高中试卷答案网公安县第三中学2022-2023学年高二下学期3月月考
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A. 87 B. 86 C. 85 D. 84
3. 函数图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知数列满足：对任意的，都有，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则（ ）
A. 是等差数列 B. 是等比数列
C. 是等差数列 D. 是等比数列
6. 如图，在三棱锥M－EFG中，，EF=FG=2，平面平面EFG，则异面直线ME与FG所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数有两个不同极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 若定义在上的函数的导函数为，且，则下列不等关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 下列直线中，与圆相切的有（ ）
A. B. C. D.
10. 对于函数，以下说法正确的是（ ）
A. 它是偶函数
B. 它在单调递减
C. 它有唯一的零点
D. 当时，有两解
11. 已知函数，，若与的图象上有且仅有2对关于原点对称的点，则a的取值可以是（ ）
A. 2e B. C. D.
12. 2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”.它的绘制规则是：任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线.重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，，…，，….
设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为.若，则下列说法不正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
三、填空题
13. 在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是______．
14. 若函数满足，则_____________
15. 已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则以（e为双曲线C的离心率）为焦点的抛物线的标准方程为___________.
16. 剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片，直径，需要剪去菱形，可以经过两次对折、沿裁剪、展开后得到若，要使镂空的菱形面积最大，则菱形的边长__________．
四、解答题
17. 已知数列满足：.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式及其前项和的表达式.
18. 已知函数．
（1）若在处取得极大值，求实数a的值；
（2）若在上单调递增，求实数a的取值范围．
19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=PA=PD=2，O为AD的中点.
（1）证明：BC⊥平面POB；
（2）若，M为棱BC上一点，，二面角M－PA－B余弦值为，求的值.
20. 数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，的前项和为，求的值域.
21. 已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C标准方程；
（2）过点的直线l交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．
22. 已知函数.
（1）当时，
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求证：，.
（2）若在上恰有一个极值点，求的取值范围.
公安县第三中学2022-2023学年高二下学期3月月考
数学试题 答案解析
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件求得双曲线的实半轴、虚半轴，从而求得双曲线方程.
【详解】椭圆的焦点为．
因为所求双曲线的离心率，
所以其实半轴长为2，虚半轴长为，
故所求双曲线的方程为．
故选：B
2. 已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A. 87 B. 86 C. 85 D. 84
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列中，若，则的性质和等差数列的前项和公式及等差中项的应用进行求解即可.
【详解】根据等差数列的性质可得，
所以．
故选：C.
3. 函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案.
【详解】由图知：，即.
故选：A
4. 已知数列满足：对任意的，都有，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对任意的，有，且，求得的值，即可得的值.
【详解】对任意，都有，且，所以，
则，所以.
故选：B.
5. 若，则（ ）
A. 是等差数列 B. 是等比数列
C. 是等差数列 D. 是等比数列
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知指数式，求出，结合对数的运算法则及等差数列与等比数列的定义逐项判断即可得结论.
【详解】因为，
所以，
则，故是等差数列，故A正确；
因为，
所以，故不是等比数列，故B不正确；
因为，
所以，故不是等差数列，故C不正确；
因为，
所以，故不是等比数列，故D不正确.
故选：A.
6. 如图，在三棱锥M－EFG中，，EF=FG=2，平面平面EFG，则异面直线ME与FG所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设O，C，D分别为线段，，的中点，连接，，，，利用三角形中位线定理可知是异面直线与所成的角或其补角，再利用解三角形的知识求出的边长，最后利用余弦定理即可得解.
【详解】解法一
如图，设O，C，D分别为线段，，的中点，连接，，，则，，，，
∴是异面直线与所成的角或其补角.
∵，为的中点，∴，，
∵平面平面，平面平面，∴平面.
设为的中点，连接，，则平面，
， ， ，
∴，连接，易得，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
解法二
如图，设为线段的中点，连接，，
∵，∴，，
∵平面平面，平面平面，∴平面，
∵，∴，，故以为坐标原点，
，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
∴，M（0，0，3），， ，∴，，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
故选:D.
7. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解.
【详解】函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故选:A.
8. 若定义在上的函数的导函数为，且，则下列不等关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题干中的条件，构造出新函数：，利用新函数的单调性逐一检查每个选项是否正确.
【详解】令，则，
因为，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减，故，即，即，故A错；
又，所以，所以上恒成立，
因为，所以，故B错；
又，所以，即，故C正确；
又，所以，即，故D错误.
故选：C.
二、多选题
9. 下列直线中，与圆相切的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据圆心到直线距离与半径的关系对选项一一验证即可.
【详解】圆的圆心为，半径．
对于选项A，圆心到直线的距离．所以直线与圆相交；
对于选项B，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；
对于选项C，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；
对于选项D，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离．
故选：BC.
10. 对于函数，以下说法正确的是（ ）
A. 它是偶函数
B. 它在单调递减
C. 它有唯一的零点
D. 当时，有两解
【答案】ACD
【解析】
【分析】A：利用偶函数的定义判断即可；B：利用导数判断函数的单调性得解；C：根据单调性分析得 有唯一的零点，所以该选项正确；D：作出函数图象即得解.
【详解】解：A：函数的定义域为，关于原点对称.，所以它是偶函数，所以该选项正确；
B：当时，恒成立，但在没有定义，所以在以及均单调递减，但在不是单调递减的，所以该选项错误；
C：由上面得到，在以及均递减，且时，又图象关于轴对称，故有唯一的零点，所以该选项正确；
D：由以上分析，图象如下．由此可知该选项正确；
故选：ACD
11. 已知函数，，若与的图象上有且仅有2对关于原点对称的点，则a的取值可以是（ ）
A. 2e B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，可转化为与在上有两个交点，分离参数构造函数，求导讨论单调性求最值即可求解.
【详解】因为与的图象上有且仅有2对关于原点对称的点，
所以方程有且仅有两解.
由，得.
设，则与的图象有两个交点，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，且两边趋向正无穷，所以，故，所以.
故选：.
12. 2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”.它的绘制规则是：任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线.重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，，…，，….
设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为.若，则下列说法不正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知写出、、的通项公式且时，应用累加法求通项，进而判断各选项的正误.
【详解】由题可知，，，
所以，
所以，
∴，故A错误，C错误；
又，
当时，，故D错误；
∴
，
由也满足上式，
所以，
由上，，则，故B正确.
故选：ACD．
三、填空题
13. 在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据等比数列的性质，推得，再结合基本不等式即可求解．
【详解】各项均为正数的等比数列中，
由，则，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为8．
故答案为：8．
14. 若函数满足，则_____________
【答案】1
【解析】
【分析】对求导，求出，即可求出，再将代入即可得出答案.
【详解】因为，
所以，则，解得：，
则，则
故答案为：1.
15. 已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则以（e为双曲线C的离心率）为焦点的抛物线的标准方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求得双曲线的离心率，也即求得，从而求得抛物线的标准方程.
【详解】依题意，，双曲线的一条渐近线方程为，
依题意，三角形是边长为的等边三角形，
所以到的距离是，
即，
所以对于抛物线，有，
所以抛物线方程为.
故答案为：
16. 剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片，直径，需要剪去菱形，可以经过两次对折、沿裁剪、展开后得到若，要使镂空的菱形面积最大，则菱形的边长__________．
【答案】
【解析】
【分析】设圆心为，结合已知条件，求出与的关系式，然后利用导函数即可求解菱形面积最大值，进而可得到答案.
【详解】设圆心为，由圆的性质可知，，，，，共线，，，，，共线，
由菱形性质可知，，
不妨令，，且半径为5，
则，即，，
故，
不妨令，，
则，
从而；，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，在上取最大值，
从而要使镂空的菱形面积最大，则，
由可知，，
则此时.
故答案为：.
四、解答题
17. 已知数列满足：.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式及其前项和的表达式.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
【解析】
【分析】（1）由等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）得出数列的通项公式，再由等差和等比的求和公式计算.
【小问1详解】
由题意可知，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列.
【小问2详解】
由（1）可知，，即
前项和.
18. 已知函数．
（1）若在处取得极大值，求实数a的值；
（2）若在上单调递增，求实数a的取值范围．
【答案】（1）1； （2）.
【解析】
【分析】（1）根据求参数a，验证是否在处取得极大值即可；
（2）将问题转化为在上恒成立，进而即得.
【小问1详解】
因为，
所以，得，
此时，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，符合题意，
故实数的值为1；
【小问2详解】
由（1）知，，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，
故实数的取值范围为.
19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=PA=PD=2，O为AD的中点.
（1）证明：BC⊥平面POB；
（2）若，M为棱BC上一点，，二面角M－PA－B的余弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）第一步：利用已知条件得，，第二步：利用线面垂直的判定定理得到平面，第三步：利用线线平行得结果；
（2）第一步：寻找线线垂直关系，建立空间直角坐标系，第二步：写出相关点及向量的坐标，第三步：求出两个平面的法向量，第四步：利用向量的夹角公式求解.
【小问1详解】
因为，O为的中点，所以，
连接，因为，，所以，所以，
又，且，平面，
所以平面，又，所以平面.
【小问2详解】
由题易得，因为，所以，
所以，所以，
易得平面，故可以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，
设，则，
由可得，即，所以.
设平面的法向量为，
则，即，
取，则.
设平面的法向量为，
则，即，取，则.
故，
解得或，因为点在棱上，所以.
20. 数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，的前项和为，求的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，可得，两式相减求得，分别令和，求得，得到数列为等比数列，即可求得数列的通项公式；
（2）由，得到，利用消项法求得，结合指数函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解： 因为，当时，可得，
两式相减，可得，即，即，
当时，可得，解得，
当时，可得，即，解得，
所以，适合上式，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
【小问2详解】
解：因为，可得，
所以
，
因为，可得，所以，所以，
即的值域为.
21. 已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线l交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据离心率的公式，结合的基本关系，代入求解即可；
（2）直线的方程为，，，，直线与曲线联立，的面积，根据韦达定理，弦长公式将三角形面积表示，
再根据基本不等式求解最大值即可.
【小问1详解】
由题意可得，
解得，
故椭圆C的标准方程为．
【小问2详解】
设直线l方程为，，，
联立，
整理得，
则，即，
解得，，．
故△OPQ的面积．
设，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
则，即△OPQ面积的最大值为．
22. 已知函数.
（1）当时，
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求证：，.
（2）若在上恰有一个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）（ⅰ）切线方程为；（ⅱ）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数的最值，即可证明结论；
（2）根据极值点与函数的关系，对进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，
（ⅰ） ，又，所以切线方程为.
（ⅱ），，因为，所以,
所以，所以
所以在单调递增，所以；
【小问2详解】
，
当时，所以，
,
由（1）知，，
所以在上单调递增.
所以当时，没有极值点，
当时，，
因为与在单调递增.
所以在单调递增.
所以，.
所以使得.
所以当时，，因此在区间上单调递减，
当时，，因此在区间上单调递增.
故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是.