2023年山东省枣庄市高考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省枣庄市高考数学二模试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
4. 党的十八大以来的十年，是砥砺奋进、矢志“为中国人民谋幸福”的十年在党中央的正确领导下，我国坚定不移贯彻新发展理念，着力推进高质量发展，推动构建新发展格局，实施供给侧结构性改革，制定一系列具有全局性意义的区域重大战略，经济实力实现历史性跃升国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，稳居世界第二位如表是年我国大陆省市区数据．
年中国大陆省市区
排名 省份 单位：亿元 排名 省份 单位：亿元
广东省 辽宁省
江苏省 云南省
山东省 广西壮族自治区
浙江省 山西省
河南省 内蒙古自治区
四川省 贵州省
湖北省 新疆维吾尔自治区
福建省 天津市
湖南省 黑龙江省
安徽省 吉林省
上海市 甘肃省
河北省 海南省
北京市 宁夏回族自治区
陕西省 青海省
江西省 西藏自治区
重庆市
则由各省市区组成的这组数据的第百分位数为单位：亿元( )
A. B. C. D.
5. 已知，，是同一平面内两两不共线的单位向量，下列结论可能成立的是( )
A.
B.
C. 存在不全为的实数，，使
D. 若，则
6. 某地区有名考生参加了高三第二次调研考试经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为( )
参考数据：，，．
A. B. C. D.
7. 如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且平面，则线段长度的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知，曲线上存在点，使得，则的范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知曲线：，：，则( )
A. 的长轴长为 B. 的渐近线方程为
C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点相同
10. 已知为等差数列，前项和为，，公差，则( )
A.
B. 当戓时，取得最小值为
C. 数列的前项和为
D. 当时，与数列共有项互为相反数
11. 已知函数的图象过点和，的最小正周期为，则( )
A. 可能取
B. 在上至少有个零点
C. 直线可能是曲线的一个对称轴
D. 若函数的图象在上的最高点和最低点共有个，则
12. 已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，若有三个零点，则的取值范围为
B. 若满足，则
C. 若过点可作出曲线的三条切线，则
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 满足圆与相交的一个值为 ．
14. 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为，则的最大值为 ．
15. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球，个白球采取不放回摸球，从中随机摸出个球作为样本，用表示样本中黄球的个数当最大时， ．
16. 已知点在抛物线上，过点作圆的两条切线分别交抛物线于，两点，则直线的方程为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，且．
求；
若，的面积为，求．
18. 本小题分
已知数列的首项，且满足．
证明：为等比数列；
已知为的前项和，求．
19. 本小题分
在四棱棱中，底面是矩形，平面，为线段上一点不与重合，且．
证明：为的中点；
若平面与平面夹角的余弦值为，求．
20. 本小题分
某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动高三班一组有男生人，女生人，现随机选取人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择每名女生至多从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性也均为每人每参加项活动可获得综合评价分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：
在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；
记随机选取的两人得分之和为，求的期望．
21. 本小题分
已知双曲线：的右焦点为，一条渐近线方程为
求的方程；
在轴上是否存在与不重合的点，使得当过点的直线与的右支交于，两点时，总成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
已知函数．
当时，求证：；
当时，函数的零点从小到大依次排列，记为．
证明：；
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算与共轭复数，属于基础题．
首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．
【解答】
解：复数，
共轭复数是，
故选：．

2.【答案】
【解析】解：解不等式可得：，
则集合，
又集合，则，
所以，，
故选：．
求出集合，然后判断集合，的包含关系，再根据选项即可判断求解．
本题考查了集合的包含关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由图象知函数为减函数，则，
二次函数的顶点的横坐标为，
，
，，
即横坐标的取值范围是
故选：．
根据指数函数的图象求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可．
本题主要考查指数函数和二次函数的性质，根据条件求出的取值范围是解决本题的关键，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，，
则这组数据的第百分位数为，
故选：．
根据题意，由百分位数的计算公式计算可得答案．
本题考查百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：已知，，是同一平面内两两不共线的单位向量，
则，
对于选项A，当时，，
即，
即，
即，
即，
即，，与题设矛盾，
即选项A不成立；
对于选项B，设，
则，
又与不共线，
则，
此方程无解，
则与不共线，
即选项B错误；
对于选项C，，又与不共线，，即选项C错误；
对于选项D，，
，
，
，
则，
即选项D正确，
故选：．
由平面向量基本定理，结合平面向量数量积的运算及平面向量的模的运算求解即可．
本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：，
则数学成绩位于的人数约为．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：取的中点，的中点，的中点，
则，，
故平面平面，
平面，线段扫过的图形是，
由，则，，，
，
是直角，
线段长度的取值范围是：，即：
故选：．
取的中点，的中点，的中点，证明平面平面，平面，线段扫过的图形是，通过证明，说明是直角，可得线段长度的取值范围是：，从而得解．
本题考查空间几何体中点的轨迹，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
又曲线上存在点，使得，
所以，
下面证明，
假设，则，
不满足，
同理假设，不满足，
所以，
所以函数，
所以在上有解，
所以，，有解，
即在上有解，
令，，
所以与，有交点，
在上单调递减，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以，
故选：．
根据题意可得，又曲线上存在点，使得，则，先证明，进而可得在上有解，即在上有解，令，，则与，有交点，即可得出答案．
本题考查参数的取值范围，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：曲线：可化为：，
曲线为焦点在轴上的椭圆，且，，，
又：可化为：，
曲线的为焦点在轴上的双曲线，且，，，
对选项，的长轴长为，选项错误；
对选项，的渐近线方程为，选项正确；
对选项，，选项正确；
对选项，曲线的焦点为，曲线的焦点为，选项错误，
故选：．
根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，即可分别求解．
本题考查椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，等差数列中，，公差，则，
依次分析选项：
对于，，则有，A正确；
对于，由于，当时，，，当时，，则戓时，取得最大值，B错误；
对于，设数列的前项和，则，C正确；
对于，数列是首项为，公差为的等差数列，若与数列共有项互为相反数，
又由，则，
则数列中与数列中的项互为相反数的项依次为：，，，，，
可以组成以为首项，为公差的等差数列，设该数列为，则，
若，解可得，即两个数列共有项互为相反数，D错误；
故选：．
根据题意，求出等差数列的通项公式，结合等差数列的性质分析选项，即可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
，
．
．
又，
，
，
对于，若，则，由知，不成立，故A错误；
对于，当时，为周期的最大值，此时，在上有个零点，
当时，，在上至少有个零点，综上可知，B正确；
对于，当时，，，为最小值，故直线可能是曲线的一个对称轴，C正确；
对于，若函数的图象在上的最高点和最低点共有个，
则，
解得，又，
，故D正确．
故选：．
依题意，可求得，，再利用正弦函数的性质对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查由的部分图象确定其解析式，考查三角函数的周期性，对称性及最值，考查综合运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：函数，．
A.当时，，令，解得，．
时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；时，，函数单调递增．
是函数的极大值点，是函数的极小值点，
有三个零点，，解得，的取值范围为，因此A正确．
B.满足，，化为，因此不正确．
C.，，设切点为，则切线斜率，切线方程为：，
切线经过点，代入化为：，
令，则，可得极大值点为，极小值点为，，，
过点可作出曲线的三条切线，
函数与函数的图象有三个交点，
，解得，因此C正确．
D.存在极值点，，即，，其中，
，化为，即，
因式分解为，化为，因此D正确．
故选：．
函数，．
A.当时，可得，令，解得，即可得出函数的极值点与极值，根据有三个零点，可得极大值大于，而极小值小于，进而解得的取值范围，进而判断出正误．
B.根据满足，化简即可判断出正误．
C.，，设切点为，可得切线方程为：，根据切线经过点，代入化为：，令，由过点可作出曲线的三条切线，可得函数与函数的图象有三个交点，即可得出的取值范围，进而判断出正误．
D.由存在极值点，可得，即，根据，其中，可得，把代入并且化简整理，即可判断出正误．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及切线方程、函数零点转化为图象交点、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：根据题意，圆的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为，
若两个圆相交，则有，变形可得，
解可得：且，
则满足圆与相交的一个值为，
故答案为：答案不唯一．
根据题意，分析两个圆的圆心和半径，由圆与圆的位置关系可得关于的不等式，解可得的取值范围，分析可得答案．
本题考查圆与圆位置关系的判断，涉及圆的标准方程，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设，，，因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，
所以由长方体模型可知，，即，
，
当且仅当时，取等号．
即的最大值为．
故答案为：．
由长方体模型得出，再由基本不等式得出最值．
本题考查立体几何的应用和基本不等式的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布，
，，，，
最大时，即最大，
超几何分布最大项问题，利用比值求最大项，
设，
，
令，
即，
整理得到，
故当时，严格增加，
当时，严格下降，
即时取最大值，
此题中，，，，
根据超几何分布的期望公式可得，
．
故答案为：．
首先分析超几何分布最大项确定的值，再通过超几何分布的期望公式求出的值，即可求出．
本题考查超几何分布的运用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：在抛物线上，
，抛物线方程为，
设过点的圆的切线方程为，即，
则圆心到切线的距离，
解得，
过点的圆的切线方程为：
或，
分别联立，解得，，
直线的斜率为．
直线的方程为，
即，
故答案为：，
先根据题意求出抛物线方程为，再根据相切建立方程求出两切线方程，接着将两切线分别联立，可求出，两点坐标，最后再根据直线的点斜式方程，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，直线与圆的位置关系，直线的点斜式方程的应用，方程思想，属中档题．
17.【答案】解：因为，，且，
所以，可得，可得，
所以由正弦定理可得，
又因为为三角形内角，，
所以，即，
又因为，
所以；
因为，，的面积，
所以解得，
由余弦定理可得．
【解析】利用平面向量数量积的运算，正弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合，即可求解的值；
由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而由余弦定理可得的值．
本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：证明：，
变形为，
，
为等比数列，首项为，公比为．
由可得：，
，
为奇数时，；
为偶数时，．
．
【解析】由，变形为，即可证明结论．
由可得：，可得，为奇数时，；为偶数时，分组求和即可得出．
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：因为面，面，
所以，
因为，，面，面，
所以面，
因为面，
所以，
又，，面，面，
所以面，
又面，
所以，
又因为，
所以为的中点．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，
设平面的法向量，
因为，，
所以，
令，则，
设面的法向量，
因为，，
所以，
令，得，，
所以，
设平面与平面夹角为，
则，，
解得，
所以．
【解析】由于面，结合线面垂直的性质定理可得，再由线面垂直的判定定理可得面，再由线面垂直的性质定理可得，再由线面垂直的判定定理可得面，再利用线面垂直的性质定理可得，又，则为的中点．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，设平面的法向量，则，解得，设面的法向量，则，解得，由向量的夹角，即可得出答案．
本题考查立体几何中直线与平面的位置关系，二面角，解题中需要理清思路，属于中档题．
20.【答案】解：设事件为：“至少有一名女生参加活动“，
设事件为；“恰有一名女生参加活动“，
则，
，
在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率为：
；
女生参加活动得分为，
男生参加活动得分为，
设恰有名女生参加活动，则有名男生参加活动，
，，，
，
又，
．
的期望为．
【解析】根据条件概率公式，即可求解；
根据超几何分布列的概率，期望的性质，即可求解．
本题考查条件概率公式的应用，超几何分布列的概率求解，期望的性质，属中档题．
21.【答案】解：由题意可得，解得，，
所以双曲线的方程为：；
因为总成立，可知为的角平分线，
即，
当直线的斜率不存在时，在轴上任意非点都成立，
当直线的斜率存在时，且斜率不为，设直线的方程为，，
设，，假设存在，
联立，整理可得：，
，，，
因为，
即，
整理可得，
即，
即，因为，
整理可得：，即，
综上所述，存在满足条件的点．
【解析】由焦点坐标及渐近线方程的斜率，，，之间的关系，可得，的值，进而求出双曲线的方程；
设直线的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得为的角平分线，可得直线，的斜率之和为，求出直线，的斜率之和的代数式，整理可得参数的值，即求出的坐标．
本题考查求双曲线的方程及直线与双曲线的综合应用，角平分线的性质的应用，属于中档题．
22.【答案】解：证明：，则，
令，则，当时，，
故在上单调递增，又，故在上单调递减，在上单调递增，
又，所以；
当时，，，故，
又，
所以在时恒成立；
综上，当时，；
由知在内无零点，则，，
由知，，，
令，，，
所以在上单调递减，
又，所以，即；
当时，，在上单调递减，
，，
所以，使得，当时，单调递增；当时，单调递减；
记，则，
令，得，故函数在上单调递增，
令，得，故函数在上单调递减，
所以，
故，又，
所以在有且只有一个零点，记为，当，时，，，
故，在，无零点；
当，时，，
故在，上单调递增；
当，时，，
故在上单调递减；
又，，，；
所以，使得，；
故当时，，，单调递增；
当，时，，单调递减；又，，，
，，所以在，，各有一个零点，
在，上的两个零点分别为，，
所以，又，，
所以，，
综上，．
【解析】求导，讨论单调性，求最值即可证明；
根据得函数零点区间，变形为，，构造函数，求导，利用单调性即可证明；
利用导数研究函数的单调性，找到零点区间即可求得零点范围即可证明．
本题考查了导数的综合运用、转化思想，由于一次求导后不能确定导数的正负，故进行再次求导，属于难题．
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