高中试卷答案网2023年中考数学专题训练：二次函数综合压轴题（平移问题）
1．如图，二次函数的图象与x轴交于点和，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的函数解析式；
(2)如图，点P在直线上方的抛物线上运动，过点P作交于点D，作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中取最大值的条件下，将抛物线沿水平方向向右平移4个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，点Q为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点Q、G、M、N为顶点的叫边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
2．如图，已知抛物线与x轴交，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)若点P是直线下方抛物线上一点，且位于对称轴左侧，过点P作于点D，作轴交抛物线于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线，平移后的抛物线与原抛物线交于点Q，点M是原抛物线对称轴上一点，点N是新抛物线上一点，请直接写出使得以点B，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，其对称轴为，
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接，过点C作交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
4．抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴于点．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)如图1，平移直线经过点，交抛物线于另一点，点在抛物线上，满足的面积与的面积相等，求点的横坐标；
(3)如图2，将抛物线向上平移，使其顶点在轴上，得到抛物线．直线交抛物线于，两点，交其对称轴于点，过点作轴的平行线分别交轴，直线于，两点，交轴于点，求证：．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点．
(1)抛物线对称轴是直线______；
(2)求点的坐标；
(3)点为抛物线上一点，若，求点的坐标；
(4)平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点横坐标为，请直接写出的取值范围．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为第四象限的抛物线上一动点，连接，与相交于点E，设点D的横坐标为t，，求K与t的函数关系，及K的最大值和此时点D的坐标；
(3)在（2）中K取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移4个单位，点F为点D的对应点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
7．如图1，在平面直角坐标系中，，，以为边向右作等腰直角，，，二次函数的图象经过点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)平移该二次函数图象的对称轴所在的直线，若直线恰好将的面积分为1：2两部分，请求出直线平移的最远距离；
(3)将以所在直线为对称轴翻折，得到，那么在二次函数图象上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图所示抛物线y＝a+bx+c由抛物线y＝﹣x+1沿对称轴向下平移3个单位得到，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C，直线y＝kx+b过B、C两点．
(1)写出平移后的新抛物线y＝a+bx+c的解析式；并写出a+bx+c＞kx+b时x的取值范围．
(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POC，那么是否存在点P，使四边形POC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大？求此时点P的坐标和△PBC的最大面积．
9．已知抛物线与x轴有公共点．
(1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
(2)将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
(3)D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
10．如图，抛物线y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B．
(1)b＝ ，点M的坐标为 ；
(2)将直线AB向下平移，使它经过点M，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2，0)，连接DM，求∠DMC的度数；
(3)点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF=2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF=4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2＋bx＋2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，一次函数y＝﹣x﹣1交抛物线于A，D两点，其中点D（3，﹣4）．
(1)求抛物线C1的解析式；
(2)点G为抛物线上一点，且在线段BC上方，过点G作GH∥y轴交BC于H，交x轴于点N，作GM⊥BC于点M，求△GHM周长的最大值；
(3)将抛物线C1沿着射线AD方向平移后得到抛物线C2，使得点A平移后的对应点为A′（），抛物线C1与抛物线C2交于点R，动点Р在抛物线C2上．抛物线C1的对称轴上是否存在点E，使得以点A、R、P、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点E；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为，连接BC，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作轴交BC于点Q，求周长的最大值及此时点P坐标；
(3)如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线，点D是新抛物线上的点且横坐标为，点M为新抛物线上一点，点E、F为直线AC上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来．
13．如图，抛物线与轴交于、，与轴交于．是第一象限内抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)连接，，当时，求点的坐标．
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位，平移后，的对应点分别为、，在轴上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过和点．
(1)求二次函数的表达式：
(2)如图1，平移线段，点的对应点落在二次函数在第一象限的图象上，点的对应点落在直线上，直接写出四边形的形状，并求出此时点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，交轴于点，点为直线下方抛物线上一个动点，过点作轴，交于点，连接，是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
15．如图，反比例函数与一次函数相交于点A（1，4）和点B（4，1），直线 的图象与y轴和x轴分别相交于点C和点D；
(1)请直接写出当时自变量x的取值范围；
(2)将一次函数向下平移8个单位长度得到直线EF，直线EF与x和y轴分别交于点E和点F，抛物线过点A、D、E三点，求该抛物线的函数解析式（也称函数表达式）；
(3)在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBF是以BF为斜边的直角三角形，若存在，请用尺规作图（圆规和无刻度直尺）画出点P所在位置，保留作图痕迹，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求点A的坐标；
(2)如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．
17．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点D是抛物线上位于直线上方的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，，若，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
18．如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点A（3，-1），点C（0，-4）顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接BC．
(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标；
(2)若将该二次函数图象向上平移m（m>0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
试卷第10页，共10页
试卷第9页，共10页
参考答案：
1．(1)
(2)的最大值为，此时
(3)，，．
2．(1)；
(2)的最大值为，此时点坐标为：；
(3)或或．
3．(1)
(2)面积的最大值为4，此时P的坐标为
(3)存在，点F的坐标为，
4．(1)，，
(2)3或或
(3)见解析
5．(1)
(2)
(3)点的坐标：或
(4)或
6．(1)
(2)，K的最大值为．此时
(3)或或
7．(1)
(2)
(3)存在，或或
8．(1)y=-x-2
(2)存在，点P的坐标为(，-1)
(3)P点的坐标为(1，-2)，△PBC的最大面积为1
9．(1)
(2)n＝2
10．(1)3；（3，-3）；
(2)
(3)
11．(1)y=-x2+x+2．
(2)+1
(3)存在点E，使得以点A、R、P、E为顶点的四边形为平行四边形，此时E（，-）或E（，-）或E（，3）
12．(1)
(2)周长的最大值，
(3)点M的横坐标为或或，
13．(1)
(2)
(3)存在，，或，或时，是等腰直角三角形
14．(1)；
(2)D(4，5)；
(3)存在，4或；
15．(1)或
(2)
(3)存在，
16．(1)点A的坐标为(﹣3，0)
(2)S1﹣S2最大值为1，点D的坐标为(﹣2，﹣2)
(3)N点坐标为或或或
17．(1)
(2)点坐标为
(3)，，
18．(1)，M（1，-5）
(2)
(3)P1（，），P2（，），P3（3，-1），P4（﹣3，-7）
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