高中试卷答案网2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
2．如图，下列水平放置的几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上，数据11000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.11×108 B．1.1×107 C．11×106 D．1.1×106
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．a3 a2＝a6 B．（2a3）3＝6a9
C．﹣6x5÷2x3＝﹣3x2 D．（x﹣2）2＝x2﹣4
5．点M（4，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（2，4）
6．在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．56，60 B．60，72 C．60，63 D．60，60
7．如图，AB∥CD，∠C＝30°，∠E＝20°，则∠A的度数是（ ）
A．10° B．50° C．40° D．45°
8．如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度AC为1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，则B、C之间的距离为（ ）
A．米 B．1200tanα米 C．1200sinα米 D．1200cosα米
9．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB的度数为（ ）
A．120° B．130° C．135° D．150°
10．如图，△ABC绕点C按顺时针旋转30°到△DEC，若点A恰好在DE上，则∠BAC的度数为（ ）
A．15° B．55° C．65° D．75°
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：ab2﹣4ab+4a＝ ．
12．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
13．关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
14．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 ．
15．如图，在⊙O中，点C在弦AB上，AC＝1，OC＝5，BC＝7，则圆心O到弦AB的距离为 ．
16．如图，AC是圆O的直径，AC＝4，∠ACB＝60°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题各6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
19．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
①分别以点A、B为圆心，以大于的长度为半径作弧，分别交于两点，连接这两点的直线与BC交于点D，与AB交于点F，连接AD；
②以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别与AD、AC交于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间距离的一半的长度为半径作弧，两弧交于一点，连接点A与这一点交BC于点E．
（1）通过以上作图，可以发现直线DF是 ，射线AE是 ；（在横线上填上合适的选项）
A．线段AB的垂直平分线
B．∠ADB的角平分线
C．△ACD的中线
D．∠DAC的角平分线
（2）在（1）所作的图中，若AB＝8，BC＝10，求△ACD的周长．
20．我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
21．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F．
（1）求证：BE＝BF．
（2）当DE＝4，CF＝2时，求菱形ABCD的面积．
22．某校近期举办了一年一度的戏剧节比赛．某班级因节目需要，须购买A、B两种道具．已知购买1件A道具比购买1件B道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元．
（1）购买一件A道具和一件B道具各需要多少元？
（2）根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过615元．求道具A最多购买多少件？
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD＝2，且sinC＝，求⊙O的半径长及AF的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（4，0），C（﹣1，0）与y轴交于点B，已知tan∠BAC＝．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P为抛物线上的点，且点P的横坐标为3，F是抛物线上异于点P的点，连接PA，PB，当S△PAB＝S△FAB，求点F的横坐标；
（3）如图2，点Q为直线AB上方抛物线上一点，OQ交AB于点D，QE∥BO交AB于点E．记△QDE，△QDB，△BDO的面积分别为S1，S2，S3．求的最大值．
25．【问题背景】（1）如图1，已知正方形ABCD和等腰Rt△AEF，∠AFE＝90°，O，H分别为AC，CE的中点．求证：．
【变式应用】（2）如图2，已知菱形ABCD和等边△AEF，∠BAD＝60°，O，H分别为AC，CE的中点，连接BF，BH．求BH与AF的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】（3）如图3，已知平行四边形ABCD和△AEF，∠DBA＝∠EAF，，O，H为BD，CE的中点，连接BH，BF，求BH与AF的数量关系（用k表示），并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
解：∵﹣2×＝1．
∴﹣2的倒数是﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．
2．如图，下列水平放置的几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形是三角形即可．
解：A、主视图为长方形，故本选项错误；
B、主视图为三角形，故本选项正确；
C、主视图为长方形，故本选项错误；
D、主视图为长方形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上，数据11000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.11×108 B．1.1×107 C．11×106 D．1.1×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：11000000＝1.1×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．a3 a2＝a6 B．（2a3）3＝6a9
C．﹣6x5÷2x3＝﹣3x2 D．（x﹣2）2＝x2﹣4
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
解：A．a3 a2＝a3+2＝a5，故原选项计算错误，不符合题意；
B．（2a3）3＝8a9，故原选项计算错误，不符合题意；
C．﹣6x5÷2x3＝﹣3x2，故原选项计算正确，符合题意；
D．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
5．点M（4，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（2，4）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
解：点M（4，2）关于x轴对称的坐标是（4，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
6．在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．56，60 B．60，72 C．60，63 D．60，60
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中60是出现次数最多的，故众数是60；
而将这组数据从小到大的顺序排为：56，60，60，60，62，72，则这组数据的中位数是．
故选：D．
【点评】本题考查了中位数和众数的概念．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
7．如图，AB∥CD，∠C＝30°，∠E＝20°，则∠A的度数是（ ）
A．10° B．50° C．40° D．45°
【分析】根据三角形外角性质得出∠DOE，进而利用平行线的性质解答即可．
解：∵∠C＝30°，∠E＝20°，
∴∠DOE＝30°+20°＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DOE＝50°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
8．如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度AC为1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，则B、C之间的距离为（ ）
A．米 B．1200tanα米 C．1200sinα米 D．1200cosα米
【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角和对边，只需根据正切值即可求出BC．
解：根据题意可得：AC＝1200米，∠ABC＝α，
∵tanα＝，
∴BC＝（米）．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，姐姐本题的关键是结合图形利用三角函数解直角三角形．
9．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB的度数为（ ）
A．120° B．130° C．135° D．150°
【分析】根据切线的性质得到OA⊥AP，OB⊥PB，根据四边形内角和等于360°计算，得到答案．
解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质、四边形内角和，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10．如图，△ABC绕点C按顺时针旋转30°到△DEC，若点A恰好在DE上，则∠BAC的度数为（ ）
A．15° B．55° C．65° D．75°
【分析】先根据旋转的性质得∠ACD＝30°，∠BAC＝∠D，再根据三角形外角性质得∠BAE+∠BAC＝∠D+∠ACD，所以∠BAE＝∠ACD＝30°．根据旋转的性质得CA＝CD，进而得∠D＝∠CAD，所以∠BAC＝∠CAD，进而求出∠BAC的度数．
解：∵△ABC绕点C按顺时针旋转30°到△DEC，
∴∠ACD＝30°，∠BAC＝∠D，
∵∠EAC＝∠D+∠ACD，
即∠BAE+∠BAC＝∠D+∠ACD，
∴∠BAE＝∠ACD＝30°．
∵CA＝CD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠BAC＝（180°﹣30°）÷2＝75°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．掌握旋转的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：ab2﹣4ab+4a＝ a（b﹣2）2 ．
【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
解：ab2﹣4ab+4a
＝a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）
＝a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式）
故答案为：a（b﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．
解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴被开方数x+2为非负数，
∴x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式中被开方数的取值范围，关键把握二次根式中的被开方数是非负数．
13．关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k≤ ．
【分析】由于已知方程有两个实数根，根据一元二次方程的根与判别式的关系，建立关于k的不等式，解不等式可以求出k的取值范围．
解：∵a＝1，b＝1，c＝k，
而方程有两个实数根
∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4k≥0，
∴k≤．
【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0 方程没有实数根．
14．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 2 ．
【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
解：扇形的弧长＝＝4π，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．
故答案为：2．
【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
15．如图，在⊙O中，点C在弦AB上，AC＝1，OC＝5，BC＝7，则圆心O到弦AB的距离为 4 ．
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理得，再求出CD＝3，最后由勾股定理求出OD的长即可．
解：过点O作OD⊥AB于点D，如图，
则，
∵AC＝1，BC＝7，
∴AB＝AC+BC＝1+7＝8，
∴AD＝4，
∵CD＝AD﹣AC＝4﹣1＝3，
在Rt△DOC中，OC＝5，
由勾股定理得，，
即圆心O到弦AB的距离为4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了垂径定理与勾股定理等知识；解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．
16．如图，AC是圆O的直径，AC＝4，∠ACB＝60°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为 ．
【分析】作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．在Rt△DBE中，，则，根据垂线段最短可知，点E与M重合时，的值最小，最小值为OM．
解：作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°
∵∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵BK∥CA，
∴∠DBE＝∠BAC＝30°，
在Rt△DBE中，，
∴，
根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，的值最小，最小值为OM，
∵∠BAO＝∠ABO＝30°，
∴∠OBM＝∠OBA+∠ABM＝60°，
∵AC＝4，
∴OB＝2，
在Rt△OBM中，∠OBM＝60°，
∴∠BOM＝30°，
∴，
由勾股定理得，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查平行线的性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题各6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
解：
＝
＝
＝2．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
18．先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
解：原式＝（﹣）÷
＝
＝，
当x＝﹣1时，
原式＝＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
①分别以点A、B为圆心，以大于的长度为半径作弧，分别交于两点，连接这两点的直线与BC交于点D，与AB交于点F，连接AD；
②以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别与AD、AC交于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间距离的一半的长度为半径作弧，两弧交于一点，连接点A与这一点交BC于点E．
（1）通过以上作图，可以发现直线DF是 A ，射线AE是 D ；（在横线上填上合适的选项）
A．线段AB的垂直平分线
B．∠ADB的角平分线
C．△ACD的中线
D．∠DAC的角平分线
（2）在（1）所作的图中，若AB＝8，BC＝10，求△ACD的周长．
【分析】（1）直接根据题意及尺规作图可进行求解；
（2）由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，根据勾股定理求出AC＝6，再计算△ACD的周长即可．
解：（1）通过以上作图，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的角平分线；
故选A，D；
（2）∵在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB＝8，BC＝10，
∴，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△ACD的周长＝AD+CD+AC＝BD+CD+AC＝BC+AC＝10+6＝16．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线与角平分线的尺规作图以及勾股定理等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质与角平分线的尺规作图是解题的关键．
20．我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 200 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 198 度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
【分析】（1）由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例；
（2）根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）此次调查一共随机采访学生44÷22%＝200（名），
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝198°，
故答案为：200，198；
（2）绿色部分的人数为200﹣（16+44+110）＝30（人），
补全图形如下：
（3）估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数3600×＝288（人）；
（4）列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，
所以恰好抽中A，B两人的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F．
（1）求证：BE＝BF．
（2）当DE＝4，CF＝2时，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）证△ABE △CBF（AAS），即可得出结论；
（2）由菱形的性质得BC＝CD＝6，再由勾股定理得，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE △CBF（AAS），
∴BE＝BF；
（2）解：∵DE＝4，CF＝2，
∴CD＝DF+CF＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝6，
∵BF⊥CD，
∴∠BFC＝90°，
∴，
∴菱形ABCD的面积为．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．某校近期举办了一年一度的戏剧节比赛．某班级因节目需要，须购买A、B两种道具．已知购买1件A道具比购买1件B道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元．
（1）购买一件A道具和一件B道具各需要多少元？
（2）根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过615元．求道具A最多购买多少件？
【分析】（1）设购买1件A道具需要x元，1件B道具需要y元，利用总价＝单价×数量，结合“购买1件A道具比购买1件B道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A道具m件，则购买B道具（60﹣m）件，利用总价＝单价×数量，结合购买两种道具的总费用不超过615元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解；（1）设购买1件A道具需要x元，1件B道具需要y元，
依题意得：，
解得：，
答：购买1件A道具需要15元，1件B道具需要5元．
（2）设购买A道具m件，则购买B道具（60﹣m）件，
依题意得：15m+5（60﹣m）≤615，
解得：m≤31.5．
答：道具A最多购买31件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD＝2，且sinC＝，求⊙O的半径长及AF的长．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质证得∠C＝∠ODB，得出OD∥AC，由平行线的性质得出OD⊥DE，则可得出答案；
（2）连接AD，DF，分别求出，再证明△FCD～△BCA，利用相似三角形的性质列出比例式求出CF的值即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥CF，
∴∠DEC＝∠DEF＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠C＝∠ODB．
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
又OD为⊙O的半径．
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，DF，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴CD＝BD＝2，
∴BC＝2BD＝4，
在Rt△ADC中，sinC＝＝，
设AD＝3x，则AC＝4x，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴（3x）2+22＝（4x）2
解得，，
∴，
∴，
∴⊙O的半径为，
∵四边形ABDF是⊙O的内接四边形，
∴∠CFD＝∠B，
又∠FCD＝∠BCA，
∴△FCD～△BCA，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（4，0），C（﹣1，0）与y轴交于点B，已知tan∠BAC＝．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P为抛物线上的点，且点P的横坐标为3，F是抛物线上异于点P的点，连接PA，PB，当S△PAB＝S△FAB，求点F的横坐标；
（3）如图2，点Q为直线AB上方抛物线上一点，OQ交AB于点D，QE∥BO交AB于点E．记△QDE，△QDB，△BDO的面积分别为S1，S2，S3．求的最大值．
【分析】（1）根据得到B（0，3），利用待定系数法解题即可；
（2）求出直线AB的解析式为，然后可以求出BP∥x轴，利用同底等高的两个三角形面积相等，通过平移得到直线的解析式，联立方程解题即可；
（3）由QE∥BO得到，进而表示，设Q点坐标为，则点E坐标为，表示QE的长并配方找到最大值解题即可．
解：（1）∵A（4，0），
∴OA＝4，
又∵，
∴OB＝3，
∴B（0，3）．
设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x+1），
把（0，3）代入得：﹣4a＝3，解得，
即抛物线解析式为．
（2）∵点P的横坐标为3，
∴P（3，3）．
∴BP∥x轴，
设直线AB的解析式为y＝mx+n，则，解得，
∴．
把直线AB向右平移3个单位过点P，交抛物线于E点，则S△PAB＝S△FAB，
则直线PE的解析式为：，
解方程组，
解得或（舍）．
∴E点坐标为．
当把直线AB向左平移3个单位，交抛物线于E点，则S△PAB＝S△FAB，
则平移后直线为，
解方程组，
解得或（舍），
∴E点坐标为或．
综上所述，E点坐标为或，．
（3）∵QE∥BO，
∴∠DQE＝∠BOD，∠QED＝∠OBD，
∴△DQE∽△DOB，
∴，
∴，，
∴．
设Q点坐标为，则点E坐标为，
∴，
∴当x＝2时，QE最大为3，即的最大值为2．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，平移，相似和二次函数的顶点坐标，综合型较强，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
25．【问题背景】（1）如图1，已知正方形ABCD和等腰Rt△AEF，∠AFE＝90°，O，H分别为AC，CE的中点．求证：．
【变式应用】（2）如图2，已知菱形ABCD和等边△AEF，∠BAD＝60°，O，H分别为AC，CE的中点，连接BF，BH．求BH与AF的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】（3）如图3，已知平行四边形ABCD和△AEF，∠DBA＝∠EAF，，O，H为BD，CE的中点，连接BH，BF，求BH与AF的数量关系（用k表示），并说明理由．
【分析】（1）利用OH是△CAE的中位线，可得AE＝2OH，再由等腰直角三角形的性质得出，即可证明；
（2）利用菱形的性质得出BO⊥AC，，进而得出，再利用中位线的性质、等边三角形的性质得出，通过证明△FAB∽△HOB，可得BF与BH的数量关系；
（3）连接OH，AC，先根据平行四边形的性质、三角形中位线的性质得出，再证明∠BOH＝∠BAF，进而得出△BOH∽△BAF，可得．
【解答】（1）证明：∵O，H分别为AC，CE的中点，
∴OH是△CAE的中位线，
∴AE＝2OH．
∵等腰Rt△AEF中，∠AFE＝90°，
∴AF＝EF，，
∴，
∴；
（2）BH＝2AF，理由如下：
∵菱形ABCD中，∠BAD＝60°，
∴BO⊥AC，，
∴，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
∵O，H分别为AC，CE的中点，
∴OH是△CAE的中位线，
∴，OH∥AE，
∴，∠HOC＝∠EAC，
又∵∠HOB＝∠HOC+∠COB＝∠HOC+90°，∠FAB＝∠FAE+∠EAC+∠CAB＝60°+∠EAC+30°＝∠EAC+90°，
∴∠FAB＝∠HOB，
又∵，，
∴，
∴△FAB∽△HOB，
∴，
即BH＝2AF；
（3），理由如下：
如图，连接OH，AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴AB＝CD，BD＝2OB，O为AC的中点，
又∵H为CE的中点，
∴OH是△CAE的中位线，
∴，OH∥AE，
∵，
∴，
即，
∵OH∥AE，
∴∠HOC＝∠EAC，
∵∠BOH＝∠BOC+∠HOC，∠BOC＝∠OAB+∠DBA，
∴∠BOH＝∠OAB+∠DBA+∠HOC，
又∵∠DBA＝∠EAF，
∴∠BOH＝∠OAB+∠EAF+∠EAC＝∠BAF，
∴△BOH∽△BAF，
∴，
即．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形中位线的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角的定义与性质等，解题的关键是综合运用上述知识，从所给图形中找出相似三角形．
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