第四章 三角形单元测试题（解析版+原题版）

【北师大版七年级数学（下）单元测试卷】
第四章 三角形
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列各组数中，能构成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．5，8，8 C．6，7，14 D．2，9，12
解：A.∵，∴不能构成三角形，不符合题意；
B.∵，∴能构成三角形，符合题意；
C.∵，∴不能构成三角形，不符合题意；
D.∵，∴不能构成三角形，不符合题意；
故选B．
2．如图，是的中线，E是的中点，连结，．若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
解∵是的中线，
∴，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
3．对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（ ）
A．边长相等的图形 B．面积相等的图形
C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形
解：A.边长相等的两个图形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；
B.面积相等的两个图形形状.大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意；
C. 周长相等的两个图形形状.大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意；
D. 能够完全重合的两个图形是全等图形，该说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
4．如图，已知，平分，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5．如图，，添加下列条件仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
解
添加时，无法证明，故A符合题意；
添加，可得，故B不符合题意；
添加，可得，故C不符合题意；
添加，可得，可得，故D不符合题意．
故选：A．
6．如图，平分，D.E.F分别是射线.射线.射线上的点，D.E.F与O点都不重合，连接，若添加下列条件中的某一个．就能使，你认为要添加的那个条件是（　　）
A． B．
C． D．
解：∵平分，
∴，
∵，
A.若添加，无法证得，故本选项不符合题意；
B.若添加，无法证得，故本选项不符合题意；
C.若添加，无法证得，故本选项不符合题意；
D.若添加，则，可利用角角边证得，故本选项符合题意；
故选：D．
7．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
解：，，
，
，，
，，
，
，
化简得：．
故选：B．
8．如图，点在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
解：∵，，，
∴，，
∵点在同一直线上，
∴，
∴．
故选：C．
9．如图，，则为（ ）
A．48 B．50 C．56 D．64
解：如图，过点作交的延长线于点，
∵
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，
∵∠BA'C=120°，
∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BAC=180°-120°=60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，
∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，
∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，
故选：D．
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．如图，在中，已知D.E.F分别为的中点，且的面积等于，则阴影部分面积为______．
解：∵点D是的中点，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
阴影部分面积为．
故答案为：．
12．已知a.b.c是的三边，,c为整数，则c的最大值为_______．
解：∵，
∴，即，
又c为整数，
∴c的最大值为10．
故答案为：10．
13．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠＝∠AOB，需要说明△≌△AOB，则这两个三角形全等的依据是 _____．（写出全等的简写）
解：由作法得OD=OC==，CD=，
则在和COD中，
，∴COD，上述是根据“SSS”判断COD，
∴=AOB．
故答案为：SSS．
14．如图，在直角中，，，，，平分，是上一动点（不与重合），是上一动点（不与重合），则的最小值为________．
解：如图，在取点E，使，连接，过点C作于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当点C，M，E三点共线时，的值最小，
∵点到直线，垂线段最短，
∴当点E与点F重合时，的值最小，
即的最小值为的长，
∵，
即，
解得：，即的最小值为．
故答案为：
15．如图，C为线段上一动点（不与点A.E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．
恒成立的结论有______．（把你认为正确的序号都填上）
解：①和为等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，，①正确；
②，
在和中，，
．
，
，
，
，②正确；
③同②得：，
，③正确；
④，且，
，故④错误；
⑤，
，
是等边三角形，，，
，
，
⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，点A，C，D，E在同一条直线上，，，，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
（1）证明：∵，，
∴，
在和中
∴（）；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
17．（7分）如图，已知，，．求证：．
证明：∵，
∴，
即，
在中，
，
∴，
∴．
18．（8分）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5
（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）
（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点P的速度是2cm/s，
∴ts后BP=2tcm，
∴PC=BC BP=(10 2t)cm，
故答案为：(10﹣2t)；
（2）由题意得：，∠B=∠C=90°，
∴只存在△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，
当△ABP≌△PCQ时，
∴AB=PC，BP=CQ，
∴10 2t=6，2t=vt，
解得，t=2，v=2，
当△ABP≌△QCP时，
∴AB=QC，BP=CP，
∴2t=10-2t， vt=6，
解得，t=2.5，v=2.4，
∴综上所述，当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
19．（8分）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，求∠DAE的度数；
（2）写出∠DAE与∠C﹣∠B的数量关系　 　，并证明你的结论．
解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝45°．
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°+45°＝75°．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADE＝90°．
∴∠DAE＝90°﹣∠AEC＝90°﹣75°＝15°．
（2）由（1）知，
∠DAE＝90°﹣∠AEC＝90°﹣（ ）
又∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C．
∴∠DAE＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠C），
＝（∠C﹣∠B）．
20．（8分）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组拿了两个大小不同的等腰直角三角板进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系，如图1，在和中，．
(1)勤奋小组摆出如图2所示的图形，点A和点D重合，连接和，求证：．
(2)超越小组在勤奋小组的启发下，把两个三角形板按如图3的方式摆放，点B，C，E在同一直线上，连接，他们发现了和之间的数量和位置关系，请写出这些关系，并说明理由．
（1）证明：∵，
∴，，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
21．（9分）已知，在中，D，A，E三点都在同一直线上，．
(1)如图1，若，．
求证：①；
②
(2)如图2，，，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们的运动时间为，是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．
（1）证明：①∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
②∵，
∴，，
∴；
（2）解：存在，当时，
∴，，
∴，此时；
当时，
∴，，
∴，，
综上：，或，．
22．（9分）如图，在△ABC中，BC＝7，AD⊥BC于D．BE⊥AC于E，AD．BE相交于点O，且AE＝BE．
(1)求∠ACB+∠AOB=____°．
(2)试说明：△AEO≌△BEC；
(3)点F是直线AC上的一点且CF＝BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P.Q两点同时出发，当点P到达A点时，P.Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B．O.P为顶点的三角形与以点F.C．Q为顶点的三角形全等？若存在，请在备用图中画出大致示意图，并求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
（1）解：结论：∠ACB+∠AOB=180°．
理由：如图1中，
∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠AEO=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠OAE=90°，
∵∠AOB=∠AEB+∠OAE，
∴∠AOB+∠ACD=∠AEO+∠OAE+∠ACD=90°+90°=180°．
故答案为：180．
（2）∵是高，
∴
∵是高，
∴
∴，，
∴
在和中，
∴≌
（3）存在．
∵
∴
①如图2中，当OP=CQ时，∵OB=CF，∠POB=∠FCQ，
∴△BOP≌△FCQ．
∴CQ=OP，
∴7-4t═t，
解得t=1.4，
②如图3中，当OP=CQ时，∵OB=CF，∠POB=∠FCQ，
∴△BOP≌△FCQ．
∴CQ=OP，
∴4t-7=t，
解得t=．
综上所述，t=1.4或s时，△BOP与△FCQ全等．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第四章 三角形
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列各组数中，能构成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．5，8，8 C．6，7，14 D．2，9，12
2．如图，是的中线，E是的中点，连结，．若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
3．对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（ ）
A．边长相等的图形 B．面积相等的图形
C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形
4．如图，已知，平分，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，，添加下列条件仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，平分，D.E.F分别是射线.射线.射线上的点，D.E.F与O点都不重合，连接，若添加下列条件中的某一个．就能使，你认为要添加的那个条件是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
9．如图，，则为（ ）
A．48 B．50 C．56 D．64
10．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．如图，在中，已知D.E.F分别为的中点，且的面积等于，则阴影部分面积为______．
12．已知a.b.c是的三边，,c为整数，则c的最大值为_______．
13．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠＝∠AOB，需要说明△≌△AOB，则这两个三角形全等的依据是 _____．（写出全等的简写）
14．如图，在直角中，，，，，平分，是上一动点（不与重合），是上一动点（不与重合），则的最小值为________．
15．如图，C为线段上一动点（不与点A.E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．
恒成立的结论有______．（把你认为正确的序号都填上）
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，点A，C，D，E在同一条直线上，，，，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
17．（7分）如图，已知，，．求证：．
18．（8分）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5
（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）
（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（8分）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，求∠DAE的度数；
（2）写出∠DAE与∠C﹣∠B的数量关系　 　，并证明你的结论．
20．（8分）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组拿了两个大小不同的等腰直角三角板进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系，如图1，在和中，．
(1)勤奋小组摆出如图2所示的图形，点A和点D重合，连接和，求证：．
(2)超越小组在勤奋小组的启发下，把两个三角形板按如图3的方式摆放，点B，C，E在同一直线上，连接，他们发现了和之间的数量和位置关系，请写出这些关系，并说明理由．
21．（9分）已知，在中，D，A，E三点都在同一直线上，．
(1)如图1，若，．
求证：①；
②
(2)如图2，，，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们的运动时间为，是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．
22．（9分）如图，在△ABC中，BC＝7，AD⊥BC于D．BE⊥AC于E，AD．BE相交于点O，且AE＝BE．
(1)求∠ACB+∠AOB=____°．
(2)试说明：△AEO≌△BEC；
(3)点F是直线AC上的一点且CF＝BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P.Q两点同时出发，当点P到达A点时，P.Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B．O.P为顶点的三角形与以点F.C．Q为顶点的三角形全等？若存在，请在备用图中画出大致示意图，并求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
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