高中试卷答案网2022-2023学年初三下学期南京市竹山中学3月月考卷
一．选择题（共6小题，每题2分，共12分）
1．计算（﹣2x2y）3的结果是（ ）
A．﹣2x5y3 B．﹣8x6y3 C．﹣2x6y3 D．﹣8x5y3
2． 的平方根是（ ）
A．±9 B．±3 C．± D．
3．下列整数中，与10﹣最接近的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1是该方程的根
乙：该方程两根之和为2
丙：x＝3是该方程的根
丁：该方程两根异号
如果有一个命题是假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y＝的图象经过点Q，若S△BPQ＝S△OQC，则k的值为（ ）
A．﹣12 B．12 C．16 D．18
6．函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y＝y1+y2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）
7．2016年南京实现GDP约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是 ．
8．分解因式am2﹣a的结果是 ．
9．在△ABC和△DEF中，给出下列条件：①AB＝DE；②BC＝EF；③∠B＝∠E；④∠A＝∠D．则从中任取三个条件不能保证△ABC≌△DEF的是 ．（填写序号即可）
10．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为 ．
11．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠C＝100°，BC＝CD，则∠A+∠D＝ °．
12．若一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等，则x的值为 ．
13．若过点（2，2）的一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+3（0≤x≤3）有交点，则k的取值范围是 ．
14．已知实数a，b满足（a2+4a+6）（2b2﹣4b+7）≤10，求a+2b＝ ．
15．如图，AB为⊙O的直径，OE⊥AB交⊙O于点E，点D是弧BE上的一个动点（可与B、E重合），若弧AD所对的圆周角∠C的度数为α，则α的取值范围是 ．
16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，BD＝6，则FG的长为 ．
三．解答题（共11小题，共88分）
17．（7分）计算：（）÷（）．
18．（7分）解不等式组，并写出它的正整数解．
19．（7分）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．
20．（8分）为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：kW h）进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．
组别 用电量分组 频数
1 8≤x＜93 50
2 93≤x＜178 100
3 178≤x＜263 34
4 263≤x＜348 11
5 348≤x＜433 1
6 433≤x＜518 1
7 518≤x＜603 2
8 603≤x＜688 1
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第 组内；
（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW h的大约有多少户．
21．（8分）甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出1个球．
（1）求摸出的2个球都是白球的概率．
（2）下列事件中，概率最大的是 ．
A．摸出的2个球颜色相同
B．摸出的2个球颜色不相同
C．摸出的2个球中至少有1个红球
D．摸出的2个球中至少有1个白球
22．（8分）有一组数据：a1＝，a2＝，a3＝，…，an＝．记Sn＝a1+a2+a3+…+an，求S12的值．
23．（8分）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
24．（8分）如图，FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝ °．
25．（8分）某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在30天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件70元．该企业第x天生产的电子产品数量为y件，y与x满足如下关系式：y＝．
（1）求该企业第几天生产的电子产品数量为400件；
（2）设第x天每件电子产品的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来表示．若该企业第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
26．（9分）（1）如图④，直线l与⊙O相切于点A，B是l上一点，连接OB，C是OB上一点．若⊙O的半径r是OB与OC的比例中项，请用直尺和圆规作出点 C．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图⑤，A是⊙O1外一点，以O1A为直径的⊙O2交⊙O1于点B、C，O1A与BC交于点D，E为直线BC上一点（点E不与点B、C、D重合），作直线O1E，与⊙O2交于点F，若⊙O1的半径是r，求证：r是O1E与O1F的比例中项．
27．（10分）【初步尝试】
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 ；
【思考说理】
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
【拓展延伸】
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折在，使点B落在边AC上的点B'处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB'上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A'PM，点A的对应点为点A'，A'M与CP交于点F，求的取值范围．
2022-2023学年初三下学期南京市竹山中学3月月考
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．计算（﹣2x2y）3的结果是（ ）
A．﹣2x5y3 B．﹣8x6y3 C．﹣2x6y3 D．﹣8x5y3
【解答】解：（﹣2x2y）3＝（﹣2）3（x2）3y3＝﹣8x6y3．
故选：B．
2． 的平方根是（ ）
A．±9 B．±3 C．± D．
【解答】解：
∵＝9，（±3）2＝9，
∴的平方根是±3．
故本题答案为：B．
3．下列整数中，与10﹣最接近的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：解法一：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∵3.62＝12.96，3.72＝13.69，
∴3.6＜＜3.7，
∴﹣3.7＜﹣＜﹣3.6，
∴10﹣3.7＜10﹣＜10﹣3.6，
∴6.3＜10﹣＜6.4，
∴与10﹣最接近的是6．
解法二：∵3＜＜4，
∴6＜10﹣＜7，
∵3.52＝12.25，且12.25＜13，
∴＞3.5，
∴10﹣＜6.5，
∴与10﹣最接近的是6．
故选：C．
4．关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1是该方程的根
乙：该方程两根之和为2
丙：x＝3是该方程的根
丁：该方程两根异号
如果有一个命题是假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，
解得x1＝3，则x2＝﹣1，符合题意；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，
∵．两根之和不为2，而x1＝l，x2＝3与两根异号矛盾，与题意不符；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，
令x1＝l，则x2＝l，与题意不符，
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，
∵x1+x2＝4≠2，与题意不符；
故选：A．
5．如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y＝的图象经过点Q，若S△BPQ＝S△OQC，则k的值为（ ）
A．﹣12 B．12 C．16 D．18
【解答】解：∵PB∥OC（四边形OABC为正方形），
∴△PBQ∽△COQ，
∴＝＝，
∴PB＝PA＝OC＝3．
∵正方形OABC的边长为6，
∴点C（0，6），点P（6，3），直线OB的解析式为y＝x①，
∴设直线CP的解析式为y＝ax+6，
∵点P（6，3）在直线CP上，
∴3＝6a+6，解得：a＝﹣，
故直线CP的解析式为y＝﹣x+6②．
联立①②得：，
解得：，
∴点Q的坐标为（4，4）．
将点Q（4，4）代入y＝中，得：
4＝，解得：k＝16．
故选：C．
6．函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y＝y1+y2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设y1＝a1x2+b1x+c1，y2＝a2x2+b2x+c2，
由图象知，a1＞0，b1＜0，c1＞0，a2＞0，b2＜0，c2＜0，|c2|＞|c1|，
∴a1+a2＞0，b1+b2＜0，c1+c2＜0，
∵y＝y1+y2＝（a1+a2）x2+（b1+b2）x+（c1+c2），﹣＞0，
∴函数y＝y1+y2的图象开口向上，对称轴也在y轴的右侧，开口比函数y1、y2的开口都小，与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴只有选项A符合题意，
故选：A．
二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）
7．2016年南京实现GDP约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是 1.05×104 ．
【解答】解：10500＝1.05×104．
故答案为：1.05×104．
8．分解因式am2﹣a的结果是 a（m﹣1）（m+1） ．
【解答】解：am2﹣a
＝a（m2﹣1）
＝a（m﹣1）（m+1），
故答案为：a（m﹣1）（m+1）．
9．在△ABC和△DEF中，给出下列条件：①AB＝DE；②BC＝EF；③∠B＝∠E；④∠A＝∠D．则从中任取三个条件不能保证△ABC≌△DEF的是 ①②④ ．（填写序号即可）
【解答】解：若取①②④，
则条件满足：有两边且其中一边的对角相等，
这时，两个三角形不一定全等；
故答案为①②④．
10．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为 ．
【解答】解：设每只雀有x斤，每只燕有y斤，
由题意得，
故答案为：．
11．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠C＝100°，BC＝CD，则∠A+∠D＝ 220 °．
【解答】解：如图，连接BD，
∵∠C＝100°，BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝40°，
∵四边形BAED内接于⊙O，
∴∠A+∠BDE＝180°，
∴∠A+∠CDE
＝∠A+∠BDE+∠CDB
＝180°+40°
＝220°，
故答案为：220．
12．若一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等，则x的值为 1或4 ．
【解答】解：∵一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等，
∴这组数据可能是2，3，4或1，2，3，
∴x＝1或4，
故答案为1或4．
13．若过点（2，2）的一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+3（0≤x≤3）有交点，则k的取值范围是 k≤﹣2或k≥﹣且k≠0 ．
【解答】解：一次函数y＝kx+b过点（2，2），
∵一次函数y＝﹣x+3与坐标轴的交点为（0，3）（3，0）
①当一次函数y＝kx+b过点（2，2），（0，3）时，
，解得k＝﹣，
②一次函数y＝kx+b过点（2，2），（3，0）时，
，解得k＝﹣2，
根据两个临界点的k的值得：
k≤﹣2或k≥﹣且k≠0，
故答案为：k≤﹣2或k≥﹣且k≠0．
14．已知实数a，b满足（a2+4a+6）（2b2﹣4b+7）≤10，求a+2b＝ 0 ．
【解答】解：∵（a2+4a+6）（2b2﹣4b+7）≤10，
∴（a2+4a+4+2）（2b2﹣4b+2+5）≤10，
∴[（a+2）2+2][2（b﹣1）2+5]≤10，
∴2（a+2）2（b﹣1）2+5（a+2）2+4（b﹣1）2+10≤10，
∴2（a+2）2（b﹣1）2+5（a+2）2+4（b﹣1）2≤0，
∵2（a+2）2（b﹣1）2≥0，5（a+2）2≥0，4（b﹣1）2≥0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴a+2b＝﹣2+2＝0，
故答案为：0．
15．如图，AB为⊙O的直径，OE⊥AB交⊙O于点E，点D是弧BE上的一个动点（可与B、E重合），若弧AD所对的圆周角∠C的度数为α，则α的取值范围是 45°≤α≤90° ．
【解答】解：当D、C重合时，α＝∠AOE＝45°，
当D、B重合时，α＝∠AOB＝90°；
所以α的取值范围是：45°≤α≤90°．
16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，BD＝6，则FG的长为 3． ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAB＝∠CAD＝60°，AC⊥BD，BO＝DO＝3，∠ABO＝30°，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，AB＝6，AO＝3，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG＝∠AGE＝30°，
∵∠B＝∠EGF＝60°，
∴∠AGF＝90°，
∴FG⊥BC，
∴2 S△ABC＝BC FG，
∴2××（6）2＝6 FG，
∴FG＝3．
故答案为3．
三．解答题（共11小题）
17．计算：（）÷（）．
【解答】解：（）÷（）
＝（﹣）÷（﹣）
＝÷
＝
＝
＝﹣．
18．解不等式组，并写出它的正整数解．
【解答】解：，
由①得x＜，
由②得x≥﹣5，
不等式组的解集为﹣5≤x＜，
则它的正整数解为1，2．
19．如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．
【解答】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴BD＝CE，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴AD＝EC，
∵CE∥AD，
∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，
∴△ADF≌△CEF（ASA）．
20．为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：kW h）进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．
组别 用电量分组 频数
1 8≤x＜93 50
2 93≤x＜178 100
3 178≤x＜263 34
4 263≤x＜348 11
5 348≤x＜433 1
6 433≤x＜518 1
7 518≤x＜603 2
8 603≤x＜688 1
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第 2 组内；
（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW h的大约有多少户．
【解答】解：（1）∵有200个数据，
∴六月份的用电量的中位数应该是第100个和第101个数的平均数，
∴该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第2组内；
故答案为：2；
（2）×10000＝7500（户），
答：估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW h的大约有7500户．
21．甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出1个球．
（1）求摸出的2个球都是白球的概率．
（2）下列事件中，概率最大的是 D ．
A．摸出的2个球颜色相同
B．摸出的2个球颜色不相同
C．摸出的2个球中至少有1个红球
D．摸出的2个球中至少有1个白球
【解答】解：（1）画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中摸出的2个球都是白球的有2种结果，
所以摸出的2个球都是白球的概率为＝；
（2）∵摸出的2个球颜色相同概率为＝、摸出的2个球颜色不相同的概率为＝，
摸出的2个球中至少有1个红球的概率为＝、摸出的2个球中至少有1个白球的概率为，
∴概率最大的是摸出的2个球中至少有1个白球，
故选：D．
21．有一组数据：a1＝，a2＝，a3＝，…，an＝．记Sn＝a1+a2+a3+…+an，求S12的值
【解答】解：a1＝＝＝＝＝﹣+（1﹣），
a2＝＝＝+＝+＝﹣+（﹣），
..．
a12＝＝+＝+＝﹣+（﹣），
…，
∴S12＝﹣+﹣+﹣+...+（1﹣+﹣+﹣+...﹣﹣）
＝﹣+（1+﹣﹣）
＝，
故答案为：．
23．如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
在Rt△DCH中，∠C＝37°，
∴CH＝，
在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，
∴BH＝，
∵BC＝CH﹣BH，
∴﹣＝6km，
解得DH≈18km，
在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，
∴AD＝≈20km．
答：轮船航行的距离AD约为20km．
24．如图，FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝ 180 °．
【解答】解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD和OE，
∵FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，
∴∠OAF＝∠OBG＝∠OCH＝∠ODI＝∠OEJ＝90°，
即（∠BAF+∠OAB）+（∠CBG+∠OBC）+（∠DCH+∠OCD）+（∠EDI+∠ODE）+（∠AEJ+∠OEA）＝90°×5＝450°，
∵OA＝OB＝OC＝OD＝OE，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，∠OCD＝∠ODC，∠ODE＝∠OED，∠OEA＝∠OAE，
∴∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA＝×五边形ABCDE内角和＝＝270°，
∴∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝（∠BAF+∠OAB）+（∠CBG+∠OBC）+（∠DCH+∠OCD）+（∠EDI+∠ODE）+（∠AEJ+∠OEA）﹣（∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA）＝450°﹣270°＝180°，
故答案为：180．
25．某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在30天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件70元．该企业第x天生产的电子产品数量为y件，y与x满足如下关系式：y＝．
（1）求该企业第几天生产的电子产品数量为400件；
（2）设第x天每件电子产品的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来表示．若该企业第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
【解答】解：（1）若20x＝400，则x＝20，与0≤x≤10不符，
∴10x+200＝400，解得x＝20，符合10＜x≤30，
故第20天生产了400件电子产品；
（2）由图象得，当0≤x≤15时，P＝27；
当15＜x≤30时，设P＝kx+b（k≠0），
把（15，27），（30，42）代入得，，
解得，
∴P＝x+12．
分三种情况：
①w＝y（70﹣P）＝20x×（70﹣27）
当x＝10时，w有最大值，最大值为8600（元）；
②当10＜x≤15时，w＝y（70﹣P）＝（10x+200）（70﹣27）＝430x+8600，
当x＝15时，w有最大值，最大值为15050（元）；
③当16＜x≤30时w＝y（70﹣P）
＝（10x+200）[70﹣（x+12）]
＝（10x+200）（58﹣x）
＝﹣10x2+380x+11600
＝﹣10（x﹣19）2+15210，
当x＝19时，w有最大值，最大值为15210（元）．
综上，第19天时，利润最大，最大值为15210元．
26． （1）如图④，直线l与⊙O相切于点A，B是l上一点，连接OB，C是OB上一点．若⊙O的半径r是OB与OC的比例中项，请用直尺和圆规作出点 C．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图⑤，A是⊙O1外一点，以O1A为直径的⊙O2交⊙O1于点B、C，O1A与BC交于点D，E为直线BC上一点（点E不与点B、C、D重合），作直线O1E，与⊙O2交于点F，若⊙O1的半径是r，求证：r是O1E与O1F的比例中项．
【解答】解： （1）如图2，点C即为所求．
（2）连接O2B、O2C、O1B、O1C、CF，
∵O2B＝O2C，
∴点O2在线段BC垂直平分线上，
∵O1B＝O1C，
∴点O1在线段BC垂直平分线上，
∴O1O2垂直平分BC，
∴＝，
连接CF，
∴∠O1FC＝∠O1CB，
又∵∠FO1C＝∠CO1E，
∴△O1CF∽△O1EC，
∴＝，
∴O1C2＝O1E O1F，
∴r2＝O1E O1F，
∴r是O1E与O1F的比例中项．
27．【初步尝试】
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 AM＝BM ；
【思考说理】
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
【拓展延伸】
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折在，使点B落在边AC上的点B'处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB'上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A'PM，点A的对应点为点A'，A'M与CP交于点F，求的取值范围．
【解答】解：（1）如图①中，
∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，
∴MN垂直平分线段BC，
∴CN＝BN，
∵∠MNB＝∠ACB＝90°，
∴MN∥AC，
∵CN＝BN，
∴AM＝BM．
故答案为：AM＝BM．
（2）如图②中，
∵CA＝CB＝6，
∴∠A＝∠B，
由题意MN垂直平分线段BC，
∴BM＝CM，
∴∠B＝∠MCB，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴，
∴，
∴BM＝，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣＝，
∴＝．
（3）①如图③中，
由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴，
∴，
∴BM＝4，
∴AM＝CM＝5，
∴，
∴AC＝．
②如图③﹣1中，
∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，PA＝PA′，
∴△PFA′∽△MFC，
∴，
∵CM＝5，
∴，
∵点P在线段OB上运动，OA＝OC＝，AB′＝﹣6＝，
∴≤PA′≤，
∴．