高中试卷答案网遵义清华中学2022-2023学年度第二学期第一次月考试题
高二年级数学试题
（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.本试卷共4页，答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、班级、考号等信息填写答卷的密封区内。
2.作答选择题必须用2B铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，请保持答题卡卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将试卷和答题卡交回。
第I 卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，则=（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量服从二项分布，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．复数，则复数在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
4．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
则等于（ ）
A．0.4 B．0.5
C．0.6 D．0.7
5．5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，则不同的安排方法共有（ ）
A．30种 B．90种 C．120种 D．150种
6．某中学制订了“光盘计划”，为了了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，开展了一次问卷调查，调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（ ）
若随机变量，则，
A．0.8186 B．0.6827 C．0.47725 D．0.34135
7．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有六种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）
A．1560 B．1180 C．1020 D．
8．艺术节即将到来，承办班级筹备节目单时，准备在前五个节目排三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节目最多有两个相邻，则不同的排法总数为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若，则正整数x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，则
B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C．已知，则
D．从一批含有10件正品 4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为
11．已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B．展开式的各项系数之和为1024
C．展开式中常数项为45 D．展开式中含项的系数为45
12．将2n(n∈N*)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳球数不限记2个盒子中最少的球数为X(0≤X≤n，X∈N*)，则下列说法中正确的有（ ）
A．当n=1时，方差
B．当n=2时，
C．，，使得P(X=k)>P(X=k+1)成立
D．当n确定时，期望
第II 卷 （非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过点且与直线垂直的直线l的方程是________．
14．设随机变量X服从二项分布，若，则______．
15．学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有种 分配方案.
16. 某单位安排位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班天，若位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有_______
四、解答题：本题共6小题，共70分．其中第17题10分，其余各题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．一袋中装有6个黑球，4个白球．如果不放回地依次取出2个球．求：
(1)第1次取到黑球的概率；
(2)在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率．
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，记的面积为S.
(1)求a； (2)请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的的个数，并说明理由.
条件：①，②，③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品.某用户对自己发布的视频个数x与收到的点赞个数之和y之间的关系进行了分析研究，得到如下数据：
x 3 4 5 6 7
y 45 50 60 65 70
(1)计算x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.
参考数据：，.
参考公式：，，.
20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为棱PD的中点．
(1)证明：；
(2)求直线AE与平面PBD所成角的正弦值
2021年9月，贵州省正式施行“”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如表：
科目 性别 合计
男生 女生
物理 300
历史 150
合计 400 800
(1)根据所给数据完成上述表格，并依据的独立性检验，分析学生选择物理或历史与性别是否有关；
(2)该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为，求的分布列和数学期望.
附：.
已知椭圆的左右焦点分别为，过作直线，交椭圆于、两点，的周长为8，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过坐标原点作直线的垂线，交椭圆于，两点，试判断是否为定值，若是，求出这个定值.
遵义清华中学2022-2023学年度第二学期第一次月考
高二年级数学参考答案
选择题（每小题8分，共40分）
1．D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
2．B
【分析】根据二项分布概率公式计算.
【详解】.
故选：B
3．D
【分析】先利用复数的除法化简复数，即得解.
【详解】由题得，
所以复数对应的点为，在第四象限，
故选：D.
3．D
【分析】先利用复数的除法化简复数，即得解.
【详解】由题得，
所以复数对应的点为，在第四象限，
故选：D.
4．【答案】C
【解析】因为，所以，
所以.
故选：C.
5．【答案】B
【解析】因为5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，
所以5名大学生分成3组，每组的人数分别为1，2，2，
所以不同的安排方式有种，
故选：B
6．【答案】A
【分析】根据正态分布的对称性与原则求解即可.
【详解】解：因为得分（满分：100分）服从正态分布，
所以，
所以
故选：A
【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
7．【答案】A
【解析】第一步中间小正方形涂色，有6种方法，剩下5种颜色涂在四个直角三角形中，就按图中所示1234的顺序，1有5种方法，2有4种方法，3有4种方法，但要分类：与1相同和与1不相同，然后确定4的方法数，
所以所求方法数为.
故选：A.
8．【答案】C
【解析】三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目的全排列的排列数为，其中三个歌唱节目都相邻的排法数为，故满足条件的排法数为，所以三个歌唱节目最多有两个相邻的排法总数为84，
故选：C.
选择题（每小题5分，共20分）
9．【答案】AB
【分析】由组合数的性质可以列出方程，求出正整数x的值
【详解】由题意得：或，
解得：或，经过检验，均符合题意.
故选：AB
10.【答案】BC
【分析】对于A，利用二项分布的数学期望和方差的公式即可判断；对于B，根据古典概型的概率公式及排列组合知识即可判断；对于C，利用排列数和组合数的计算即可判断；对于D，利用超几何分布的概率即可判断
【详解】对于：根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，解得，故错误；
对于：两位男生和两位女生随机排成一列共有（种）排法；两位女生不相邻的排法有（种），故两位女生不相邻的概率是，故B正确；
对于：由，得，解得，故正确；
对于：设随机变量表示取得次品的个数，则服从超几何分布，
所以，故错误．
故选：．
11．【答案】BCD
【分析】先由已知条件得求出的值，然后求出二项式展开式的通项公式，再逐个分析判断即可
【详解】解：因为的展开式中二项式系数之和为1024，
所以，得，
所以二项式展开式的通项公式为，
对于A，因为的展开式中二项式系数之和与展开式的各项系数之和相等，所以展开式的各项系数之和为1024，所以B正确，
对于B，展开式中奇数项的二项式系数和为，所以A错误，
对于C，令，解得，所以展开式中常数项为，所以C正确，
对于D，令，解得，所以展开式中含项的系数为，所以D正确，
故选：BCD
12．【答案】ACD
【分析】对于A：当n=1时，，，，，根据，可判断；
对于B：当n=2时，由，可判断；
对于C：由，可判断；
对于D：由可判断.
【详解】当n=1时，，，，，
则，A正确；
当n=2时，，B错误；
由已知得，，k≤n-2，
，又有，所以P(X=n-l)>P(X=n)，C正确；
又
，D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题考查随机变量的分布列，期望和方差，关键在于准确地写出随机变量的分布列，运用期望和方差的公式.
填空题（每小题5分，共20分）
13．【答案】
【分析】根据两直线垂直，斜率乘积为，则得到，直接写出点斜式方程即可.
【详解】因为直线l与直线垂直，所以，解得：，
所以直线l的方程为，即.
故答案为：.
14．【答案】
【解析】因为随机变量X服从二项分布，
所以，
所以，
因为，所以，
故答案为：
15.【答案】21
【解析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，
由隔板法可知，不同的分配方案种数为.
16. 【答案】1008
【详解】分析：本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两元之间有一个排列，丙不排在初一，丁不排在初七，则可以甲乙排初一、初二和初六、初七，丙排初七和不排初七，根据分类原理得到结果.
详解：分两类：
第一类：甲乙相邻排初一、初二或初六、初七，这时先安排甲和乙，有种，然后排丙或丁，有种，剩下的四人全排有种，因此共有种方法；
第二类：甲乙相邻排中间，有种，当丙排在初七，则剩下的四人有种排法，若丙排在中间，则甲有种，初七就从剩下的三人中选一个，有种，剩下三人有种，所以共有种，
故共有种安排方案，故答案为.
点睛：该题考查的是由多个限制条件的排列问题，在解题的过程中，注意相邻问题捆绑法，特殊元素优先考虑的原则，利用分类加法计数原理求得结果.
解答题（第17题10分，其余各题12分，共70分）
17.一袋中装有6个黑球，4个白球．如果不放回地依次取出2个球．求：
(1)第1次取到黑球的概率；
(2)在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率．
【答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：从袋中不放回地依次取出个球一共有种可能，第1次取到黑球有6中可能，不放回地依次取出2个球，那么第2次可以从剩下的9个球中选取共计种(3) 利用条件概率公式计算可得结果．
解析：设第次取到黑球为事件，第次取到黑球为事件，则第次和第次都取到黑球为事件
从袋中不放回地依次取出个球的事件数为，根据分步乘法计数原理，，于是
(2)在第次取到黑球的条件下，第次取到黑球的概率为
.
18．(1)
(2)选①，满足条件的的个数为2；选②，满足条件的的个数为1；选③，不存在满足条件的三角形；理由见解析
【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得.
（2）选①，利用三角形的面积公式化简已知条件，求得，进而求得，利用正弦定理求得有两个解，从而得出结论.选②利用正弦定理化简已知条件，求得，利用正弦定理求得有一个解，从而得出结论.选③，结合三角恒等变换求得，利用正弦定理求得，无解，从而得出结论.
(1)因为，所以，
解得，所以.
(2)选择①，
因为，所以，
所以，化简得.
又，故.
由，得.
因为，所以或，故满足条件的的个数为2.
选择②，
因为，所以，即，
化简得，
因为，所以，解得.
由，得，所以，故满足条件的的个数为1.
选择③，
因为，所以.
又，所以，
所以，化简得.
又，故.
由，得，无解，不存在满足条件的三角形.
19.【解析】（1）因为，，
所以，.
因为，所以
所以，
由此可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强.
（2）由（1）知，，
所以.
因为，
所以y关于x的线性回归方程为.
20.【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定，证明平面即可；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面夹角即可.
【详解】（1）因为底面，平面，故.
又为正方形，故.又，平面，故平面.又平面，故.
（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系.
设，则，，，，.
，，.
设平面的法向量，则，即，设则.
设直线AE与平面PBD所成角为，则.
21.【解析】（1）根据所给数据完成列联表：
科目 性别 合计
男生 女生
物理 300 250 550
历史 100 150 250
合计 400 400 800
所以推断该校学生选择物理或历史与性别有关，此推断犯错误的概率不大于；
（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人，
随机变量的所有可能取值为，
的分布列为：
0 1 2
22.（1）；（2）是定值；.
【分析】（1）根据椭圆定义，由的周长为8，求出，再由椭圆过点，求出，即可得出椭圆方程；
（2）先讨论直线的斜率不存在时，求出；再讨论直线的斜率存在时，设直线，、，、，线，分别联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出和，即可得出结果.
【详解】（1）由椭圆的定义可得，，，
∴，则；
又椭圆经过点，所以，解得
所以椭圆的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入得，所以，，；
当直线的斜率存在时，设直线，、，、，
将代入，整理得：，
∴，
∴
；
又直线，代入整理得：，
则，
∴，
则，
综上所述为定值.
【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中的定值问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.
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学校
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