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2022-2023学年浙教版八年级（下）期中数学试卷2
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2（x+1）＝3 B．y2+x＝0
C．x2+4＝0 D．（x﹣2）2﹣x2＝0
3．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43
平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
5．（3分）要使式子有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞﹣2且 a≠0 C．a＞﹣2或 a≠0 D．a≥﹣2且 a≠0
6．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）
A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠2
7．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．32x+2×20x＝32×20﹣570
B．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
8．（3分）若关于x的方程x2+2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
9．（3分）用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中， OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过（ ）秒该直线可将平行四边形OABC的面积平分．
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（4分）为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9、15.8，则 （填“甲”或“乙”）秧苗出苗更整齐．
13．（4分）如果一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n＝ ．
14．（4分）已知y＝+﹣5，则（x+y）2021＝ ．
15．（4分）对于三个数a，b，c，我们规定用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1，如果M{3，2x+1，4x﹣1}＝min{2，﹣x+3，5x}，那么x＝ ．
16．（4分）如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）解下列方程：
（1）x2＝3x；
（2）x2+2x﹣1＝0．
19．（6分）在抗击“新冠肺炎疫情”的日子里，某校积极开展“停课不停学”的线上教学活动．为了解全校1200名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，结果如表：
时间（分） 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
人数 16 24 14 10 8 6 8 4 6 4
完成下列问题：
（1）根据统计表信息，写出这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的中位数和众数．
（2）请估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有多少人？
20．（8分）如图，在 ABCD中，点E，点F在对角线AC上且AE＝EF＝FC．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若∠CDE＝90°，DC＝8，DE＝6，求 DEBF的周长．
21．（8分）某商场在去年底以每件120元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．
（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；
（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利10400元？
22．（10分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求m的值和△ABC的周长．
23．（10分）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点A出发，沿折线ABCD方向以3cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发，沿线段DC方向以2cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为16cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．
24．（12分）我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝150°，∠D＝30°，AB＝BC＝2，则AD＝ ；CD＝ ．
（2）小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图2，“准筝形”ABCD，AD＝BD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝5，CD＝3，求AC的长．
小军研究后发现，可以CD为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求AC．请你按照小军的思路求AC的长．
（3）如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，BC＝2，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各项分析判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本项错误；
②不是中心对称图形，故本项错误；
③是中心对称图形，故本项正确；
④不是中心对称图形，故本项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2（x+1）＝3 B．y2+x＝0
C．x2+4＝0 D．（x﹣2）2﹣x2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、是一元二次方程，故C符合题意；
D、是一元一次方程，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．（3分）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43
平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
5．（3分）要使式子有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞﹣2且 a≠0 C．a＞﹣2或 a≠0 D．a≥﹣2且 a≠0
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，a+2≥0，a≠0，
解得，a≥﹣2且 a≠0，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．
6．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）
A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠2
【分析】可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE；
∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
又∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD；
∴∠AEF＝∠CFE；
∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故C正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
又∵∠1＝∠2，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD；
∴∠AEF＝∠CFE；
∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故D正确；
添加AE＝CF后，不能得出△ABE≌△CDF，进而得不出四边形AECF是平行四边形，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
7．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．32x+2×20x＝32×20﹣570
B．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．
【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．
8．（3分）若关于x的方程x2+2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据根的判别式和已知条件得出22﹣4×1×（﹣k）＜0，求出不等式的解集，再得出答案即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（﹣k）＜0，
解得：k＜﹣1，
∵﹣2＜﹣1，﹣1＝﹣1，0＞﹣1，1＞﹣1，
∴k只能为﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
9．（3分）用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，
首先应假设这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中， OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过（ ）秒该直线可将平行四边形OABC的面积平分．
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将 OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝2x+1的直线解析式，从而可得直线y＝2x+1要向下平移6个单位，进而可得答案．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将 OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD＝OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），
设DE的解析式为y＝kx+b，
∵平行于y＝2x+1，
∴k＝2，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y＝2x﹣5，
∴直线y＝2x+1要向下平移6个单位，
∴时间为6秒，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是 （﹣3，5） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，5），
故答案为：（﹣3，5）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．（4分）为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9、15.8，则 甲 （填“甲”或“乙”）秧苗出苗更整齐．
【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而判断即可．
【解答】解：∵甲、乙方差分别是3.9、15.8，
∴S2甲＜S2乙，
∴甲秧苗出苗更整齐；
故答案为：甲．
【点评】此题主要考查了方差，正确理解方差的意义是解题关键．
13．（4分）如果一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n＝ 8 ．
【分析】根据多边形内角和公式180°（n﹣2）和外角和为360°可得方程180°（n﹣2）＝360×3，再解方程即可．
【解答】解：由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×3，
解得：n＝8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
14．（4分）已知y＝+﹣5，则（x+y）2021＝ ﹣1 ．
【分析】依据二次根式有意义的条件，即可得到x和y的值，进而得出（x+y）2021的值．
【解答】解：∵y＝+﹣5，
∴x﹣4≥0，4﹣x≥0，
解得x＝4，
∴y＝﹣5，
∴（x+y）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
15．（4分）对于三个数a，b，c，我们规定用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1，如果M{3，2x+1，4x﹣1}＝min{2，﹣x+3，5x}，那么x＝ 或 ．
【分析】依据M{3，2x+1，4x﹣1}＝min{2，﹣x+3，5x}，分三种情况讨论，即可得到x的值．
【解答】解：M{3，2x+1，4x﹣1}＝min{2，﹣x+3，5x}，
①若（3+2x+1+4x﹣1）＝2，则x＝，（符合题意）
②若（3+2x+1+4x﹣1）＝﹣x+3，则x＝，（﹣x+3不是三个数中最小的数，不符合题意）
③若（3+2x+1+4x﹣1）＝5x，则x＝，（符合题意）
故答案为：或．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是弄清新定义运算的法则，并分情况讨论．
16．（4分）如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝ 4 ．
【分析】延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF＝AF＝4．
【解答】解：如图，延长AE，BC交于点G，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECG，
又∵∠AED＝∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴CG＝AD＝5，AE＝GE，
又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，
∴AF＝GF＝3+5＝8，
又∵E是AG的中点，
∴FE⊥AG，
∴Rt△AEF中，EF＝AF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式即可；
（2）利用多项式乘法法则进行计算，再合并即可．
【解答】解：（1）；
（2）．
【点评】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
18．（6分）解下列方程：
（1）x2＝3x；
（2）x2+2x﹣1＝0．
【分析】（1）整理后因式分解法求解可得；
（2）配方法求解可得．
【解答】解：（1）x2＝3x，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
∴x1＝0，x2＝3；
（2）x2+2x﹣1＝0，
x2+2x＝1，
x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，
∴x+1＝或x+1＝﹣，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
19．（6分）在抗击“新冠肺炎疫情”的日子里，某校积极开展“停课不停学”的线上教学活动．为了解全校1200名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，结果如表：
时间（分） 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
人数 16 24 14 10 8 6 8 4 6 4
完成下列问题：
（1）根据统计表信息，写出这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的中位数和众数．
（2）请估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有多少人？
【分析】（1）找出表格中按大小次序排好后位于中间的数和出现次数最多的数即可求解．
（2）借助表格查找时间不少于35分钟的学生的人数，除以样本容量，然后乘全校人数即可求解．
【解答】解：（1）由表格知，中位数是25，众数是20．
（2）×1200＝432（人）．
故估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有432人．
【点评】本题考查了利用统计表获取信息的能力．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．同时考查了中位数和众数的概念以及用样本估计总体．
20．（8分）如图，在 ABCD中，点E，点F在对角线AC上且AE＝EF＝FC．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若∠CDE＝90°，DC＝8，DE＝6，求 DEBF的周长．
【分析】（1）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得到AO＝CO，DO＝BO，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理和平行四边形的周长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，DO＝BO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF，
即EO＝FO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵∠CDE＝90°，DC＝8，ED＝6，
∴CE＝＝＝10，
∵EF＝CF，
∴DF＝CE＝5，
∴ DEBF的周长＝2（DF+DE）＝2×（5+6）＝22．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
21．（8分）某商场在去年底以每件120元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．
（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；
（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利10400元？
【分析】（1）由题意可得：一月份的销售量为：320件；设二月份到三月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：320（1+x）；三月份的销售量为：320（1+x）（1+x），又知三月份的销售量为：500件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润＝10400求出即可．
【解答】解：（1）设二、三月份销售量的平均月增长率为x，
根据题意得：320（1+x）2＝500，
解得：x1＝0.25，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：二、三月份销售量的平均月增长率为25%．
（2）设每件降价y元，
根据题意得：，
整理得：y2+220y﹣2300＝0，
解得：y1＝10，y2＝﹣230（不合，舍去）．
答：每件降价10元，四月份可获利10400元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
22．（10分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求m的值和△ABC的周长．
【分析】（1）根据判别式的意义可得；
（2）分类讨论：若x1＝7，把x1＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+10＝0，求得m的长，再利用根与系数的关系判断是否符合题意，将不符合的舍去，则可求出答案．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4（m+1）﹣4（m2+10）≥0，
解得；
（2）当腰长为7时，则x＝7是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的一个解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+10＝0，
整理得m2﹣14m+45＝0，
解得m1＝9，m2＝5，
当m＝9时，x1+x2＝2（m+1）＝20，解得x2＝13，
则三角形周长为13+7+7＝27；
当m＝5时，x1+x2＝2（m+1）＝12，解得x2＝5，
则三角形周长为5+7+7＝19；
当7为等腰三角形的底边时，则x1＝x2，所以，方程化为4x2﹣44x+121＝0，
解得，三边长为，
其周长为，
综上所述，m的值是9或5或，这个三角形的周长为27或19或18．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝，也考查了根的判别式和等腰三角形的性质．
23．（10分）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点A出发，沿折线ABCD方向以3cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发，沿线段DC方向以2cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为16cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图所示（见详解），过点A作AE⊥DC于E，得四边形ABCE是矩形，在Rt△ADE中，根据勾股定理即可求解；
（2）如图所示（见详解），连接PD，BP，当四边形PBQD为平行四边形时，PB＝DQ，设点P运动的时间为a秒，则AP＝3a，DQ＝2a，由此可求出PB的长，在Rt△BCQ中，可求出BQ的长，由此即可求解；
（3）分类讨论，当P在AB上运动时；当P在BC上运动时；当P在CD上运动时，结合图形分析，即可求解．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥DC于E，
∵AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm，AE⊥DC，
∴四边形ABCE是矩形，即AE＝BC＝8，AB＝AD＝CE＝10，
∴在Rt△ADE中，，
∴CD＝DE+EC＝6+10＝16，
∴CD的长16cm．
（2）连接PD，BP，
当四边形PBQD为平行四边形时，PB＝DQ，
已知点P从点A出发，沿折线ABCD方向以3cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发，沿线段DC方向以2cm/s的速度匀速运动，
设点P运动的时间为t秒，则AP＝3t，DQ＝2t，
∴PB＝10﹣3t，
∴10﹣3t＝2t，
解得t＝2，
∴PB＝DQ＝10﹣3×2＝4，则CQ＝16﹣4＝12，
在Rt△BCQ中，，
∴平行四边形PBQD的周长为：（cm），
∴四边形PBQD的周长为．
（3）存在，理由如下，
连接PQ，BQ，设运动时间为t（s），
∵AB＝10，BC＝8，点P的速度是3cm/s，DC＝16，点Q的速度是2cm/s，
∴点P到达点B的时间为秒，点P到达点C的时间为6秒，点Q到达点C的时间为8秒，
①当时，BP＝10﹣3t，△BPQ的高是BC＝8，
∴，
解得t＝2，
验证：当t＝2时，BP＝10﹣3t＝10﹣3×2＝4，BC＝8，△BPQ的面积为16cm2，且，
∴t＝2，满足条件；
②当时，点P与点B重合，△BPQ不存在，不符合题意，故；
③当时，
∴BP＝3t﹣10，DQ＝2t，CQ＝16﹣2t，
∴△BPQ的底边为BP＝3t﹣10，高为CQ＝16﹣2t，
∴△BPQ的面积为，
整理得，3t2﹣34t+96＝0，
解得，t2＝6，
∴当t＝6或时，满足条件；
④当6＜t＜8时，
∴CP＝3t﹣18，CQ＝16﹣2t，
∴PQ＝CQ﹣CP＝16﹣2t﹣（3t﹣18）＝34﹣5t，△BPQ的高为BC＝8，
∴△BPQ的面积为，
解得t＝6，
∴当6＜t＜8时，不满足条件；
⑤当t＝8时，点Q与点C重合，停止运动，如图所示，
∴点P的位置为CP＝3t﹣18＝3×8﹣18＝6，△BPQ的高为BC＝8，
∴△BPQ的面积为，不满足条件．
综上所示，当t的值为2或或6时，△BPQ的面积为16cm2．
【点评】本题主要考查几何图形的动点问题，掌握点运动的规律，平行四边形的性质，三角形的面积计算方法是解题的关键．
24．（12分）我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝150°，∠D＝30°，AB＝BC＝2，则AD＝ 4 ；CD＝ 2 ．
（2）小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图2，“准筝形”ABCD，AD＝BD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝5，CD＝3，求AC的长．
小军研究后发现，可以CD为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求AC．请你按照小军的思路求AC的长．
（3）如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，BC＝2，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积．
【分析】（1）连接AC，证明△ABC是等边三角形，从而得到AC和直角三角形ACD，根据∠D＝30°，继而求得CD；
（2）以CD为边作等边△CDE，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，证△ADC≌△BDE得AC＝BE，求出∠CEF＝30°，由直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，再由勾股定理即可得出答案；
（3）过点C作CH⊥AB，交AB延长线于H，设BH＝x，求出∠BCH＝30°，由直角三角形的性质得出HC＝x，BC＝2BH＝2x，构建方程求出x，进而得出AC的长，分三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵AB＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝2，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠BAD＝120°，∠BCD＝150°，
∴∠ACD＝90°，
又∵∠BCD＝30°，
∴，
故答案为：；
（2）以CD为边作等边△CDE，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，如图2所示，
则DE＝DC＝CE＝3，∠CDE＝∠DCE＝60°，
∵AD＝BD，∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ADB+∠BDC＝∠CDE+∠BDC，即∠ADC＝∠BDE，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC＝BE，
∵∠BCD＝∠DCE＝60°，
∴∠ECF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠EFC＝90°，
∴∠CEF＝30°，
∴，
由勾股定理得：，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：，
∴AC＝7；
（3）过点C作CH⊥AB，交AB延长线于H，设BH＝x，如图3所示，
∵∠ABC＝120°，CH⊥AH，
∴∠BCH＝30°，
∴，
∴，
又∵∠A＝45°，
∴△HAC是等腰直角三角形，
∴，
∴；
①如图4所示，
当时，
连接BD，过点C作CG⊥BD，交BD延长线于点G，过点A作AK⊥BD，
则，∠ABD＝60°，，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBG＝60°＝∠CBH，
在△CBG和△CBH中，
，
∴△CBG≌△CBH（AAS），
∴GC＝HC＝3，
在Rt△ABK中，由勾股定理得，，
∴S△ABD＝ BD AK＝×（3﹣）×＝，S△CBD＝ BD CG＝×（3﹣）×＝，
∴；
②图5所示，
当时，
连接BD，作CG⊥BD于点G，AK⊥BD于K，
如图，则，
∴，，
∴；
③如图6所示，
当时，
作DM⊥AC于M，作CH⊥AB于H，
则，，
∴S△ABC＝ AB CH＝ （3﹣）×3＝，S△ADC＝××＝+3，
综上所述，四边形ABCD的面积为或或．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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