高中试卷答案网郑州市2023年高中毕业年级第二次质量预测
理科数学试题卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数（a，，i为虚数单位），且，则复数z在复平面内对应点Z所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．12 B．4 C．3 D．1
4．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．0
6．如图，网格纸上绘制的是一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．4
7．已知在非Rt△ABC中，，，且，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
8．和e是数学上两个神奇的无理数．产生于圆周，在数学中无处不在，时至今日，科学家借助于超级计算机依然进行的计算．而当涉及到增长时，e就会出现，无论是人口、经济还是其它的自然数量，它们的增长总是不可避免地涉及到e．已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．将函数图象上的点A（m，n）向右平移个周期得到点，若位于函数的图象上，则m的值可以是（ ）
A． B． C． D．
10．双曲线：的一条渐近线与圆：交于第一象限的一点M，记双曲线的右焦点为F，左顶点为A，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．7 D．12
11．已知正项数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．记为等差数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式为______．
14．某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有______种．
15．已知三棱锥P－ABC的各个顶点都在球O的表面上，，，，平面PBC⊥平面ABC，若点E满足，过点E作球O的截面，则所得截面面积的取值范围为______．
16．关于函数，，有如下4个结论：
①在上单调递增；②有三个零点；③有两个极值点；④有最大值．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若，求的值以及．
18．（本小题满分12分）
如图，在四边形ABCP中，△ABC为边长为的正三角形，CP＝CA，将△ACP沿AC翻折，使点P到达的位置，若平面平面ABC，且．
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）设M在线段上，且满足，求二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
商品流通费用率，又称为流通费用水平，是商品流通费用总额（商品在流通过程所耗费劳动与费用总和）对商品销售额的百分比．一定时期内，在实现的销售额一定的情况下，支出的费用越少，表明费用节约程度越高，体现为经济效益就越好．某企业收集了10个营业点的商品销售额x（万元）与商品流通费用率y（%）的有关数据，制作成散点图如图所示：
（Ⅰ）从这10个营业点中随机抽取3个，求至少抽到一个商品流通费用率不高于6%的营业点的概率；
（Ⅱ）为了研究y与x的相关关系，有四名同学通过计算得到y与x的相关系数分别为0.97，0.62，－0.32，－0.96，请你从中选出最有可能正确的结果，并以此求出y关于x的线性回归方程．
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线C：，O为坐标原点，焦点在直线上．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点（4，0）作动直线l与抛物线C交于M，N两点，直线OM，ON分别与圆交于点P，Q两点（异于点O），设直线OM，ON斜率分别为，．
①求证：为定值；
②求证：直线PQ恒过定点．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）当，求的单调区间；
（Ⅱ）若在有三个零点，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l：与曲线，分别交于M、N两点（异于极点O），P为上的动点，求△PMN面积的最大值．
23．（10分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若对任意，都有，求a的取值范围．
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理科数学参考答案
一、选择题
ABDBC BCADB DA
二、填空题
13．3n－5 14．240 15． 16．①②④
三、解答题
17．解：（1）在△ABC中，由，得，
由正弦定理，得
结合已知条件得，A为△ABC中的一个内角，
∴，解得．
（2）由，平方得①
由余弦定理，得②
联立①②解得，∴．由，，结合正弦定理，可得
，．
联立解得．
18．（1）解：取BC中点O，连接，，因为△ABC为等边三角形，O为BC的中点，则，又，，
∴平面，∴．
所以，即为等边三角形，所以，
又平面平面，，所以平面，所以，
又，所以．
（2）解：因为平面，，以点O为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，
，，设平面的法向量为，
则，取，则，
，设平面的法向量为，
则，取，则，
由已知可得．
综上，二面角的余弦值为．
19．（1）解：设“至少抽到一个商品流通费用率不高于6%的营业点”为事件A，
（2）最有可能的结果是．
．
．
所以关于的线性回归方程为．
20．（1）解：易知直线与x轴交于，所以，，抛物线方程为．
（2）①设直线MN方程为，，，
联立方程组得，
所以，．
②设直线PQ方程为，，
联立方程组得，
所以，，
．
整理得，，所以直线PQ过定点．
21．（1）解：当时，，
，
∴函数在上单调递增．
∴函数的单调递增区间为，无递减区间．
（2），
令，对应方程的，
当时，，，，在上单调递增，不可能有两个零点；
当时，，有两个零点，，
且，，所以，
当，，单调递增，当，，单调递减，
当，，单调递增．
又，所以，，
当，，当，，
所以在和各有一个零点，又有，在有三个零点．
综上，实数a的取值范围为．
22．（1）解：的参数方程为（为参数），消去可得，
，所以曲线的直角坐标方程为，
将，代入得，曲线的极坐标方程为．
的极坐标方程为，即，
所以曲线的直角坐标方程为，
综上所述：曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．
（2）当时，，，
．显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大．
直线MN的方程为，圆心到直线MN的距离为，
所以点P到直线MN的最大距离，
所以．
23．（1）当时，原不等式可化为．
当时，原不等式可化为，整理得，所以．
当时，原不等式可化为，整理得，所以此时不等式的解．
当时，原不等式可化为，整理得，所以．
综上，当时，不等式的解集为．
（2）若对任意，都有，即①．
①式可转化为或，当，，，，所以；当，，所以．
综上，a的取值范围为或．
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