健步走少于5万步的人数占样本总数的，45岁以上（含45岁）的人数占样本总数的．
一周内健步走万步 一周内健步走万步 总计
45岁以上（含45岁） 90
45岁以下
总计
（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；
（2）现从样本中45岁以上（含45岁）的人群中按一周内健步走的步数是否少于5万步用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷．记抽取的两人中一周内健步走步数不少于5万步的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
0.150 0.100 0.050 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
18．（12分）
已知各项均为正数的数列的前项积为，若，．
（1）求的通项公式；
（2）记，求．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，为等边三角形，四边形为平行四边形，．
（1）证明：四边形为矩形；
（2）若，当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）
已知抛物线，过点作直线与交于，两点，过点作直线与交于，两点，当直线，，，的斜率存在且不为0时，将其分别记为，，，．
（1）证明：；
（2）若，，求的取值范围．
21．（12分）
已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，讨论的零点个数．
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．C【解析】因为，，所以．
2．B【解析】由，得，整理得．设，则，所以，，所以，所以．
3．B【解析】由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，为定值，而实际情况在第六天以后日增长率逐渐降低，且逐渐趋近于0．
4．C【解析】将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象．由图象可知当时，，，所以，，所以的最小值为．
5．B【解析】如图，圆即，半径，因为，所以，又是弦的中点，所以，所以点的轨迹方程为．
6．C【解析】因为，所以，．因为，，所以，所以，当，，，，．所以；当，，．综上．
7．D【解析】设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为，，，由题意知，，，由椭圆上存在点满足，得，所以，解得，所以．又，所以的离心率的取值范围为．
8．D【解析】因为函数为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，因为函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递减．因为，所以，由可得，由可得或．不等式可得或解得或，故不等式的解集为．
9．A【解析】由题意知，，，由对称性得，所以．又，即，所以，，即，解得．
10．A【解析】设，因为，所以，在中，由余弦定理可得，解得．在中，，所以，，所以，，所以上色部分的面积为．
11．B【解析】设切点坐标为，则解得令，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以方程的根为．
12．C【解析】对于①，如图①所示，
由，可知即为异面直线与所成的角．连接，则在中，，，，故正确；对于②，将与四边形沿展开到同一个平面上，如图②所示．由图可知，线段的长度即为的最小值．在中，利用余弦定理可得，故错误；
对于③，如图③所示，当为中点时，三棱锥体积最大，此时三棱锥的外接球球心是的中点，半径为，其表面积为，故正确；对于④，平面与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，只需与过同一顶点的三条棱所成的角相等即可，如图④所示，，则平面与正方体过点的三条棱所成的角相等．若点，，，，，分别为相应棱的中点，可得平面平行于平面，且六边形为正六边形．因为正方体的棱长为1，所以正六边形的边长为，可得此正六边形的面积为，为截面最大面积，故正确．
二、填空题
13．3【解析】因为，的方向相反，所以，共线，所以，解得或．当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．
14．8【解析】根据题目所给的条件，，所以，所以剩余10个数的平均数为5．，，所以，所以这10个数的方差为．
15．【解析】设圆台上底面半径为，母线长为，则其下底面半径为，将圆台还原成圆锥，则圆锥的母线长为，由圆台的侧面展开图是一个面积为的半圆环，得解得所以该圆台的高为．
16．1【解析】对于，不等式恒成立，所以，，不等式化为．令，即在区间上恒成立，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且当时，，当时，．要使在区间上恒成立，只需，即在上恒成立，所以，即的最大值为1．
三、解答题
17．解：（1）列联表为：
一周内健步走万步 一周内健步走万步 总计
45岁以上（含45岁） 90 30 120
45岁以下 50 30 80
总计 140 60 200
（2分）
，（4分）
所以有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关．（5分）
（2）由题意知，从45岁以上（含45岁）的市民中按分层抽样法抽取一周内健步走的步数不少于5万步的市民6人，一周内健步走的步数少于5万步的市民2人．（6分）
从这8人中随机抽取2人，则的所有可能取值为0，1，2．（7分）
，，．（10分）
所以的分布列为：
0 1 2
（11分）
数学期望．（12分）
18．解：（1）由题意得，所以．（1分）
因为当时，，所以当时，，整理得，（2分）
所以，即当时，，（3分）
所以当时，，即，（4分）又符合上式，所以．（5分）
（2）由（1）知，所以①，
②，（7分）
②-①得，
所以．（12分）
19．（1）证明：如图，取的中点，的中点，连接，，，
由为等边三角形，得，所以．（1分）
由四边形为平行四边形，得，，，
又因为，，所以，所以，
因为为的中点，所以．所以，（3分）
因为，，所以平面，
因为平面，所以，所以，即四边形为矩形．（5分）
（2）解：由题意知，当平面平面，即平面时，四棱锥的体积最大，由（1）知，所以以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，则，，，，，，，（7分）
设平面的法向量为，则得
令，则．（9分）
又，设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．（12分）
20．（1）证明：设，，，，
因为，在上，所以，（2分）
同理可得，，，所以．（5分）
（2）解：由题意，设，，，间的距离为，
联立消去得，
则，，，（7分）
联立消去得，
则，，．（8分）
因为，所以，得，（9分）
所以，
因为，所以，故的取值范围为．（12分）
21．解：（1）当时，，
则，当时，恒成立，（2分）
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
即的单调递减区间是，单调递增区间是．（4分）
（2）由题意，函数，．
设，，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又由，所以．（5分）
令，可得，所以，其中，（6分）
令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即当时，恒成立．（8分）
故当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，（9分）
又由当趋近于0时，趋近于0，当趋近于时，趋近于，（11分）
所以当时，无零点；当或时，有一个零点；
当时，有两个零点．（12分）
22．解：（1）由题意得所以，
所以，即．
化简为，，
所以的极坐标方程为，．（3分）
由，得，
所以，即，
所以的直角坐标方程为．（5分）
（2）由得，所以，（7分）
由得，所以，（9分）
．（10分）
23．解：（1）当时，不等式，即，
所以或（2分）
解得或，所以不等式的解集是．（4分）
（2）因为对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
即，即，
故只要且对任意的恒成立即可．（6分）
因为，，
当且仅当，即时等号成立，所以．（8分）
令，则在区间上单调递减，所以，（9分）
所以，即实数的取值范围是．（10分）