高中试卷答案网普宁市2022-2023学年高二上学期期末教学质量测试
数学科试题
本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟
说明：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上，并在“考场号”、“座位号”栏内填涂考场号、座位号.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己保存.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1.直线在y轴上的截距为（ ）
A. B. C. D.
2.已知空间向量，，则（ ）
A. B.19 C.17 D.
3.已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（ ）
A.54 B.71 C.81 D.80
4.若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则（ ）
A.1 B.3 C.6 D.1或3
5.双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，它的一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
6.在空间四边形中，等于（ ）
A. B.0 C.1 D.不确定
7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（（约公元前262—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，动点满足，则动点P轨迹与圆的位置关系是（ ）
A.相交 B.相离 C.内切 D.外切
8.设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为（ ）
A.63 B.64 C.65 D.66
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知数列中，，且，则能使的可以是（ ）
A.4 B.14 C.21 D.28
10.设椭圆的左、右焦点分别为，，则下列说法中正确的有（ ）
A.离心率
B.过点的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为
C.若P是椭圆C上的一点，则面积的最大值为1
D.若P是椭圆C上的一点，且，则面积为
11.已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）
A.直线与直线所成的角为 B.平面
C.点到平面的距离为 D.直线与平面所成角的余弦值为
12.已知圆，直线，P为直线上的动点，过点P作圆M的切线、，切点为A、B，则下列结论正确的是（ ）
A.四边形面积的最小值为4 B.四边形面积的最大值为8
C.当△APB最大时， D.当最大时，直线AB的方程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.直线被圆截得的弦长为__________。
14.在空间直角坐标系中，向量为平面ABC的一个法向量，其中，，则向量的坐标为__________。
15.将数列按“第组有个数”的规则分组如下：，，，…则第22组中的第一个数是__________。
16.已知点F是抛物线的焦点，点，点P为抛物线上的任意一点，则的最小值为__________。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知直线，，，，直线与相交于点P；
（1）求点P的坐标；
（2）若经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求实数a，b的值.
18.如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度米.现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平.
（1）问船只能否顺利通过该桥？
（2）已知每增加一层货箱，船体连货物高度整体上升4 cm；每减少一层货箱，船体连货物高度整体下降4 cm.且货物顶部与桥壁在竖直方向需留2 cm间隙方可通过，问船只最多增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？
19.已知圆C的方程为：.
（1）求m的值，使圆C的周长最小；
（2）过作直线l，使l与满足（1）中条件的圆C相切，求l的方程，并求切线段的长.
20.如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，.
（1）证明平面SBC；
（2）求平面SBC与平面SAD的夹角.
21.已知数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.
①，；②是和的等比中项，.
若公差不为0的等差数列的前n项和为，且__________，求数列的前n项和.
22.已知的两个顶点坐标分别为，，该三角形的内切圆与边AB，BC，CA分别相切于P，Q，S三点，且，设的顶点A的轨迹为曲线E.
（1）求E的方程；
（2）直线交E于R，V两点.在线段VR上任取一点T，过T作直线与E交于M，N两点，并使得T是线段MN的中点，试比较与的大小并加以证明.
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数学科试题参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1 2 3 4 5 6 7 8
D D C B C B A A
8.【解析】由，，成等差数列，可得，
则，，……
可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为的等差数列.
则，
，
则的最大值可能为.
由，，可得.
因为，，，即，所以，则
，当且仅当时，，符合题意，
故的最大值为.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9 10 11 12
AD BCD BD AD
12.【解析】如下图所示：
由圆的几何性质可得，，
由切线长定理可得，又因为，，所以，，
所以，，
因为，当时，取最小值，
且，所以，四边形的面积的最小值为，A对；
因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，B错；
因为为锐角，，且，
故当最小时，最大，此时最大，此时，C错；
由上可知，当最大时，且，
故四边形为正方形，且有，则的方程为，
联立，可得，即点，
由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，D对.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.3
16.【解析】如图，过作抛物线准线的垂线，垂足为，连接，
则，当且仅当共线时等号成立，
故的最小值为3.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.由
解得，所以
依题意，
由于经过点，所以①，由令得，
令得，所以②，
由①②解得
18.以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系.
设抛物线方程为，
根据题意知点B在抛物线上；
∴25＝—4m，∴，∴；
可设C，过C作AB的垂线，交抛物线于D，
则，∴.
∵.∴货箱能顺利通过该桥.
由题知，货物超出高度为，
因为每增加一层船体连货物高度整体上升4cm，且货物与桥壁需留下2cm间隙.
所以需要增加层数为层，
因此，船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过.
19.由，
配方得：，
当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小.
由得，，圆的方程为：.
当直线与轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；
当直线与轴不垂直时，设为，
由直线与圆相切得：，解得，
所以切线方程为，即.
综上，直线方程为或.
圆心与点的距离，
则切线长度为.
20.∵，，∴，
又平面，平面，
∴//平面
∵平面且，平面，∴，，
又∵，
故以A为原点，分别以所在直线为轴，轴、轴，建立如图空间直角坐标系，
由，，
可得：，，，，，
设为平面的一个法向量，则，，
，，
，，，
令，则，，
，
又为平面的一个法向量，且；
设平面与平面的夹角大小为，
，
由得：平面与平面的夹角大小为
21.当时，，可得；
当时，，
所以，即，
因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
设数列的公差为，
若选择①，由题意，
解得；
所以，
若选择②，有，即，即，
因为，所以，
所以，解得，
所以，
由得，，所以，
所以，
，
两式相减得，
所以.
22.由内切圆的性质得，
根据椭圆的定义，曲线E是以B，C为焦点，4为长轴长的椭圆，
且A，B，C不共线，
则，，
故E的方程为.
当T不为坐标原点时，设，则
两式相减得，即，所以.
设，
联立方程组整理得，
.
因为T是线段的中点，所以
.
联立方程组解得.
联立方程组解得，
所以，
故.
当T为坐标原点时，
由对称性知，与的大小关系不确定.