2023届高考数学小题狂刷卷：利用导数求函数的切线方程（含解析）

2023届高考数学小题狂刷卷：利用导数求函数的切线方程
一、选择题（共22小题）
1. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是
A. B.
C. D.
2. 已知函数，则曲线的切线中斜率等于的切线的条数为
A. B. C. D. 不确定
3. 正弦曲线上切线的斜率等于的点的坐标为
A.
B. 或
C.
D. 或
4. 已知函数，则曲线在点处的切线的斜率为
A. B. C. D.
5. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为
A. B. C. D.
6. 曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为
A. B.
C. 和 D. 和
7. 已知定义域为的函数满足．若关于的方程恰有个不同的实根，，，，，则等于
A. B. C. D.
8. 已知，，记，则
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
9. 若曲线在处的切线与直线互相垂直，则实数等于
A. B. C. D.
10. 已知双曲线的离心率为，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，其中为坐标原点，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
11. 已知双曲线（，）的左焦点为，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足．若，则的离心率为
A. B. C. D.
12. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为
A. B. C. D.
13. 若函数图象存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
14. 圆在点处的切线方程为
A. B. C. D.
15. 已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐标为
A. B. C. D.
16. 曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为
A. B.
C. 和 D.
17. 函数在点处的切线为，则函数上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为
A. B. C. D.
18. 已知过原点的直线与曲线相切，则的斜率为
A. B. C. D.
19. 以正弦函数上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是
A. B.
C. D.
20. 设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是
A. B.
C. D.
21. 若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
22. 已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题）
23. 已知曲线在原点处的切线方程为，则．
24. 曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为．
25. 设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为．
26. 若直线是曲线的切线，则实数的值为．
27. 曲线的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为．
三、解答题（共10小题）
28. 已知函数，求曲线在点处的切线方程．
29. 已知直线是指数函数（且）图象的一条切线，求底数的值．
30. 求证双曲线上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值．
31. 设，其中，曲线在点处的切线方程是．
（1）确定的值；
（2）求函数的单调区间与极值．
32. 已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求证：．
33. 设函数．
（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；
（2）若在上为减函数，求的取值范围．
34. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间与极值．
35. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）求函数的单调区间．
36. 设函数．
（1）若，求的值．
（2）若对一切正实数恒有，求实数的范围．
37. 设函数，
（1）若函数在处的切线与轴相交于点，求的值（为自然对数的底数，）；
（2）当时，讨论函数的单调性；
（3）当时，证明：．
答案
1. C
【解析】由的图象知，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数．
2. B
【解析】设切点坐标为，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以曲线的切线中斜率等于的切线有条．
3. D
【解析】设斜率等于的切线与正弦曲线的切点为，
因为，
所以，
所以，
所以或，
当时，，
当时，，
所以正弦曲线上切线的斜率等于的点的坐标为或．
4. B
【解析】因为，所以，所以，所以曲线在点处的切线的斜率为
5. A
6. C
7. C
8. B 【解析】由题意，的最小值可转化为函数图象上的点与直线上的点的距离的最小值的平方．
由，得，与直线平行的直线斜率为，
令，解得，所以切点的坐标为，
切点到直线的距离，
即的最小值为．
9. D
【解析】由题可得，，
所以曲线在处的切线的斜率为．
因为曲线在处的切线与直线互相垂直，且直线的斜率为，
所以，解得．
10. C
11. B
【解析】双曲线的渐近线方程为，
由于，，
故，，
因为，所以，
因为，，，所以．
又因为，所以，
故，，
故，因此．
故曲线的离心率为．
12. B
13. A
14. D 【解析】根据题意，设，圆的方程为，则有，
则点在圆上，
，则切线的斜率，
则切线的方程为，即．
15. D
【解析】为偶函数，则，
所以，
所以，
所以，
所以，
设切点的横坐标为，则，
解得（负值舍去），
所以．
16. C
【解析】，令，则，解得或，所以，经检验，点，均不在直线上．
17. C
18. B
【解析】由题意设切点为，
因为，
所以，
所以，
由切线过原点得，
所以，
所以．
19. A
【解析】因为，
所以，
因为，
所以切线斜率的范围是，
所以倾斜角的范围是．
20. B
21. A
【解析】（）当，
此时，
，
，
，
是方程的一个根，
（）当或，
此时，
，
所以，
，
因为，
所以，
若或，
原方程至多个根，与个根矛盾，
所以，，，
所以
①若，
所以
所以，
②若，
所以
所以无解，
③若，
所以
所以，
综上．
22. D
【解析】由题令，，，
所以直线的方程为，
因为也与函数的图象相切，令切点坐标为，，
所以的方程为，这样有
所以，，令，，
所以该函数的零点就是，
又因为，
所以在上单调递增，又，，，从而．
23.
【解析】由题意，得，所以．又因为切线的方程为，所以．
24.
25.
【解析】因为曲线在点处的切线斜率为，所以曲线上点处的切线斜率为，故，又因为，所以，所以的坐标为．
26.
27.
【解析】设切点为，则
的导数为，则切线的斜率
又
由，解得，，，
故切线的方程为，即．
28. ．
29. ．
30. 设双曲线上任意一点．
因为，
所以点处的切线方程为．
令，得．
令，得．
所以．
所以三角形的面积为定值．
31. （1）函数，定义域为，
则．
因为，
所以切点为．
则，
故切线方程可表示为，
化简可得．
而切线方程也为，
所以解得．
（2）当时可得，
则，
令，解得或，
由表可知，的单调递增区间为和，的单调递减区间为．
，
．
32. （1），
所以，则切线方程为．
（2）令，则，设的两根为，，
由于，不妨设，则在是递减的，在是递增的，
而，，
所以在单调递增，
所以，
因为，，，
所以．
33. （1）对求导得，
因为在处取得极值，
所以，即．
当时，，，
故，，从而在点处的切线方程为，化简得．
（2）由（Ⅰ）知，
令，
由，解得，．
当时，，即，故为减函数；
当时，，即，故为增函数；
当时，，即，故为减函数．
由在上为减函数，知，解得，
故的取值范围为．
34. （1）函数的定义域为，
，由导数的几何意义，
切线与垂直，
得，所以；
（2）由（）知，
所以．
令，解得，不在定义域之内故舍去．
所以当，，所以在单调递减．
当，，所以在单调递增．
所以在时取极小值．
35. （1）的导函数，
所以，
因为，
所以在处的切线方程为，即．
（2）在单调递增，
时，，即，
所以当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
所以的单调增区间为，单调递减区间为．
36. （1）因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
，
所以或，
所以或．
（2），
设，
因为，
所以，
所以时，恒成立，
所以时恒成立，
所以，
，
，
，
所以．
37. （1），，
由题意可知：，
整理得：，解得；
（2），记，
，令，解得，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，
所以，
所以，，
所以函数在定义域上为增函数；
（3）由（）知当时，在上是增函数，
所以，即，
所以
因为，
所以，，
所以，
即
① ②得：，
所以原式成立．
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