高中试卷答案网2022-2023学年南京市重点中学高二下学期 3月月考
数学试题
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且a1、a2、a5成等比数列，则S6＝（ ）
A．36 B．18 C．72 D．9
2．随机变量X的分布列如下表所示，则P（X≤2）＝（ ）
X 1 2 3 4
P 0.1 m 0.3 2m
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
3．已知某仓库中有10箱同样型号的零件，其中有5箱、3箱、2箱依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该型号零件的次品率依次为，现从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一个零件，则取得的零件是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2
4．现有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必须相邻的站法有（ ）
A．72 种 B．144 种 C．288 种 D．576 种
5．已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球（有放回，每球取到的机会均等），共取三次．设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．1
6．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
7．已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线的虚轴长为（ ）
A．6 B． C． D．
8．已知函数f（x）＝（e﹣a）ex﹣ma+x，（m，a为实数），若存在实数a，使得f（x）≤0对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣，+∞） B．[﹣e，+∞） C．[，e] D．[﹣e，﹣]
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9．对于离散型随机变量X的数学期望E（X）和方差D（X），下列说法正确的是（ ）
A．E（X）反映随机变量的平均取值
B．D（X）越小，说明X越集中于E（X）
C．E（aX+b）＝aE（X）+b
D．D（aX+b）＝a2D（X）+b
10．已知双曲线C：过点（3，），则下列结论正确的是（ ）
A．C的焦距为4
B．C的离心率为
C．C的渐近线方程为
D．直线2x﹣y﹣1＝0与C有两个公共点
11．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．f（x）在x＝e处取得极大值
B．f（x）在x＝e处取得最大值
C．f（x）有两个不同零点
D．f（2）＜f（π）＜f（3）
12．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．若非零向量，，满足∥，∥，则有∥
B．任意向量，，满足（ ） ＝ （ ）
C．若，，是空间的一组基底，且＝++，则A，B，C，D四点共面
D．已知向量＝（1，1，x），＝（﹣3，x，9），若x＞，，则＜，＞为锐角
三．填空题（共4小题，，每题5分，共20分）
13．二项展开式（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则5a5+4a4+3a3+2a2+a1＝ ．
14．中国古典数学的代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等．学校图书馆计划将这四本书借给3名学生阅读，要求每人至少读一本，则不同的借阅方式有 种（用数字作答）．
15．已知向量，点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．在直线AB上，存在一点E，使得，则点E的坐标为 ．
16．已知数列{an}满足：an＞0，a1＝2，且an+12＝2an2+anan+1，令bn＝，设数列{bn}的前n项和为Sn，则S7＝ ．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）已知（2﹣）n的展开式中，第3项和第5项的二项式系数相等．
（1）求n；
（2）求展开式中的常数项．
18．（12分）在数列{an}中，a1＝3，an+1＝an+2n+1．
（1）证明：数列{an﹣n}是等比数列；
（2）求数列的前n项和Sn．
19．（12分）某产品按照产品质量标准分为1等品、2等品、3等品、4等品四个等级．某采购商从采购的产品中随机抽取100个，根据产品的质量标准得到下面的柱状图：
（1）若将频率视为概率，从采购的产品中有回放地随机抽取3个，求恰好有1个4等品的概率；
（2）按分层抽样从这100个产品中抽取10个．现从这10个产品中随机抽取3个，记这3个产品中1等品的数量为X，求X的分布列及数学期望；
（3）某生产商提供该产品的两种销售方案给采购商选择．
方案1：产品不分类，售价为22元/个；
方案2：分类卖出，分类后的产品售价如表：
等级 1等品 2等品 3等品 4等品
售价（元/个） 24 22 18 16
根据样本估计总体的思想，从采购商的角度考虑，应该接收哪种方案？请说明理由．
20．（12分）已知椭圆的右焦点，且点A（2，0）在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）过点F且斜率为1的直线与椭圆C相交于M、N两点，求线段MN的长度．
21．（12分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2．
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP平面A1BP？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝﹣+ax﹣lnx（a∈R）．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．
答案解析
一．选择题（共8小题）
1．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且a1、a2、a5成等比数列，则S6＝（ ）
A．36 B．18 C．72 D．9
【解答】解：∵a1、a2、a5成等比数列，
∴＝a1 a5，可得＝a1（a1+2×4），
解得：a1＝1
则S6＝6+×2＝36．
故选：A．
2．随机变量X的分布列如下表所示，则P（X≤2）＝（ ）
X 1 2 3 4
P 0.1 m 0.3 2m
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【解答】解：由离散型随机变量分布列的性质可知，0.1+0.3+m+2m＝1，解得m＝0.2，
故P（X≤2）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝0.1+0.2＝0.3．
故选：C．
3．已知某仓库中有10箱同样型号的零件，其中有5箱、3箱、2箱依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该型号零件的次品率依次为，现从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一个零件，则取得的零件是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2
【解答】解：以A1，A2，A3分别表示取得的零件是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的零件为次品，
则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，P（B|A1）＝，P（B|A2）＝，P（B|A3）＝，
则由全概率公式，所求概率为P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝＝0.08，
故选：A．
4．现有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必须相邻的站法有（ ）
A．72 种 B．144 种 C．288 种 D．576 种
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将两位老师看成一个整体，与乙、丙、丁全排列，有AA＝48种排法，
②将甲安排在中间的空位中，有3种安排方法，
则有48×3＝144种安排方法，
故选：B．
5．已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球（有放回，每球取到的机会均等），共取三次．设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．1
【解答】解：根据题意，可得事件A包含的基本事件有3×2×2×6＝72个，
事件B包含的基本事件有3×2×2×2＝24个，
而所有的基本事件有63个，
∴事件A发生的概率为P（A）＝＝，
事件AB同时发生的概率为P（AB）＝＝．
因此P（B|A）＝．
故选：B．
6．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：
若（1+）＝（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：
若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：
由（1+x）6通项公式可得．
可知r＝2时，可得展开式中x2的系数为．
可知r＝4时，可得展开式中x2的系数为．
（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15＝30．
故选：C．
7．已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线的虚轴长为（ ）
A．6 B． C． D．
【解答】解：根据题意可得，
解得a＝b＝，
∴该双曲线的虚轴长为2b＝，
故选：B．
8．已知函数f（x）＝（e﹣a）ex﹣ma+x，（m，a为实数），若存在实数a，使得f（x）≤0对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣，+∞） B．[﹣e，+∞） C．[，e] D．[﹣e，﹣]
【解答】解：函数的导数f′（x）＝（e﹣a）ex+1，
若e﹣a≥0，可得f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，当x→+∞，f（x）→+∞，
不满足f（x）≤0对任意x∈R恒成立；
若e﹣a＜0，由f′（x）＝0，得ex＝，则x＝ln，
∴当x＜ln，时，f′（x）＞0，当x＞ln时，f′（x）＜0，
∴f（x）max＝f（ln）＝（e﹣a）e﹣ma+ln＝﹣1﹣ma+ln
若f（x）≤0对任意x∈R恒成立，则﹣1﹣ma+ln≤0，（a＞e）恒成立，
若存在实数a，使得﹣1﹣ma+ln≤0成立，
则ma≥﹣1+ln，∴m≥﹣﹣，（a＞e），
令F（a）＝﹣﹣，
则F′（a）＝﹣＝．
∴当a＜2e时，F′（a）＜0，当a＞2e时，F′（a）＞0，
则F（a）min＝F（2e）＝﹣．
∴m≥﹣．
则实数m的取值范围是[﹣，+∞）．
故选：A．
二．多选题（共4小题）
9．对于离散型随机变量X的数学期望E（X）和方差D（X），下列说法正确的是（ ）
A．E（X）反映随机变量的平均取值
B．D（X）越小，说明X越集中于E（X）
C．E（aX+b）＝aE（X）+b
D．D（aX+b）＝a2D（X）+b
【解答】解：离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值；即AB正确；
由期望和方差的性质可得，E（aX+b）＝aE（X）+b，D（aX+b）＝a2D（X），即C正确，D错；
故选：ABC．
10．已知双曲线C：过点（3，），则下列结论正确的是（ ）
A．C的焦距为4
B．C的离心率为
C．C的渐近线方程为
D．直线2x﹣y﹣1＝0与C有两个公共点
【解答】解：双曲线C：过点（3，），
可得3﹣＝1，解得m＝1，
所以双曲线方程为：．
焦距为2c＝4，A正确；
离心率为e＝，所以B不正确；
渐近线方程为：，所以C正确；
直线2x﹣y﹣1＝0过（，0），斜率为：＞，所以直线2x﹣y﹣1＝0与C没有交点．所以D不正确；
故选：AC．
11．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．f（x）在x＝e处取得极大值
B．f（x）在x＝e处取得最大值
C．f（x）有两个不同零点
D．f（2）＜f（π）＜f（3）
【解答】解：函数的导数，
令f′（x）＝0得x＝e，则当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数为增函数，
当x＞e时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，
则当x＝e时，函数取得极大值，极大值为，故A正确，
由A知当x＝e时，函数取得最大值，最大值为，故B正确；
由f（x）＝0，得lnx＝0，得x＝1，即函数f（x）只有一个零点，故C错误，
∵，由x＞e时，函数f（x）为减函数，知f（3）＞f（π）＞f（4），
故f（2）＜f（π）＜f（3）成立，故D正确．
故选：ABD．
12．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．若非零向量，，满足∥，∥，则有∥
B．任意向量，，满足（ ） ＝ （ ）
C．若，，是空间的一组基底，且＝++，则A，B，C，D四点共面
D．已知向量＝（1，1，x），＝（﹣3，x，9），若x＞，，则＜，＞为锐角
【解答】解：A：因为，，是非零向量，所以由∥，∥，可得∥，故正确；
B：因为向量，不一定是共线向量，因此（ ） ＝ （ ）不一定成立，故不正确；
C：因为，，是是空间的一组基底，
所以A，B，C三点不共线，又因为＝++，所以A，B，C，D四点共面，故正确；
D：cos＜，＞＝＝，
当x＞时，cos＜，＞＞0，
若向量＝（1，1，x），＝（﹣3，x，9）同向，则有＝λ，
所以有 ，而λ＞0，所以向量＝（1，1，x），＝（﹣3，x，9）不能同向，因此＜，＞为锐角，故正确．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题）
13．二项展开式（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则5a5+4a4+3a3+2a2+a1＝ 10 ．
【解答】解：（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
左右两边分别求导可得，5（2x﹣1）4×2＝，
令x＝1可得，5a5+4a4+3a3+2a2+a1＝10．
故答案为：10．
14．中国古典数学的代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等．学校图书馆计划将这四本书借给3名学生阅读，要求每人至少读一本，则不同的借阅方式有 36 种（用数字作答）．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①在四本书中选出2本，分配给三人中的1人，有C42C31＝18种分法，
②剩下的2本安排给其余2人，有A22＝2种分法，
则有18×2＝36种借阅方式，
故答案为：36．
15．已知向量，点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．在直线AB上，存在一点E，使得，则点E的坐标为 ．
【解答】解：设，
因为A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2），
所以，，，，
因为，
所以﹣2（λ﹣3）+（﹣λ﹣1）+（﹣2λ+4）＝0，解得，
又A（﹣3，﹣1，4），，
所以点E的坐标为．
故答案为：．
16．已知数列{an}满足：an＞0，a1＝2，且an+12＝2an2+anan+1，令bn＝，设数列{bn}的前n项和为Sn，则S7＝ 2046 ．
【解答】解：∵，
∴，则（an+1﹣2an）（an+1+an）＝0．
又an＞0，∴an+1﹣2an＝0，即，
∴数列{an}是以2为首项、2为公比的等比数列，
∴．
则，
，
两式相减得，
∴，
故答案为：2046．
四．解答题（共6小题）
17．已知（2﹣）n的展开式中，第3项和第5项的二项式系数相等．
（1）求n；
（2）求展开式中的常数项．
【解答】解：（1）由题意（2﹣）n的展开式中，第3项和第5项的二项式系数相等，∴，
∴．
整理得n2﹣5n﹣6＝0，
解得n＝6，或n＝﹣1（舍）
∴n＝6．
（2）∵二项展开式通项公式为，
令3﹣r＝0，解得r＝3，
故所求展开式中的常数项为．
18．在数列{an}中，a1＝3，an+1＝an+2n+1．
（1）证明：数列{an﹣n}是等比数列；
（2）求数列的前n项和Sn．
【解答】解：（1）证明：由an+1＝an+2n+1，得an+1﹣（n+1）﹣（an﹣n）＝2n，
∴an﹣n﹣[an﹣1﹣（n﹣1）]＝2n﹣1，
an﹣1﹣（n﹣1）﹣[an﹣2﹣（n﹣2）]＝2n﹣2，
，
a2﹣2﹣[a1﹣1]＝2，
∴an﹣n﹣[a1﹣1]＝2+21+22+ +2n﹣1，
∴an﹣n＝+（a1﹣1）＝2n，
∴数列{an﹣n}是等比数列；
（2）由（1）可得an＝n+2n，
∴＝+1，Sn＝+++ ++n，
令Tn＝+++ +，①
∴2Tn＝1+++ +，②
错位相减，②﹣①，得：
Tn＝1+++…+﹣
＝﹣
＝2﹣，
∴Sn＝2+n﹣．
19．某产品按照产品质量标准分为1等品、2等品、3等品、4等品四个等级．某采购商从采购的产品中随机抽取100个，根据产品的质量标准得到下面的柱状图：
（1）若将频率视为概率，从采购的产品中有回放地随机抽取3个，求恰好有1个4等品的概率；
（2）按分层抽样从这100个产品中抽取10个．现从这10个产品中随机抽取3个，记这3个产品中1等品的数量为X，求X的分布列及数学期望；
（3）某生产商提供该产品的两种销售方案给采购商选择．
方案1：产品不分类，售价为22元/个；
方案2：分类卖出，分类后的产品售价如表：
等级 1等品 2等品 3等品 4等品
售价（元/个） 24 22 18 16
根据样本估计总体的思想，从采购商的角度考虑，应该接收哪种方案？请说明理由．
【解答】解：（1）随机抽取1个，取到4等品的概率为P＝＝，
从采购的产品中有放回地随机抽取3个，记4等品的数量为ξ，则ξ～B（3，），
∴P（ξ＝1）＝＝．
（2）由分层抽样可知，10个产品中，1等品有4个，非1等品有6个，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝．
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．
（3）方案2的平均售价为24×+22×+18×+16×＝21.2，
因为21.2＜22，所以从采购商角度考虑，应该选择方案2．
20．已知椭圆的右焦点，且点A（2，0）在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）过点F且斜率为1的直线与椭圆C相交于M、N两点，求线段MN的长度．
【解答】解：（1）由题意知，焦点且过点A（2，0），
∴，
∴b2＝a2﹣c2＝4﹣3＝1，
∴椭圆方程为．
（2）由题意得，直线MN的方程为，设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立直线与椭圆方程，得，
∴Δ＝192﹣160＝32＞0，
则，
∴，
又∵，
∴．
21．如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2．
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP平面A1BP？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解答】（共14分）
证明：（I）因为DE⊥AB，所以BE⊥DE．
又因为BE⊥A1D，DE∩A1D＝D，所以BE⊥平面A1DE．
因为A1E 平面A1DE，所以A1E⊥BE．
又因为A1E⊥DE，BE∩DE＝E，
所以A1E⊥平面BCDE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
解：（II）因为A1E⊥平面BCDE，BE⊥DE，
所以以E为原点，分别以EB，ED，EA1为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（0，，0），A1（0，0，1）．
所以＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，，0）．
设平面A1BD的法向量＝（x，y，z），
由，令y＝1，得＝（）．
因为BE⊥平面A1DE，所以平面A1DE的法向量，
所以cos＜，＞＝＝＝．
因为所求二面角为锐角，
所以二面角E﹣A1D﹣B的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
（III）假设在线段BD上存在一点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD．
设P（x，y，z），＝（0≤λ≤1），则（x﹣1，y，z）＝λ（﹣1，，0）．
所以P（1﹣λ，，0）．
所以＝（0，0，1），＝（1﹣λ，，0）．
设平面A1EP的法向量＝（x，y，z），
由，得，
令x＝，得＝（）．
因为平面A1EP⊥平面A1BD，
所以＝3λ+λ﹣1＝0，解得∈[0，1]，
所以在线段BD上存在点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD，且＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
22．已知函数f（x）＝﹣+ax﹣lnx（a∈R）．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．
【解答】（1）解：当a＝1时，f（x）＝（x＞0），
所以f（1）＝＝，
故切点坐标为（1，），
又f'（x）＝﹣x+1﹣，
所以f'（1）＝﹣1，
故切线的斜率为﹣1，
由点斜式可得，，即2x+2y﹣3＝0，
故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x+2y﹣3＝0；
（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞），
又f'（x）＝＝，
①当a2﹣4≤0，即﹣2≤a≤2时，f'（x）≤0（0，+∞）上恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当a2﹣4＞0，即a＞2或a＜﹣2，
令f'（x）＝0，解得x＝，x＝，
若a＞2时，则当0＜x＜或x＞时，f'（x）＜0，
当＜x＜时，f'（x）＞0，
所以f（x）在（0，）（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增；
若a＜﹣2时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上单调递减．
综上所述，当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a＞2时，f（x）在（0，）（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增．
（3）证明：由（2）可知，当a＞2时，f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
则，
由题意可得，0＜x1＜1＜x2，
则4f（x1）﹣2f（x2）＝
＝
＝（x1+x2）+2lnx2
＝，
令，
则g'（x）＝，
当时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，
当时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，
故当x＝时，g（x）取得最大值＝1+3ln2，
所以4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．