高中试卷答案网2023年中考数学专题训练：旋转综合压轴题
1．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM．
(1)如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；
(2)如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明；
(3)如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
2．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．
(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；
(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，
①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．
3．在中，，，点D是直线AC右侧一点，且，连接BD．将绕点A顺时针旋转得到，连接DE．
(1)观察猜想，如图1，当时，AD、CD、BD的数量关系是_______；
(2)类比探究，如图2，当时，试判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请说明理由；若不成立，请写出线段AD，BD，CD之间的数量关系，并加以证明．
(3)拓展应用，如图3，在矩形ABCD中，，，EP是的中位线，将绕点A在平面内自由旋转，当为直角三角形时，直接写BE的长．
4．数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片折叠，使边、都落在对角线上，展开得折痕、，连接，如图1．
转一转：将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边、于点、，连接，如图2．
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线剪开，如图4．
(1)______，写出图中两个等腰三角形：______（不需要添加字母）；
(2)线段、、之间的数量关系为______；
(3)连接正方形对角线，若图2中的的边、分别交对角线于点、点．如图3，求的值；
(4)求证：．
5．如图，在中，，，点是边上一动点，作于点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)如图2所示，当点运动的延长线上时，与交于点，其他条件不变， 已知，求的值；
(3)点在边上运动的过程中，线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，若的长为2，求的长．
6．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小．
(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，
5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：．
(3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值．
7．如图1，在中，，．点、分别在、边上，，连接、、．点、、分别是、、的中点，连接、、．
(1)与的数量关系是 ，与的数量关系是 ；
(2)将绕点逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中与的数量关系结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)若，，在将图1中的绕点逆时针旋转一周的过程中，当、、三点在一条直线上时，求的长度．
8．正方形中，对角线、交于点O，点E、F、G分别在边、、上．
(1)在图①中，于点P，连接、；
①判断线段、之间的关系____________；
②若，，P、Q两点关于直线对称，直接写出线段的长度______；
③若，当E、F在边、上运动时，的最小值是______；
(2)在图②中，于点P，连接，比较 与的大小关系，并说明理由．
9．实践与探究
情境：在正方形ABCD中，AB＝5，点F在AC上，且，过点F作EF⊥AC，交CD于点E，连接AE，AF．
(1)问题发现
图（1）中，线段AE与BF的数量关系是______；
直线AE与直线BF的夹角的度数是______．
(2)问题拓展
当△CEF绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，说明理由．
(3)问题延伸
在（2）的条件下，当点F到直线BC的距离为2时，直接写出AE的长．
10．定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”．
(1)如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE统看点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等，并说明理由；
(2)如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DC和BE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系，并说明理由；
(3)如图4，在等边△ABC中，D是△ABC内部一点，且，，，直接写出△ABC的面积．
11．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝a，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角a得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E．
(1)如图1，若A，D，E三点在同一直线上，则∠CDE= （用含a的代数式表示）；
(2)如图2，若A，D，E三点在同一直线上，a=60°，过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)图3中，若CA＝2，CD＝2，将△DCE绕点C旋转，当 时，△CAD的面积最大，最大面积是 ．
12．定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．
【基础巩固】
(1)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC=60°，AC=，求AE+BE+CE=___________．
【尝试应用】
(2)如图2，等边三角形ABC边长为，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究等边三角形ABC的“近点”P与D的距离，并求出等边三角形ABC的“最近值”．
【拓展提高】
(3)如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA=75°，AB=6，求三角形AFB“最近值”的平方．
13．综合与实践
问题：如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD，垂足为F．
证明与推断
(1)①四边形CEGF的形状是 ；②的值为 ；
【探究与证明】
(2)在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展与运用】
(3)如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF在旋转过程中，AG和GE的位置关系是 ．
14．已知是等腰三角形，，将绕点B逆时针旋转得到，
(1)感知：如图①，当落在AB边上时，与之间的数量关系是 _____（不需要证明）；
(2)探究：如图②，当不落在AB边上时，AB与是否相等？如果相等；如果不相等，请说明理由；
(3)应用：如图③，若，、交于点E，则_____度．
15．在正方形ABCD中，过点B作直线l，点E在直线l上，连接CE，DE，其中，过点C作于点F，交直线l于点H．
（1）当直线l在如图①的位置时
①请直接写出与之间的数量关系______．
②请直接写出线段BH，EH，CH之间的数量关系______．
（2）当直线l在如图②的位置时，请写出线段BH，EH，CH之间的数量关系并证明；
（3）已知，在直线l旋转过程中当时，请直接写出EH的长．
16．在等边中，是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转120°，得到，连接．
（1）如图1，当、、三点共线时，连接，若，求的长；
（2）如图2，取的中点，连接，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接、交于点．若，请直接写出的值．
17．在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到，其中点A，B的对应点分别为点，．
（1）如图1，当落在CA的延长线上时，
①连接，求线段的长．
②求从初始状态到此位置时，线段AB扫过的面积．
（2）如图2，连接，，所在直线与所在直线交于点M，所在直线与交于点N，当0°＜α≤180°时，是否存在α使得＝2MN，若存在，请求出α；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，所在直线与所在直线交于点M，K为边AB的中点，连接MK，请直接写出在旋转过程中，MK长度的取值范围．
18．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，点O是边AC的中点，连接OB．点P是边BC上的动点（不与点B、点C重合）．连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°，得到线段OE，连接PE，CE．
（1）如图1，
①求∠BOC的度数；
②求证：；
③若∠BOP＝15°，直接写出下列线段长： PC＝ ； PE＝ ．
（2）如图2，延长EO至点G，使得OE＝OG，连接AG，
①当点G恰好落在边BC上时，直接写出的值；
②当A，P，G三点共线时，连接AE，以AE为斜边向上作等腰直角三角形AEF，直接写出此时点P与点F之间的距离．
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