高中试卷答案网2023年中考数学高频压轴题训练——二次函数与特殊的四边形
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
(3)是抛物线的对称轴上一点，是抛物线上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
2．如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于点A（﹣4，0），B（2，6），与y轴交于点C，且OA＝OC，点D为线段AB上的一点，连结OD，OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若OD将△AOB的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点P，使以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图1：二次函数交轴于、两点，交轴于点．已知，．
(1)求二次函数的解析式．
(2)如图2，若为线段上一动点，现将射线绕点顺时针旋转交二次函数于点，求：最大值及此时点的坐标．
(3)如图3，将二次函数图象绕旋转得到新函数，新函数与原函数在第一象限内交于点，点是直线上一点，点是新抛物线上一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
4．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在对称轴直线l上有一点P，连接CP，BP，则CP+BP的最小值为 ；
(3)当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令CDE的面积为S1，BCE的面积为S2，求的最大值；
(4)点F是该抛物线对称轴l上一动点，是否存在以点B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴经过顶点，作直线．是该抛物线上一点，过点作轴的垂线交于点，过点作l于点，以、N为边作矩形．
（1）______；
（2）当点在抛物线，两点之间时，求线段长度的最大值；
（3）矩形与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作，的最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为，当时，求点的坐标．
6．如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于AB，与y轴交于点C，若OA＝OC＝2OB＝2
（1）求抛物线的解析式及过点B、C的直线的解析式；
（2）若P为线段AC上方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值；
（3）如图②过点A作AD⊥BC于点D，过D作DH⊥x轴于H，若G为直线DH上的动点，N为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点M，使得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）连接，直线与该抛物线交于点E，与交于点D，连接．当时，求线段的长；
（3）点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
（1）求的值；
（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．
①当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．
9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于两点，顶点为，设点是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转，得到新的抛物线．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线上的对应点，设M是C上的动点，N是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
10．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，M为线段的中点，过点M作，交y轴与点N，P是抛物线上位于直线下方的一个动点，连接，交于点Q，连接，，当的面积最大时，求出此时点P的坐标及的面积最大值；
（3）当点P满足（2）问的条件时，在直线上是否存在一点E，在平面内是否存在一点F，使得以点P，E，C，F为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）在二次函数的图像位于轴上方的部分有两个动点、，且点在点的左侧，过点、作轴的垂线，分别交轴于点、．
①当四边形为正方形时，求的长；
②当四边形为矩形时，求矩形周长的最大值
12．如图，抛物线经过点、、．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一点，是平面上任一点，使得平行四边形的面积为6，求出点的坐标；
（3）点在线段上任一点，若一小虫沿着到，到的方向运动，且从到以每秒1个单位的速度运动，从到以每秒个单位的速度运动，求当小虫从到时走的最少时间．
13．如图①，抛物线与轴交于两点，点是抛物线顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，连接．若点分别是抛物线对称轴和上动点，求的最小值；
（3）在（2）的条件下，点是轴上方抛物线上一点，点是轴上一点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点坐标．
14．如图所示，已知抛物线与一次函数的图象相交于，两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）当点P在直线上方时，求出面积最大时点P的坐标；
（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图1，抛物线:经过点 ，顶点为，对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）如图2，将抛物线向左平移至顶点在轴上，平移后的抛物线与轴交于点、，平行于 轴的直线经过点，若点为 轴上方的抛物线 上的动点，分别连接、，并延长交直线于 、两点，若 、两点的横坐标分别为、，试探究、 之间的数量关系．
16．如图，抛物线y =x2 mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0， 1）．且对称轴x=1．
（1）求出抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
（2）在对称轴上方是否存在点D，使三角形ADC的周长最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由（使用图1）；
（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A． B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）．
17．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，满足到线段CB距离最大，求点P坐标；
（3）如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与线段BC相交于点F，M为线段BC上的任意一点，过点M作MN∥EF交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点N的坐标；若不能，请说明理由．
18．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）经过，两点的直线交抛物线的对称轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，当点运动到点时，求的面积；
（3）点在抛物线对称轴上，点在轴上，是否存在这样的点与点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)最大值为2
(3)，，
【分析】（1）将点A，B坐标代入得方程组，求解即可；
（2）分别求出点B，C，D的坐标，运用待定系数法求出BC解析式，设，则，，根据三角形面积公式可得二次函数关系式，配方求解即可；
（3）分两种情况：①若AD是平行四边形的对角线，②若AD是平行四边形的边，分别进行讨论即可．
(1)
将，代入
，
解这个方程组得
∴该抛物线的函数表达式为
(2)
在中，当时，，
∴，
∵点D为线段BC的中点，且，
∴，即，
设直线BC的解析式为，
将，代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为，
过点作轴交于点，
设，则
，
当时，有最大值为2
(3)
满足条件的点的坐标为：，，
由可得对称轴为：直线，
设，又，
①若AD是平行四边形的对角线，
当MN与AD互相平分时，四边形ANDM是平行四边形，
即MN经过AD的中点（），即（0，-1）
∴
∴n=-1，
∴，
②若AD是平行四边形的边，
Ⅰ．当NM∥AD且NM=AD时，四边形ANMD是平行四边形，
∵A（-2，0），D（2，2），点M的横坐标为1，
∴点N的横坐标为1-4=-3，
∴
∴点N的坐标为；
Ⅱ．当NM∥AD且NM=AD时，四边形AMND是平行四边形，
∵A（-2，0），D（2，2），点M的横坐标为1，
∴点N的横坐标为1+4=5，
∴
∴点N的坐标为；
综上所述，点M的坐标为，，．
【点评】本题是二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，平行四边形性质等，熟练掌握待定系数法、二次函数图象和性质及平行四边形性质等相关知识，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．
2．(1)
(2)（-2，2）或（0，4）
(3)存在，点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）．
【分析】（1）根据待定系数法，将A( 4，0)、B(2，6)代入，计算即可；
（2）先确定点A点C坐标，再运用待定系数法先求出直线AB的解析式，设点D的坐标为（m，m+4），然后根据OD将△AOB的面积分成1：2的两部分计算即可；
（3）设点P的坐标为（xp，yp），分3种情况分析解答即可．
【解析】（1）解：将A( 4，0)、B(2，6)代入可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵ A点坐标为（-4，0），OA＝OC
∴C点坐标为（0,4）
设直线AB的解析式为：，则
，解得：，
∴直线AB的解析式为：，
设点D的坐标为（m，m+4），
∵OD将△AOB的面积分成1：2的两部，即或，
∴或，解得：或m=0
∴点D的坐标为（-2，2）或（0，4）；
（3）解：存在；
设点P的坐标为（xp，yp），
①当四边形AOBP是平行四边形时，p1在第二象限时，
轴，，
∵B（2，6），
∴点P的坐标为（-2，6）；
②当四边形AOPB是平行四边形时，p2在第一象限时，
点P的横坐标为2+4=6，点P的,纵坐标坐标为6，
点P的坐标为（6，6）；
③当四边形APOB是平行四边形时，p3在第三象限时，
，，
∴，，
即，，
解得：，，
此时点P的坐标为（-6，-6）；
综上，存在满足条件的点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）．
【点评】本题属于二次函数与一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求解析式、三角形面积、平行四边形等知识点，正确求出二次函数、一次函数的解析式并掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
3．(1)
(2)，
(3)，，，，，
【分析】（1）根据数量关系求出、、三个点的坐标进而求出抛物线解析式；
（2）过点作轴，交于点，作于点，用待定系数法求出直线的解析式，设，则，，进而得到，即可求出答案；
（3）先求出抛物线解析式，再求出交点的坐标，待定系数法分别设出、的坐标利用中点公式求解．
(1)
，，
，
，，，
设，将代入，得：
，
解得：，
二次函数的解析式为；
(2)
如图2，过点作轴，交于点，作于点，
，，
，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
当时，取得最大值，
此时，；
(3)
设抛物线绕旋转后，点、、的对应点为、、，
则，，，
设新函数的解析式为，将代入，
得：，
解得：，
新函数解析式为，
由，
得：，
点在第一象限，
，，
，
点是直线上一点，点是新抛物线上一点，
设，，
以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
分三种情况：为对角线或为对角线或为对角线，
①当为对角线，则与互相平分，
，
解得：（舍去），，
，；
②当为对角线，则中点也为中点，
，
解得：，，
，，，，
③当为对角线时，则中点也为中点，
则，
解得：，（舍，
，
综上，，，，，，．
【点评】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数求最值，特殊角的三角函数，抛物线的旋转，平行四边形的性质等知识点．正确用好待定系数法是解本题的核心．
4．(1)
(2)
(3)
(4)存在，(﹣，)或(﹣，)或(，)
【分析】（1）根据一次函数得到，代入，于是得到结论；
（2）关于对称，当为与对称轴的交点时，CP+BP的最小值为：；
（3）令，解方程得到，，求得，过作轴于，过作轴交于于，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（4）根据为边和为对角线，由平行四边形的性质即可得到点的坐标．
(1)
解：令，得，
令，得，
，，
抛物线经过．两点，
，
解得：，
；
(2)
解：关于对称，
当为与对称轴的交点时，
CP+BP的最小值为：，
由（1）得，，
，
CP+BP的最小值为：，
故答案是：；
(3)
解：如图1，过作轴交于，过作轴交于，
令，
解得：，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
；
当时，的最大值是；
(4)
解：，
对称轴为直线，
设，，，
①若四边形为平行四边形，
则，
，
解得：，，
的坐标为，；
②若四边形为平行四边形，
则，
，
解得：，，
的坐标为，；
③若四边形为平行四边形，
则，
，
解得：，，
的坐标为，；
综上，的坐标为，或，或，．
【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想，解题的关键是以为边或对角线分类讨论．
5．（1）-2；（2）；（3）点的坐标为或
【分析】（1）将代入抛物线即可求解；
（2）首先根据A，B两点的坐标利用待定系数法求出直线AB的表达式，设出点Q和点P的坐标，表示出PQ的长度，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）分别当点P在直线左侧和右侧时两种情况讨论，根据题意表示出m和n的值，然后根据列方程求解即可．
【解析】解：（1）将代入抛物线得：，
解得；
（2）抛物线解析式为．配方得．
顶点的坐标为．
设直线的解析式为，过点．则，解得．
∴直线的解析式为．
设点，
与轴垂直，点在直线上，
点的坐标为．
当时，．
配方得．
，
当时，的最大值为．
（3）当点在直线左侧时，此时，从左到右上升，图象最高点为，
最低点为，
，．
，
．解得，（舍）．
此时点的坐标为．
当点在直线右侧时，此时，从左到右下降，图象最高点为，最低点为，
垂直轴，
点与点的坐标相同．
，．
，
．
解得，（舍）．
此时点的坐标为．
综上述，点的坐标为或．
【点评】此题考查了二次函数和矩形结合的题目，解题的关键是设出点P和点Q的坐标，根据题意列出方程求解．
6．（1）y＝﹣x2＋x＋2，y＝2x＋2；（2）1；（3）存在，点M（，0）或（﹣，0）或（1＋，0）或（1﹣，0）．
【分析】（1）由已知求出A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2），再由待定系数法求解析式即可；
（2）求出直线AC的解析式，再由铅锤法求出三角形△ACP面积；
（3）求出直线AD的解析式，从而求出交点D的横坐标，即可求H点的坐标，设M（m，0），再由已知可确定GH和MN分别为正方形的边，则有MN＝＝MH＝，求出M即可．
【解析】解：（1）∵OA＝OC＝2OB＝2，
∴A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2），
将点A、B、C代入中，可得
，
解得，
∴，
设BC的直线解析式为，将点B、C代入可得，
，
解得，
∴；
（2）设直线AC的解析式为，
将点A（2，0），C（0，2）代入可得，
，
解得，
∴，
设，过P点作x轴的垂线交直线AC于点Q，
则，
∴△ACP面积＝，
∴当t＝1时，△ACP面积的最大值为1；
（3）存在点M得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形，理由如下：
∵AD⊥BC，DH⊥x轴，
∴∠DAO＝∠BCO，
∵tan∠BCO＝=，
∴tan∠DAO=12
又∵OA=2
∴AD与y轴的交点为（0，1），直线AD的斜率为
∴可得到AD直线解析式为，
联立，
解得，
∴H（，0），
设M（m，0），
∵GH⊥x轴，以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形时，GH为正方形的边，
∴MN也是正方形的边，
∴N，
∴MN＝，MH＝，
∵，
∴或，
∴M（，0）或M（，0）或M（，0）或M（，0）．
【点评】本题考查的是二次函数的综合，难度系数较大，涉及到了待定系数法求解析式，铅锤法求面积以及正方形的性质等知识点，根据题意确定为正方形的边长是解决本题的关键.
7．（1）A（-4,0），B（2,0），C（0，-8）；（2）；（3）存在，M、、
【分析】（1）分别令x=0、y=0即可求出A，B，C三点的坐标；
（2）先求出AC解析式，用m表示出DE坐标，最后根据求出m的值即可；
（3）分三种情况：对角线或为对角线或为对角线，①当为对角线时，，，可得出，根据，即可求出答案；②当为对角线时，，，设，则，，建立方程求解即可；③当对角线时，与互相垂直平分，设，则，，根据在直线上，即可求得答案．
【解析】解：（1）令x=0得，
∴C点坐标（0，-8）
令y=0得：，
解得：，
∴A（-4,0），B（2,0）；
（2）设DE交x轴于F，
设AC解析式为，代入AC坐标得：
，
解得
∴AC解析式为，
∵直线与该抛物线交于点E，与交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）存在，
如图2，，
抛物线对称轴为直线，
以、、、为顶点的四边形是菱形，
分三种情况：对角线或为对角线或为对角线，
①当为对角线时，，，
点为直线与抛物线对称轴的交点，即，
，
，
，；
②当为对角线时，，，
设，则，，
，
解得：，
，
③当对角线时，与互相垂直平分，设，则，，
在直线上，
，
，
综上所述，点的坐标为：，，，．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用相似三角形处理垂直．
8．（1）b=，c=；（2）①；②不存在，理由见解析
【分析】（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；
（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；
②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．
【解析】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴b=，c=；
（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2，
设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵0
∵-1<0，
∴当时，PQ有最大值，最大值为；
②∵抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3，
∴C（0，-3），
∴OB=OC=3，
由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵PQ∥OC，
当OC为菱形的边，则PQ=OC=3，
当点Q在点P上方时，
∴PQ=，即，
∴，
解得或，
当时，点P与点O重合，菱形不存在，
当时，点P与点B重合，此时BC=，菱形也不存在；
当点Q在点P下方时，
若点Q在第三象限，如图，
∵∠COQ=45°，
根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，
此时OA=1OC=3，菱形不存在，
若点Q在第一象限，如图，
同理，菱形不存在，
综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．
【点评】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．
9．（1）；（2）；（3）能，或．
【分析】（1）根据顶点设顶点式，将代入即可求得解析式；
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，-4），设抛物线C′的解析式为，由，消去y得到，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知，当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得，可得，利用待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得，利用待定系数法即可解决问题．
【解析】（1）由题意抛物线的顶点，设抛物线的解析式为，
把代入可得，
∴抛物线C的函数表达式为．
（2）由题意抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为
，
由，消去y得到，
由题意，抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，
则有，解得，
∴满足条件的m的取值范围为．
（3）结论：四边形能成为正方形．
理由：1情形1，当时，如图，作轴于轴于H．
由题意P点在二次函数上，且横纵坐标相等，，解得（舍去负值），
∴，
当是等腰直角三角形时，四边形是正方形，
，
可证，可得，
，
∵点M在上，
，解得或（舍弃），
时，四边形是正方形，
情形2，如图，当时，四边形是正方形，同法可得，
把代入中，
，解得或0（舍弃），
时，四边形是正方形．
综上，四边形能成为正方形，
或．
【点评】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
10．（1）；（2）点的坐标为，△的面积最大值为；（3）点的坐标为或或或
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）求出，再求出的最大值，根据当△面积取最大值时，取得最大值求解即可；
（3）根据菱形的性质，分，和三种情况求解即可．
【解析】解：（1）∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设抛物线的解析式为：
对于，令则
∴
∴
∴
∴抛物线的解析式为：；
（2）连接
∵，点为的中点，
∴
∵
∴为的中点，
∴
∴
∴
∴当△面积取最大值时，取得最大值，
过点作轴交于，
设直线的解析式为
，解得
∴
设点的坐标为，则点的坐标为
∴
∴当时，取得最大值为7.5
此时，=-5
∴的最大值为，
∴的最大值为：
当时，=-5
∴点坐标为
即当△的面积最大时，此时点的坐标为，△的面积最大值为
（3）∵
∴
设直线的解析式为，
把代入得，
∴直线的解析式为，
设点坐标为，
当时，
解得，，
即点坐标为
此时以为顶点的四边形为菱形，则的坐标为，即为，
当时，
解得，
∴点坐标为或，
当点坐标为时，以为顶点的四边形为菱形，则的坐标为，
当点坐标为时，以为顶点的四边形为菱形，则的坐标为，
当时，
解得，，
∴点坐标为
以为顶点的四边形为菱形，则的坐标为
∴直线上存在点，平面内存在点使得以为顶点的四边形为菱形，
点的坐标为或或或
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的最值以及菱形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式；（3）分，和三种情况列出关于x的方程．
11．（1）；；（2）①；②10
【分析】（1）将两点坐标代入即可求出抛物线解析式，然后用配方法确定顶点坐标；
（2）①设点M、N坐标代入解析式，根据正方形性质得出M、N的纵坐标相等，即可求出结果；②列出关于周长W的解析式，取最大值即可．
【解析】.解：（1）由题意抛物线经过、两点，
所以，所以抛物线解析式为
∴顶点
（2）设点坐标为
①若四边形为正方形，则，且，即点、的纵坐标相等．
由（1）得抛物线的对称轴为，则点的横坐标为
∴点坐标为
∴
∵
∴
解得：或（舍去）
∴
②当四边形为矩形时，
由①，
得：
∴当时，矩形周长的最大值为10．
【点评】本题考查二次函数综合题，矩形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用学过的知识解决问题，利用配方法确定顶点坐标，用点的坐标表示所求量．
12．（1）；（2），；（2）2s
【分析】（1）根据题意设交点式，然后代入C求解即可；
（2）根据题意可将平行四边形的面积转换为对应三角形的面积求解即可；
（3）作HE⊥CE于E点，结合三角函数解出三边比例关系，得到小虫在到以每秒个单位的速度运动，等价于在到以每秒个单位的速度运动，作，此时即为最短路径，求解时间即可．
【解析】（1）∵抛物线经过、，
∴设抛物线解析式为：，
将代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
即：；
（2）由题可知，，即：满足即可，
如图所示，作DN∥y轴，交AC于点N，
设直线AC的解析式为：，
将，代入得：，解得：，
∴直线AC的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
则：，
解得：或，
将代入抛物线解析式得：，
将代入抛物线解析式得：，
综上，点的坐标为，；
（3）如图所示，作HE⊥CE于E点，
则CE∥x轴，∠OAC=∠HCE，
∴，
∴，，
∵小虫在到以每秒个单位的速度运动，
∴等价于在到以每秒个单位的速度运动，
∴最短时，小虫的运动时间最短，
作，此时即为最短路径，
∴，
∴最短时间为：．
【点评】本题考查二次函数综合问题，能够结合题目条件进行合理的分类讨论，以及根据三边关系对所求问题进行转换是解题关键．
13．（1）；（2）；（3），，，
【分析】（1）直接将代入解析式，运用待定系数法求解即可；
（2）由题意可知为等腰三角形，即：，作于E点，交对称轴于P点，将E点关于对称轴对称至BC上D点，此时最小，即为BE的长，然后利用等面积法求解BE即可；
（3）设，，当BM和BD分别为对角线时，进行分类讨论即可．
【解析】（1）将代入解析式得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由抛物线的对称性可知，为等腰三角形，即：，
如图所示，作于E点，交对称轴于P点，
此时，将E点关于对称轴对称至BC上D点，
∴此时最小，即为：BE的长，
∵，
∴，
由抛物线解析式可得：顶点，
∴，
由A、C坐标可得，
∴由，解得：，
∴的最小值为；
（3）设，，
由（2）可知，，，
∴△ABC为等边三角形，在（2）的条件下，D为BC的中点，
则D的坐标为，
①当BM为对角线时，如图所示，
根据平行四边形四个顶点的相对位置关系有：
，解得：或，
即：，；
②当BD为对角线时，如图所示，
根据平行四边形四个顶点的相对位置关系有：
，解得：或，
即：，；
综上所述，N的坐标为，，，．
【点评】本题考查二次函数与几何综合，准确求取解析式并熟练运用平行四边形的性质进行合理的分类讨论是解题关键．
14．（1）；；（2）的最大值为；此时，；（3）或或．
【分析】（1）根据待定系数法得出，，的值，即可求解；
（2）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两者交于点，连接．根据三角形的面积公式解答即可；
（3）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．
【解析】（1）将代入，得：，
∴；
由题意得：，解得：，
∴；
（2）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两者交于点，
，，
，，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
过点作于，作于．则，，
，．
．
，，，
当时，的值最大．
当时，，，
即面积的最大值为，此时点的坐标为，
（3）存在三组符合条件的点，
当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，
，，，，
可得坐标如下：
①的横坐标为，代入二次函数表达式，
解得：，；
②的横坐标为3，代入二次函数表达式，
解得：，；
③的横坐标为1，代入二次函数表达式，
解得：，．
故：的坐标为或或．
【点评】主要考查二次函数综合，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
15．（1）；（2）当时，当面积最大，此时；（3）．
【分析】（1）根据点坐标和对称轴求解即可；
（2）过作轴交于，连，，将化成顶点式，得，得到顶点，设直线的解析式为：，将，两点代入求得直线的解析式为，设，，则，根据化简求得，当时，当面积最大，此时；
（3）由题意得，抛物线：，，，直线：，设，已知过点、，由待定系数法得，令，可得：；同理，令，可得：，可以求得.
【解析】（1）∵点在抛物线上，
∴，得到，
又∵对称轴，∴，
解得，∴，
∴二次函数的解析式为
（2）过作轴交于，连 ，
∵
∴顶点
设直线的解析式为：
则，解得
∴直线的解析式为：
设， ，则
∴当时，当面积最大，此时
（3）由题意得，抛物线：，
，，直线 ：
设
已知过点、 ，
由待定系数法得，
令，可得：.
同理，
令，可得：
∴.
【点评】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质在综合，待定系数法求函数解析式，一次函数交点等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
16．（1）y=x2 x 1；A（ 1，0），B（3，0）；（2）存在，（1，）；（3）P1的坐标为（ 4，7），P2的坐标为（4，）；P3（2， 1）．
【分析】（1）根据二次函数对称轴公式以及二次函数经过（0， 1）点即可得出答案；
（2）在对称轴上存在D使四边形ADC的周长最小连接CB交对称轴于点D，此时三角形ADC周长最小，求出BC的解析式，把x=1代入即可求出点D的坐标；
（3）分别从当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ＝AB＝4即可以及当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，分别求出即可．
【解析】（1）∵抛物线与y轴交于点C（0， 1）．且对称轴x=l．
∴ ，
解得，
，∴抛物线解析式为y=x2 x 1，
令x2 x 1=0，得：x1= 1，x2=3，
∴A（ 1，0），B（3，0）；
（2）在对称轴上存在D使四边形ADC的周长最小连接CB交对称轴于点D，此时三角形ADC周长最小．
设BC的解析式为y=kx+b，
把B（3，0）、C（0， 1）分别代入得，
解得，
∴解析式为y=x-1，
当x=1时，y=×1-1=-，
∴点D的坐标为（1，-）；
（3）①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为 4或4，
当x= 4时，y=7；当x=4时，y=；
∴此时点P1的坐标为（ 4，7），P2的坐标为（4，）；
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，线段AB中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，
过点P3作x轴的垂线交于点H，
可证得△P3HG≌△Q3OG，
∴GO=GH，
∵线段AB的中点G的横坐标为1，
∴此时点P横坐标为2，
由此当x=2时，y= 1，
∴这时有符合条件的点P3（2， 1），
∴符合条件的点为：P1的坐标为（ 4，7），P2的坐标为（4，）；P3（2， 1）．
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握．
17．（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）P（2，6）；（3）能，点N坐标为（，）
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值，进而求出点B的坐标，即可求出直线BC的解析式；
（2）过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣x+4）；求出PQ的长，利用S△PCB＝PQ OB列出S关于x的二次函数，利用函数的性质求出面积的最大值，进而求出点P的坐标；
（3）首先求出EF的长，设N（x，﹣x2+3x+4），则M（x，﹣x+4），利用平行四边形对边平行且相等列出x的一元二次方程，解方程求出x的值即可．
【解析】解：（1）由题意得，
解得．
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+3x+4．
（2）由B（4，0）、C（0，4）可知，直线BC：y＝﹣x+4；
如图1，过点P作PQ//y轴，交直线BC于Q，设P（x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣x+4）；
∴PQ＝（﹣x2+3x+4）﹣（﹣x+4）＝﹣x2+4x；
S△PCB＝PQ OB＝×（﹣x2+4x）×4＝﹣2（x﹣2）2+8；
∴当P（2，6）时，△PCB的面积最大；
（3）存在．
抛物线y＝﹣x2+3x+4的顶点坐标E，
直线BC：y＝﹣x+4；当时，F，
∴．
如图2，过点M作MN∥EF，交直线BC于M，设N（x，﹣x2+3x+4），则M（x，﹣x+4）；
由题意点N在第一象限，
∴MN＝（﹣x2+3x+4）﹣（﹣x+4）＝﹣x2+4x；
当EF与NM平行且相等时，四边形EFMN是平行四边形，
由﹣x2+4x时，解得（不合题意，舍去）．
当时，，
∴N（，）．
∴点N坐标为（，）．
【点评】本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的性质、三角形面积的计算、平行四边形的判定等知识，解答（2）问关键是用x表示出PQ的长，解答（3）问关键是求出EF的长，利用平行四边形对边平行且相等进行解答，此题有一定的难度．
18．（1）；（2）1；（3）存在这样的点与点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或
【分析】（1）由点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，利用配方法可求出顶点E的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出当点P运动到点E时△PCD的面积；
（3）设点M的坐标为（m，0），点N的坐标为（1，n），分四边形CBMN为平行四边形、四边形CMNB为平行四边形及四边形CMBN为平行四边形三种情况，利用平行四边形的性质找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】解：（1）将，代入，得：
，解得：
∴抛物线的解析式为
（2）当时，有，解得：，，
∴点的坐标为．
∵，
∴点的坐标为
设过，两点的直线解析式为（），
将，代入，得：
，解得：
∴直线的解析式为
∵点是直线与抛物线对称轴的交点，
∴点的坐标为，∴，
∴当点运动到点时，的面积
（3）设点的坐标为，点的坐标为．
分三种情况考虑：
①当四边形为平行四边形时，有，
解得：，∴此时点的坐标为；
②当四边形为平行四边形时，有，
解得：，∴此时点的坐标为；
③当四边形为平行四边形时，有，
解得：，∴此时点的坐标为．
综上所述：存在这样的点与点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是分四边形CBMN为平行四边形、四边形CMNB为平行四边形及四边形CMBN为平行四边形三种情况求出点M的坐标．