高中试卷答案网2023年山东省枣庄市滕州市中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．下列各数是负数的是（ ）
A．（﹣1）2 B．|﹣3| C．﹣（﹣5） D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．（a+b）2＝a2+b2
C．a2×a＝a3 D．（a2）3＝a5
3．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm．已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（ ）
A．28×10﹣9m B．2.8×10﹣9m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣10m
4．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝45°，要使木条a与b平行，木条a按箭头方向旋转的度数至少是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．40°
5．如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知＝，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
6．华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的，则每次降价的百分比是（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
7．有三张反面无差别的卡片，其正面分别印有国际数学家大会的会标，现将三张卡片正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
9．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，△ABC的顶点B在x轴上，点C在y轴上，∠BAC＝90°，AB＝AC，AB与y轴相交于点D，且AD＝BD，若△ABC的面积为5，则k＝（ ）
A．﹣2 B．5 C．2 D．4
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，①b2﹣4ac＞0②4a+c＜0③当﹣3≤x≤1时，y≥0④若，为函数图象上的两点，则y1＞y2，以上结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6小题，满分18分，请将答案填在答题卡的相应位置上．
11．若x，y满足方程组，则x+y＝ ．
12．若（a﹣3）2+＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ．
13．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是 ．
14．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 米．
15．如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是 cm2．（结果用含π的式子表示）
16．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 ．
三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）化简：；
（2）解不等式组：，并写出它的最大整数解．
18．2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），其中A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x＜100，并绘制了如下不完整的统计图．
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ ，扇形统计图中A组占 %；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，求优秀学生所在扇形对应圆心角的度数．
19．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP＝NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
20．请根据对话和聪聪的做法，解决问题
聪聪的做法是：
第一步：在教学楼前5米的M点处测得大楼顶端的仰角为75°；
第二步：在图书馆D处测得教学楼顶端的仰角为30°，（B、M、D三点共线，A、B、M、D、C在同一竖直的平面内，测倾仪的高度忽略不计）；
第三步：计算出教学楼与图书馆之间BD的距离．
请你根据聪聪的做法，计算出教学楼与图书馆之间BD的距离？（结果精确到1米）．
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41，≈1.73）
21．如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，将△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F点上，连接DF，延长FE，交DC延长线于点G．
（1）求证：△DFG∽△FAD；
（2）若菱形ABCD的边长为5，AF＝3，求BE的长．
22．电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加．
（1）当10≤x≤30时，求y与x之间的关系式；
（2）电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？
23．如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线BC交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．下列各数是负数的是（ ）
A．（﹣1）2 B．|﹣3| C．﹣（﹣5） D．
【分析】先化简各式，然后根据负数小于0，逐一判断即可解答．
解：A、（﹣1）2＝1，故A不符合题意；
B、|﹣3|＝3，故B不符合题意；
C、﹣（﹣5）＝5，故C不符合题意；
D、＝﹣2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了实数，准确熟练地化简各式是解题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．（a+b）2＝a2+b2
C．a2×a＝a3 D．（a2）3＝a5
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则即可求出答案．
解：A．2a与3b不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故B不符合题意
C．a2×a＝a3，故C符合题意
D．（a2 ）3＝a6，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则及公式，本题属于基础题型．
3．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm．已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（ ）
A．28×10﹣9m B．2.8×10﹣9m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣10m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：因为1nm＝10﹣9m，
所以28nm＝28×10﹣9m＝2.8×10﹣8m．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝45°，要使木条a与b平行，木条a按箭头方向旋转的度数至少是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．40°
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
解：如图：
∵∠AOC＝∠2＝45°时，OA∥b，即a∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣45°＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
5．如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知＝，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．
解：∵以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，＝，
∴＝＝，
则四边形A′B′C′D′面积为：18．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出面积比是解题关键．
6．华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的，则每次降价的百分比是（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【分析】设每次降价的百分比是x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分比）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设每次降价的百分比是x，
依题意得：（1﹣x）2＝，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．有三张反面无差别的卡片，其正面分别印有国际数学家大会的会标，现将三张卡片正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到的卡片正面图案都是中心对称图形的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：把三张卡片从左到右分别记为A、B、C、其中A是轴对称图形B、C是中心对称图形，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到的卡片正面图案都是中心对称图形的结果有2种，
∴抽到的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为＝，
故选：B．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
【分析】连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，由矩形的判断方法得出四边形ACDB是矩形，得出AB∥CD，AB＝CD＝16cm，由切线的性质得出OE⊥CD，得出OE⊥AB，得出四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），进而得出EF＝BD＝4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，由勾股定理得出方程r2＝82+（r﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．
解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，
∵AC⊥CD、BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD＝4cm，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵CD切⊙O于点E，
∴OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），
∴EF＝BD＝4cm，
设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，
在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，
∴r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10，
∴这种铁球的直径为20cm，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键．
9．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，△ABC的顶点B在x轴上，点C在y轴上，∠BAC＝90°，AB＝AC，AB与y轴相交于点D，且AD＝BD，若△ABC的面积为5，则k＝（ ）
A．﹣2 B．5 C．2 D．4
【分析】作AE⊥y轴于E，AF⊥x轴于F，则AE∥x轴，通过证得△ABF≌△ACE（AAS），得到AE＝AF，BF＝CE，设A（m，m），
根据题意即可得到B（﹣m，0），利用勾股定理求得AB2＝AF2+BF2＝5m2，由△ABC的面积为5，即可得到k＝m2＝2．
解：作AE⊥y轴于E，AF⊥x轴于F，则AE∥x轴，
∴∠EAB＝∠ABF，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAE+∠EAB＝90°，
∴∠CAE+∠ABF＝90°，
∵∠ABF+∠BAF＝90°，
∴∠BAF＝∠CAE，
∵AB＝AC，∠AFB＝∠AEC＝90°，
∴△ABF≌△ACE（AAS），
∴AE＝AF，BF＝CE，
设A（m，m），
∵AD＝BD，AF∥y轴，
∴BO＝FO，
∴B（﹣m，0），
∴CE＝BF＝2m，
∴AB2＝AF2+BF2＝m2+（2m）2＝5m2，
∵△ABC的面积为5，
∴AB AC＝AB2＝5，
∴×5m2＝5，
∴m2＝2，
∵点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，
∴k＝m m＝m2＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，表示出A、B的坐标是解题的关键．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，①b2﹣4ac＞0②4a+c＜0③当﹣3≤x≤1时，y≥0④若，为函数图象上的两点，则y1＞y2，以上结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的图象与性质解答．
解：由题意可知二次函数图象与x轴有两个交点，即方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
由函数图象对称性可得函数图象经过（﹣3，0）和（1，0）两点，
∴9a﹣3b+c＝0①，a+b+c＝0②，
①+②×3并化简得：3a+c＝0，
∴4a+c＝a+3a+c＝a＜0，故②正确；
∵由函数图象对称性可得函数图象经过（﹣3，0）和（1，0）两点，
∴由函数整个图象可得当﹣3≤x≤1时，y≥0，故③正确；
设时，函数值为y3，则由函数图象的对称性可得：y2＝y3，
∵，
∴由函数的增减性可得：y1＜y3，
∴y1＜y2，故④错误；
故正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．
二、填空题：本大题共6小题，满分18分，请将答案填在答题卡的相应位置上．
11．若x，y满足方程组，则x+y＝ 5 ．
【分析】把方程组的两个方程的左右两边分别相减，求出x+y的值即可．
解：，
①﹣②，可得：（2x﹣3y）﹣（x﹣4y）＝7﹣2，
∴x+y＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意加减法的应用．
12．若（a﹣3）2+＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 11或13 ．
【分析】先求a，b．再求第三边c即可．
解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，
∴a＝3，b＝5，
设三角形的第三边为c，
当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，
当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，
故答案为：11或13．
【点评】本题考查等腰三角形周长计算，求出a，b后确定腰和底是求解本题的关键．
13．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是 25 ．
【分析】先证四边形ABCD平行四边形，再证四边形ABCD是菱形，得CD＝BC＝AB＝AD，设CD＝BC＝x，则CG＝8﹣x，然后在Rt△CDG中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：如图，由题意得：矩形BFDE≌矩形BHDG，
∴∠G＝90°，DG＝DE＝6，BG∥DH，BE∥DF，BG＝8，
∴四边形ABCD平行四边形，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD DG＝CD DE，
∴AD＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC＝AB＝AD，
设CD＝BC＝x，则CG＝8﹣x，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴CD＝，
∴菱形ABCD的周长＝4CD＝25，
即重叠部分的四边形周长是25，
故答案为：25．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
14．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 （﹣1+） 米．
【分析】根据BE2＝AE AB，建立方程求解即可．
解：∵BE2＝AE AB，
设BE＝x，则AE＝（2﹣x），
∵AB＝2，
∴x2＝2（2﹣x），
即x2+2x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），
∴线段BE的长为（﹣1+）米．
故答案为：（﹣1+）．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解决本题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是 cm2．（结果用含π的式子表示）
【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．
解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，
∴S扇形DOE＝＝（cm2），
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键．
16．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 127 ．
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26＝127（个），
故答案为：127．
【点评】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）化简：；
（2）解不等式组：，并写出它的最大整数解．
【分析】（1）先通分，再把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分即可；
（2）利用解一元一次不等式组的方法进行求解，再确定其最大整数解即可．
解：（1）
＝
＝
＝；
（2），
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜4，
故原不等式组的解集为：1≤x＜4，
则其最大的整数解是：3．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
18．2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），其中A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x＜100，并绘制了如下不完整的统计图．
（1）本次调查一共随机抽取了 400 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ 60 ，扇形统计图中A组占 5 %；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，求优秀学生所在扇形对应圆心角的度数．
【分析】（1）由C组的人数除以所占百分比得出抽取的学生数，再进一步求出m和A组所占的百分数即可；
（2）求出E组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可；
（3）由学校共有学生人数乘以成绩优秀的学生所占的比例即可解答．
解：（1）本次调查一共随机抽取的学生总人数为：96÷24%＝400（名），
∴B组的人数为：400×15%＝60（名），
∴m＝60，
∵A组的人数为20人，
∴扇形统计图中A组占的百分比为：×100%＝5%．
故答案为：400，60，5；
（2）E组的人数为：400﹣20﹣60﹣96﹣144＝80（人），
补全学生成绩频数分布直方图如下：
（3）360°×＝201.6°．
答：优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为201.6°．
【点评】本题考查扇形统计图、频数分布直方图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量关系是正确计算的前提．
19．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP＝NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；
（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．
【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：
在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵MQ∥BC，
∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，
∴△AMQ是等边三角形，
∴AM＝QM，
∵AM＝CN，
∴QM＝CN，
在△QMP和△CNP中，
，
∴△QMP≌△CNP（AAS），
∴MP＝NP；
（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH＝HQ，
∵△QMP≌△CNP，
∴QP＝CP，
∴PH＝HQ+QP＝AC，
∵AB＝a，AB＝AC，
∴PH＝a．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20．请根据对话和聪聪的做法，解决问题
聪聪的做法是：
第一步：在教学楼前5米的M点处测得大楼顶端的仰角为75°；
第二步：在图书馆D处测得教学楼顶端的仰角为30°，（B、M、D三点共线，A、B、M、D、C在同一竖直的平面内，测倾仪的高度忽略不计）；
第三步：计算出教学楼与图书馆之间BD的距离．
请你根据聪聪的做法，计算出教学楼与图书馆之间BD的距离？（结果精确到1米）．
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41，≈1.73）
【分析】解直角三角形ABM求得AB，解Rt△ABD可得出BD的长，即可得出结论．
解：根据题意可得∠ABM＝90°，
在Rt△ABM中，BM＝5，∠AMB＝75°，
∴tan∠AMB＝≈3.73，
∴AB≈3.73×5＝18.65（米），
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
∴tan∠ADB＝＝，
∴BD＝AB≈1.73×18.65≈32（米），
∴教学楼与图书馆之间BD的距离约为32米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，找准直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，将△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F点上，连接DF，延长FE，交DC延长线于点G．
（1）求证：△DFG∽△FAD；
（2）若菱形ABCD的边长为5，AF＝3，求BE的长．
【分析】（1）由菱形的性质判断出CD∥AB，∠A＝∠BCD，再由对称得出∠BCD＝∠DFG，得出∠A＝∠DFG，即可得出结论；
（2）由翻折知：DC＝DF＝5，利用相似三角形的判定与性质可得CG＝DG﹣DC＝，CE＝BE，最后由线段的和差关系可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠BCD，
由对称知，∠DFG＝∠BCD，
∴∠A＝∠DFG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠AFD＝∠FDG，
∴△DFG∽△FAD；
（2）解：由翻折知：DC＝DF＝5，
∵△DFG∽△FAD，
∴，即，
∴DG＝＝FG，
∴CG＝DG﹣DC＝，
∵AB＝5，AF＝3，
∴BF＝2，
∵CG∥BF，
∴△CGE∽△BFE，
∴，
∴CE＝BE，
∵CE+BE＝BC＝5，
∴，
∴BE＝．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，判断出△DFG∽△FAD是解本题的关键．
22．电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加．
（1）当10≤x≤30时，求y与x之间的关系式；
（2）电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？
【分析】（1）设关系为y＝，将（10，6）代入求k；
（2）将y＝5代入函数关系式求出x的值．
解：（1）设y＝．
∵过点（10，6），
∴m＝xy＝10×6＝60．
∴当10≤x≤30时，y与x的关系式为：y＝；
（2）将x＝30℃代入上式中得：y＝，x＝2．
∴温度在30℃时，电阻y＝2（kΩ）．
∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ，
∴当x≥30时，
y＝2+（x﹣30）＝x﹣6，
把y＝5代入y＝，
得x＝12；
把y＝5时代入，
得；
答：当时，电阻不超过5kΩ．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
23．如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，证出OD⊥CD，由切线的判定可得出结论；
（2）证明△BDC∽△DAC，由相似三角形的性质得出＝，由比例线段求出CD和BC的长，可求出AB的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠BDC+∠ODB＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ADB＝90°，tan∠BED＝，
∴，
∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠BAD，
∴△BDC∽△DAC，
∴＝，
∵AC＝9，
∴，
∴CD＝6，
∴，
∴BC＝4，
∴AB＝AC﹣BC＝9﹣4＝5．
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线BC交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4），可得PE＝﹣t2+2t，再由△EMP∽△CMD，可得＝＝﹣t2+t，根据等高三角形的面积比等于底的比可得：m＝＝＝﹣（t﹣2）2+，运用二次函数的性质即可得出答案；
（3）分两种情形分别求解即可：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时．
解：（1）∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵OC＝2OA，
∴OC＝4，
∴C（0，4），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，4），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）如图1，过点P作PE∥y轴交直线BC于E，连接CP，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∵B（4，0）、C（0，4），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4），
∴PE＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t，
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，
∴D（0，1），
∴CD＝4﹣1＝3，
∵PE∥y轴，即PE∥CD，
∴△EMP∽△CMD，
∴＝＝＝﹣t2+t，
∵m＝＝，
∴m＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，m取得最大值，此时点P的坐标为（2，4）；
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
由（2）知：D（0，1），P（2，4），
①当DP是矩形的边时，有两种情形，
当四边形PDQ1N1为矩形时，如图2，连接PC，过点N1作N1M⊥x轴于M，
则∠DCP＝∠N1MQ1＝90°，
∴∠Q1N1M+∠N1Q1M＝90°，
∵四边形PDQ1N1为矩形，
∴PD＝N1Q1，∠PDQ1＝∠DQ1N1＝90°，
∴∠PDC+∠Q1DO＝∠N1Q1M+∠DQ1O＝90°，
∵∠DOQ1＝90°，
∴∠Q1DO+∠DQ1O＝90°，
∴∠PDC＝∠Q1N1M＝∠DQ1O，
∴△PDC≌△Q1N1M（AAS），
∴Q1M＝CP＝2，MN1＝CD＝3，
∵∠DCP＝∠DOQ1＝90°，∠PDC＝∠DQ1O，
∴△PDC∽△DQ1O，
∴＝，即＝，
∴OQ1＝，
∴OM＝OQ1+Q1M＝+2＝，
∴N1（，3）；
当四边形PDN2Q2是矩形时，如图2，过点Q2作Q2K⊥x轴交CP的延长线于K，过点N2作N2T⊥x轴于T，
∵四边形PDN2Q2是矩形，
∴∠DPQ2＝90°，PD＝N2Q2，
∴∠DPC+∠Q2PK＝90°，
∵∠K＝∠DCP＝90°，
∴∠PDC+∠DPC＝90°，
∴∠PDC＝∠Q2PK，
∴△PDC∽△Q2PK，
∴＝，即＝，
∴PK＝6，
∴OQ2＝8，
∵∠PQ2K+∠PQ2O＝∠PQ2O+∠N2Q2T＝90°，
∴∠PQ2K＝∠N2Q2T，
∵∠PQ2K＝∠DPC，
∴∠N2Q2T＝∠DPC，
∵∠DCP＝∠N2TQ2＝90°，
∴△DCP≌△N2TQ2（AAS），
∴Q2T＝CP＝2，N2T＝CD＝3，
∴OT＝OQ2﹣Q2T＝8﹣2＝6，
∴N2（6，﹣3）；
②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，
∵Q是直角顶点，
∴QD2+QP2＝PD2，
∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，
整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在；
综上所述，N点的坐标为（，3）或（6，﹣3）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
转载请注明出处高中试卷答案网 » 2023年山东省枣庄市滕州市中考数学一模试卷(含解析)