高中试卷答案网第六章立体几何初步
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.如图，已知长方体的侧面积为点E为棱上的点，则当最小时，AE的长为( )
A. B. C. D.
2.已知球的两个平行截面的面积分别为和，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是()
A.4 B.3 C.2 D.0.5
3.某同学在参加《通用技术》实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为,则该球的半径是()
A.2 B.4 C. D.
4.已知水平放置的按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中,那么在中,的大小是( )
A.
B.
C.
D.
5.下列说法正确的是( )
A.空间中不同的三点确定一个平面
B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面
C.空间中有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一个平面内
6.如图8-5-9,正方体中,在上,在上，且,过作交于,则平面与平面的位置关系是()。
A.平行 B.相交 C.垂直 D.以上都有可能
7.在三棱锥中,分别是和上的点,若,则直线与平面的位置关系是()。
A.平行 B.相交
C.直线在平面内 D.不能确定
8.如图,在直角梯形中,，将沿折起,使得平面平面.在四面体中,下列说法正确的是()
A.平面平面 B.平面平面
C.平面平面 D.平面平面
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9.已知两条不同的直线与两个不重合的平面,则下列命题中不正确的是()
A.若,则必有 B.若,则必有
C.若,则必有 D.若,则必有
10.下列命题错误的是()
A.平行于同一条直线的两个平面平行
B.若直线a与b是异面直线,直线b与c是异面直线,则直线a与c是异面直线
C.若平面α和β不平行,则在平面α内不存在与平面β平行的直线
D.若直线不平行,则m与n不可能垂直于同一个平面
11.设是两个不同的平面,是两条不同的直线,下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
12.已知为两条不同的直线,为两个不同的平面,则下列说法错误的是( )
A.若,则
B.若且,则
C.若且,则
D.若直线与平面α所成的角相等,则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知点S是等边三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是_________.
14.已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为_____________.
15.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m，若按1:500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为____________.
16.若一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的交角都是30°，在一条侧棱上有A，B两点，，，以A，B为端点同一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），求此绳在A，B之间的最短绳长.
18.（12分）如图，在三棱锥中，，，，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
（1）求证：；
（2）求证：平面平面PAC；
（3）当平面BDE时，求三棱锥的体积.
19.（12分）如图，边长为2的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，，为线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
20.（12分）如图，在圆锥中，为圆的直径，点在上，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与底面所成角的大小为，是上一点，且，求二面角的余弦值．
21.（12分）如图，在三棱锥中，，，，，D为线段的中点，E为线段上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）当平面时，求三棱锥的体积．
22.（12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形。且，E是中点。
1.证明：平面
2.若，求三棱锥的体积.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为所以得连接BD，则连接将平面与平面展开到同一个平面内，如图所示，连接设根据两点之间线段最短，可知当点E与点M重合时最小.由得又所以于是当最小时，故选A.
2.答案：B
解析：设球的半径为,且大圆到球心的距离为，则有,可得：，故B.
3.答案：B
解析：设截面圆半径为,则有,所以.由题意知,球的球心为正方体的中心,设球的半径为,则,所以,故选B.
4.答案：C
解析：根据斜二测画法,可知在中,,
∴
∴是等边三角形,
∴
5.答案：D
解析：空间中共线的三点不能确定一个平面，所以选项A错误；空间中两两相交的三条直线交于同一点时，可能确定一个平面也可能确定三个平面，所以选项B错误；空间中有三个角为直角的四边形可能是空间图形，所以选项C错误；选项D正确，如图，因为，所以直线确定一个平面，因为，所以直线确定一个平面，因为，由“过两条相交直线有且只有一个平面”可知与重合，故共面.
6.答案：A
解析：因为,所以,所以,又平面平面,所以平面,又平面平面,所以平面,又,所以平面平面。
7.答案：A
解析：因为,所以。又平面平面,所以平面。
8.答案：B
解析：∵在直角梯形中，，在中，，由余弦定理得，∴. 又平面平面,且平面平面，故平面，则.又，∴平面.又平面,∴平面平面. 故选B.
9.答案：ABD
解析：对于选项A,若,则两个平面可能平行、也可能相交,所以选项A不正确;对于选项B,当两个平面平行时,也可满足,所以选项B不正确;对于选项C,根据面面垂直的判定定理,可知选项C正确;对于选项D,根据面面垂直的性质定理,可知当m垂直于两个平面的交线时,,所以选项D不正确.故选ABD.
10.答案：ABC
解析：对于A,平行于同一条直线的两个平面可能平行,也可能相交,故A错误;对于B,若直线a与b是异面直线,直线b与c是异面直线,则直线a与c可能是异面直线,也可能相交或平行,故B错误;对于C,若平面α和β不平行,则在α内存在与β平行的直线,如α内平行于α与β的交线的直线,此直线平行于平面β,故C错误;对于D,若直线垂直于同一个平面,则m与n平行,故D正确.故选ABC.
11.答案：AD
解析：选项A中,由面面垂直的性质定理知,正确;选项B中,直线n可以与平面相交,平行或,不正确;选项C中,与直线m平行的平面有无数个,且这些平面可以与平面α平行,相交,不正确;选项D中,根据知,又,所以正确,故选AD.
12.答案：ACD
解析：对于A.满足的的位置关系可能是或,故A不正确;对于B,由,得,结合,知,故B正确;对于C,根据面面平行的判定定理知需当为相交线时,才有,故C不正确;对于D,若为圆锥的两条母线,平面α为圆锥的底面所在平面,此时直线与平面α所成角相等,但此时为相交直线,故D不正确.
13.答案：平行
解析：，F分别是SB，SC的中点，是的中位线，.又平面ABC，平面ABC，平面ABC.同理平面ABC.，平面平面ABC.
14.答案：
解析：由题意可将三棱锥补形为棱长为1的正方体，易知此正三棱锥的外接球即为正方体的外接球.正方体的体对角线长是，故外接球的直径是，半径是，故外接球的表面积是.
15.答案：4cm，0.5cm，2cm，1.6cm
解析：由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高，应分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.
16.答案：
解析：由题知球心到截面的距离为1，设截面圆的半径为r，则，所以.设球的半径为R，则，故球的直径为.
17.答案：最短的绳长为5.
解析：作出三棱锥的平面展开图，如图，
A，B两点间的最短绳长就是线段AB的长度.
，，，
所以，即此绳在A，B间最短的绳长为5.
18.答案：(1)证明过程见解析.
(2)证明过程见解析.
(3)体积为.
解析：(1)证明：因为，，所以平面ABC，
又因为平面ABC，所以.
(2)因为，D为AC中点，所以，
由(1)知，，所以平面PAC.
所以平面平面PAC.
(3)因为平面BDE，平面平面，
所以.
因为D为AC的中点，所以，.
由(1)知，平面ABC，所以平面PAC.
所以三棱锥的体积.
19.答案：（1）因为四边形为菱形，所以.
又因为，所以，即为等边三角形.
因为，为线段的中点，所以.
因为，为线段的中点，所以.
又因为，所以平面.
又因为，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）因为平面平面，且，
所以平面.
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，令，则
所以点到平面的距离.
20.答案：（1）在圆锥中，平面，则，
又为圆的直径且点在上，则，因，则有而，所以平面，又平面，从而有平面平面
（2）令，因为直线与底面所成角的大小为，即，则，
中，，则，，
在平面内，过点D作，则平面，以射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，，
又是上一点，即，点，，，
而，即，，则，
，，
设平面的法向量，则，即，
令y=1，则，，即，又平面的法向量，
∴，显然二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为.
21.答案：（1）证明：由，D为线段的中点，可得，
由（1）得，且，又平面，平面，
所以平面，且平面，可得平面平面；
(2)平面，平面，且平面平面，可得，
又D为的中点，，可得E为的中点，且，
由平面，可得平面，因为，，
可得，则三棱锥的体积为．
22.答案：1.连接,连接
∵四棱锥的底面为菱形
为的中点，又是的中点
在中，是中位线，
又平面，而平面
平面
2.如图，取的中点Q，连接
四边形为菱形，且
为正三角形，.
且为等腰直角三角形，即
，且，，
又，平面